Лабораторные работы по численным методам / 4 / лаба№4 / Отчёт№4
.docxМинистерство сельского хозяйства Российской Федерации ФГБОУ ВПО «ПГСХА им. Академика Д.Н. Прянишникова»
Кафедра информационных технологий и автоматизированного проектирования
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
Решение нелинейного алгебраического уравнения.
Вариант №11
Выполнил:
Студент гр.ПИб-21а Юркин Владислав
Проверил: Профессор каф. ИТАП М.Г. Бояршинов
Пермь 2015
Задание. Для заданного алгебраического уравнения:
-
Выбрать отрезок, на котором имеется хотя бы один корень;
-
Проверить условия применимости (сходимости) методов Ньютона, половинного деления и простых итераций;
-
Разработать вычислительную программу, реализующую метод половинного деления;
-
Вычислить корень уравнения с погрешностью не более δ=10-6;
-
Оценить быстродействие вычислительной программы.
Выполнение расчётов
Рис. 1 График функции и значения функции на отрезке [2;3].
На рисунке 1 показана часть непрерывной функции . Из этого рисунка очевидно, что корень уравнения лежит на отрезке [2;3]. На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками: соответственно. Следовательно, выполнены условия сходимости метода половинного деления.
Задано уравнение преобразуется к требуемому виду:
,
то есть Для проверки условий сходимости последовательности получаемых решений необходимо определить производную этой функции:
Рис.2 График производной.
В рассматриваемом случае функция на отрезке [2,3] монотонна (рис.2), поэтому в качестве константы Лейпшица принимается . Очевидно что С<1.
А , то 2,3826 > 0,36055.
Соответственно метод простых итераций не подходит.
Определяем первую и вторую производные функции
Находим М1=0,7697 и М2=0,2021, С=≈0,0656<1.
Таким образом, условия сходимости теоремы выполнены, и последовательность метода Ньютона должна сходится.
Рис.3 Погрешность решения методом половинного деления в зависимости от номера итерации.
Выводы
-
Разработана программа решения нелинейного алгебраического уравнения
методом половинного деления.
-
Уменьшение погрешности решения с ростом числа итераций (см. рис.3) свидетельствует о сходимости последовательности решений заданного нелинейного алгебраического уравнения, получаемых с помощью метода половинного деления.
-
С помощью разработанной программы найдено решение х=2,515456 заданного нелинейного алгебраического уравнения с погрешностью не более 10-6:
-
Для решения заданной системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя на компьютере с четырьмя процессорами AMD A6-5200 APU (тактовая частота 2.00 ГГц, объём оперативной памяти 4,00Гб) требуется 0,46 секунд.