Лекция8 Понятие функции одной и нескольких переменных

Если каждой точке по некоторому правилуставится в соответствие единственное действительное числоØ, тоназываютфункцией, причем называют D – область определения функции; E – область изменения функции.

Точка является аргументом функции. Правило, однако, применимо не к самой точке, а к ее координатам.

Таким образом, функция устанавливает связь между точками и точками некоторого множества одномерного пространства.

Область определения четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат. Если это условие не выполнено, то функция не является четной и не является нечетной.

1. Функция называетсяпериодической, если существует такое положительное число Т, что при любом значении выполняется равенство

,

число Т называют периодом функции.

2. Функция называетсявозрастающей на множестве , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любых, таких, что, выполняется неравенство.

3. Функция называетсяубывающей на множестве , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: если

, то для любых.

8.1. Основные элементарные функции, их графики

Особую роль в математическом анализе играют элементарные функции.

Основными элементарными функциями называют:

1. степенную функцию ;

2. логарифмическую функцию ;

3. показательную функцию ;

4. тригонометрические функции ;

5. обратные тригонометрические функции .

Функцию называют элементарной, если ее аналитическое выражение составлено из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и операции суперпозиции (функции от функции), примененных конечное число раз.

8.2. Предел функции в точке

Говорят, что есть предельная точка множества , если в любой окрестности этой точки содержится бесконечное множество точек.

Обозначают .

Используя логические символы данное определение можно записать таким образом:

, что для , как только, выполняется.

В частности,

1. для функции одной переменной ;

- предельная точка.

Определение предела

можно записать таким образом:

, что для : как тольковыполняется;

8.3. Односторонние пределы функции одной переменной.

Теорема существования предела

Предел функции приназываетсялевосторонним и обозначается ,если точкаостается все время слева от, что означает выполнение неравенства.

Аналогично определяется и обозначается правосторонний предел:

Теорема о существовании предела.

Функция имеет в точкепредел, равный, тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы в точке, и они равны между собой и равны числу.

8.4. Бесконечно малые функции, их классификация

Важное значение в дальнейшем имеют функции, пределы которых в точках равны нулю.

• Функция называетсябесконечно малой в точке , если.

• Классификация бесконечно малых функций

Если , причемитоиназываютсябесконечно малыми одного порядка малости (скорости приближения ик нулю являются почти равными).

Если , то- бесконечно малаяболее высокого порядка малости, чем (приближается к нулю быстрее, чем). Обозначают.

Если, тоиназываютсяэквивалентными бесконечно малыми в окрестности точки М₀ (иприближаются к0 с одной скоростью). Обозначают: ~ .