Порівнюючи (8.1.9) і (8.1.7), зауважуємо, що

. (8.1.10)

Тому ряд (8.1.8) можна записати у виді

. (8.1.11)

Зауважуємо, що спектр функції f(t) однозначно визначається її відсікам, узятими через інтервал часу

. (8.1.12)

Підставляючи (8.1.11) у (8.1.7) і змінюючи порядок підсумовування й інтегрування, одержимо

. (8.1.13)

Розкладання Котельникова (8.1.1) було отримано при припущенні, що спектр функції обмежений частотою f_в, тобто функція має нескінченну тривалість. Реальні сигнали мають кінцеву тривалість і, отже, теоретично нескінченний спектр. Однак для них можна вказати деяку смугу частот, у якій зосереджена основна потужність сигналу і яка містить всю істотно необхідну інформацію про сигнал. Розкладання Котельникова для сигналів кінцевої тривалості (фінітних сигналів) буде мати характер наближеного співвідношення

, (8.1.14)

де число N визначається тривалістю сигналу

(8.1.15)

і називається базою сигналу.

Таким чином, передачу беззупинних сигналів з обмеженими смугою частот і тривалістю можна звести до передачі N = 2fв чисел - її миттєвих значень у дискретних крапках відліку, тобто зробити дискретизацію за часом.

8.2. Спектри дискретизированих сигналів.

Процес дискретизації за часом беззупинного сигналу можна розглядати як модуляцію по амплітуді періодичної послідовності імпульсів (АИМ). Тому дискретизований сигнал(модульовану послідовністю імпульсів) можна записати у виді

, (8.2.1)

де - інтервал дискретизації- імпульс прямокутної форми,- тривалість імпульсів. Зауважуємо, що дискретизований сигнал являє собою добуток двох функцій: вихідного безупинного сигналу і періодичної послідовності прямокутних імпульсів. Відповідно до властивостей перетворення Фур'є спектральна щільність добутку двох сигналівівизначається інтегралом згортки від спектрів цих сигналіві:

. (8.2.2)

Спектральна щільність періодичної послідовності прямокутних імпульсів визначається вираженням

. (8.2.3)

Підставляючи (8.2.3) у (8.2.2), для дискретизованого сигналу одержимо

. (8.2.4)

З цього вираження випливає, що спектральна щільність дискретизованого сигналу має вид спектра вихідного сигналу, що періодично повторюється з періодом (малий.8.2.1). Що обгинає спек-

Рис. 8.2.1

тр дискретизированного сигналу за формою збігається зі спектральною щільністю одиночного імпульсу. Зауважуємо, що дискретизований за годиною сигнал можна розглядати як суму великого числа АМ - коливань з несучими частотами (гармоніки частоти дискретизації).

У межі, при , сигналприймає вид дискретної послідовності, а його спектр стає періодичною функцією частоти.

З мал.8.1.2 випливає, що з дискретизованого сигналу можна виділити вихідний сигнал за допомогою фільтра нижніх частот зі смугою пропущення(при). ПриФНЧ повинен бути ідеальним, тобто мати рівномірну амплітудно-частотну характеристикуі лінійну фазову характеристику(малий. 8.2.2) у смузі пропущення.

Рис. 8.2.2.

Відгук такого фільтра на дуже короткий імпульс (дельта- функцію) визначається вираженням

, (8.2.5)

де - момент появи імпульсу на вході.

Послідовність імпульсів на вході створює послідовність відгуків на виході з амплітудами, пропорційними амплітудам імпульсів на вході, тобто забезпечують відтворення сигналу, що модулює, згідно (8.1.1).

На практиці частоту дискретизації вибирають у межах а, для відновлення сигналу при АИМ використовуються реальні фільтри нижніх частот із граничною частотоюf_в і кінцевою крутістю зрізу.

Теорема Котельникова лежить в основі усіх видів імпульсної модуляції і методів тимчасового ущільнення каналів.

Теорема Котельникова дозволяє також кількісно підійти до оцінки пропускної здатності систем зв'язку при заданих сигналах. Нехай, наприклад, повідомлення передається за допомогою набору елементарних сигналів виду "так" і "ні". Приймаючи за одиницю пропускної здатності каналу число елементарних посилок за 1 сек. (ця одиниця називається "бодом"), одержимо, що по каналі зі смугою частот f_в можна передавати не більш 2f_в бод. Отже, у цьому випадку пропускна здатність, чи точніше, швидкість передачі не може бути більше 2 бод на 1 Гц смуги частот.