Тема 10

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

Генеральная и выборочная совокупности. Статистические распределения выборок. Кумулята и ее свойства. Гистограмма и полигон статистических распределений. Числовые характеристики: выборочная средняя, дисперсия выборки, среднеквадратическое отклонение, мода и медиана для дискретных и интервальных статистических распределений выборки, эмпирические начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс.

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных - результатах наблюдений. Первая задача математической статистики - указать способы сбора и группировки (если данных очень много) статистических сведений. Вторая задача математической статистики - разработать методы анализа статистических данных, в зависимости от цели исследования. Изучение тех или иных явлений методами математической статистики служит средством решения многих вопросов, выдвигаемых наукой и практикой (правильная организация технологического процесса, наиболее целесообразное планирование и др.).

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

1. Генеральная и выборочная совокупности.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным - контролируемый размер детали. Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяется сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако, если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоретических выводов, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

2. Статистические распределения выборок.

В результате статистической обработки материалов, полученных при измерении величины явления, можно подсчитать число единиц, обладающих конкретным значением того или иного признака. Каждое отдельное значение признака будем обозначать и называть вариантом, а абсолютное число, показывающее, сколько раз встречается тот или иной вариант, - частотой и обозначать .

Если мы расположим отдельные значения признака (варианты) в возрастающем или убывающем порядке и укажем относительно каждого варианта, как часто он встречался в данной совокупности, то получим статистическое распределение признака, или вариационный ряд. Он характеризует изменение (варьирование) какого-нибудь количественного признака. Следовательно, вариационный ряд представляет собой две строки (или колонки). В одной из них приводятся варианты, а в другой - частоты.

Вариация признака может быть дискретной и непрерывной. Дискретной вариацией признака называется такая, при которой отдельные значения признака (варианты) отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (обычно целое число), т. е. даны в виде прерывных чисел. Непрерывной называется вариация, при которой значения признака могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину. В качестве примера можно привести: для дискретной вариации признака - число станков, обслуживаемых одним рабочим, число семян в одном килограмме и т. д.; для непрерывной вариации признака - процент выполнения рабочим нормы выработки, вес одного семени и т. д.

При непрерывной вариации распределение признака называется интервальным. Частоты относятся не к отдельному значению признака, как это бывает при дискретной вариации, а ко всему интервалу. Часто за значение интервала принимают его середину т. е. центральное значение.

Пример 1. Распределение рабочих по проценту выполнения норм выработки.

Процент выполнения норм выработки (интервалы)	95- 100	100- 105	105- 110	110- 115	115- 120	120- 125	125- 130	130- 135	135 и выше
Чило рабочих (частоты)	3	17	28	64	127	71	40	11	4
Центральное значение (интервала)	97,5	102,5	107,5	112,5	117,5	122,5	127,5	132,5	условно принимают 137,5

Нередко вместо абсолютных значений частот используют относительные величины. Доля этой цели можно использовать долю частоты того или иного варианта (а также интервала) в сумме всех частот. Такая величина называется частостью и обозначается . Для получения частости каждого варианта или интервала нужно его частоту разделить на сумму всех частот:

; ; ... ,

где - частость первого варианта или интервала, - второго и т. д. Сумма всех частостей равна единице:

.

Частости можно выражать и в процентах (тогда сумма всех частостей равна ).

В интервальном вариационном ряду в каждом интервале различают нижнюю и верхнюю границы интервала: нижня граница интервала ; верхняя граница интервала ; величина интервала . При построении интервальных вариационных рядов в каждый интервал включаются варианты, числовые значения которых больше нижней границы и меньше или равны верхней границе. Интервальные вариационные ряды бывают с одинаковыми и неодинаковыми интервалами. В последнем случае чаще всего встречаются интервалы последовательно увеличивающиеся. Для выбора оптимальной величины интервала, т. е. такой величины интервала, при которой вариационный ряд не будет очень громоздким и в нем не исчезнут особенности явления, можно рекомендовать формулу:

,

где - число единиц в совокупности. Так, если в совокупности единиц, наибольший вариант равен , а наименьший - , то

.

Следовательно, в данном случае оптимальной величиной интервала может служить величина .