высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинноине ложно.

Резкой, но хорошо обоснованной критике подверг закон исключённого третьего

голландский математикЛ. Брауэр. В начале этого века он опубликовал три статьи, в которых выразил сомнение в неограниченной приложимости законов логики и прежде всего – закона

исключённого третьего. Первая статья не превышала трех страниц, вторая – четырех, а вместе они не занимали и семнадцати страниц. Но впечатление, произведённое ими, было чрезвычайносильным.

Брауэр был убеждён, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражая против закона исключённого

третьего, он настаивал на том, что кроме утверждения и его отрицания имеется ещё третья возможность, которую нельзя исключить. Она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов.

Допустим, что утверждается существование объекта с определённым свойством. Если множество, в которое входит этот объект, конечно, то можно перебрать все объекты. Это

позволит выяснить, какое из следующих двух утверждений истинно: «В данном множестве есть объект с указанным свойством»или же «В этом множестве нет такого объекта». Закон исключённого третьего здесь справедлив.

Но когда множество бесконечно, объекты его невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет найден объект с требуемым свойством, первое из указанных утверждений

подтвердится. Но если найти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать, поскольку перебор не проведён до конца. Закон исключённого третьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с

заданным свойством,ниотрицаниеэтого утвержденияне является истинным.

Ограничение Брауэром сферы действия этого закона существенно сужало круг тех

способов рассуждения, которые применимы в математике. Это сразу же вызвало резкую оппозицию многих математиков, особенно старшего поколения. «Изъять из математики принцип исключённого третьего, – заявлял немецкий математик Д. Гильберт, – все равно,

что запретить боксёру пользоваться кулаками».

Критика Брауэром закона исключённого третьего привела к созданию нового направления в логике – так называемой интуиционистской логики . В последней не принимается данный закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Срединих – доказательства путём приведения к противоречию, или абсурду .

С законом исключённого третьего косвенно связан следующий методологический принцип: анализ каждого объекта должен вестись до тех пор и быть настолько полным,

чтобы относительно любого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет. Это требование полноты и всесторонности исследования не относится, конечно, к законам логики. Оно полезно, но нередко оказывается невыполнимым. В случае

рассуждений о бесконечных и неопределённых совокупностях объектов, об изменяющихся, текущих состояниях и т.п. изучение объекта не всегда способно достичь такой полноты,

чтобы на любой вопрос о немудалось ответить однозначно«да» или «нет».

4. Логические законы тождества, двойного отрицания и другие

Закон тожества

Внешне самым простым из логических законов является закон тождества. Он говорит: если высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием

своейистинности.Символически:

A → A ,

если A , то A . Например: «Если дом высокий, то он высокий», «Если трава чёрная, то

она чёрная» и т.п.

В приложениях закона тождества к конкретному материалу с особой наглядностью

обнаруживается отмечавшаяся ранее общая черта всех логических законов. Они представляют собой тавтологии , как бы повторения одного и того же и не несут содержательной, «предметной» информации. Это – общие схемы, отличительная

особенность которых в том, что подставляя в них любые конкретные высказывания (как истинные,таки ложные),мы обязательно получим истинноевыражение.

Закон тождества нередко ошибочно подменяется требованием устойчивости, определённости мышления. Действительно, в процессе рассуждения значения понятий и утверждений не следует изменять. Они должны оставаться тождественными самим себе,

иначе свойства одного объекта незаметно окажутся приписанными совершенно другому. Если мы начали говорить, допустим, о спутниках как небесных телах, то слово «спутник»

должно, пока мы обсуждаем эту тему, обозначать именно такие тела, а не каких-то иных спутников. Требование не изменять и не подменять значения слов в ходе рассуждения, конечно, справедливо. Но, очевидно, что оно не является законом логики. Точно так же, как

не относится к ним совет выделять обсуждаемые объекты по достаточно устойчивым признакам, чтобы уменьшить вероятность подмены в рассуждении одного объекта другим.

Иногда закон тождества неверно истолковывается как один из законов бытия, говорящий о его относительной устойчивости и определённости. Понятый так, он превращается в утверждение, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными

самим себе. Такое понимание этого закона, конечно, ошибочно. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она

меняется, а если онаостаётся той же, то онатакой же и остаётся.

Закон двойного отрицания

Этим именем называется закон логики, позволяющий отбрасывать двойное отрицание.

Этот закон можно сформулировать так: отрицание отрицания даёт утверждение, или:

повторенное дважды отрицание даёт утверждение. Например: «Если неверно, что Вселенная неявляется бесконечной, то она бесконечна».

Закон двойного отрицания был известен ещё в античности. В частности, древнегреческие философы Зенон Элейский и Горгий излагали его следующим образом:

если изотрицаниякакого-либо высказывания следует противоречие, то имеет место двойное отрицаниеисходного высказывания, то есть оносамо.

В символической форме закон записываетсятак:

~~А → A ,

если неверно,что не-А , то верноА .

Другой закон логики, говорящий о возможности не снимать, а вводить два отрицания,

принято называть обратным законом двойного отрицания: утверждение влечёт своё двойное отрицание. Например: «Если Шекспир писал сонеты, то неверно, что он не писал

сонеты». Символически:

A → ~~ A

если A , то неверночто не-А.

Объединениеэтихзаконов даёт так называемыйполныйзакон двойного отрицания :

~~А ↔ A ,

неверно,что не-A , если и только если верноА .

ЗАКОНЫ КОНТРАПОЗИЦИИ

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания «если есть первое, то есть второе» вытекает

«еслинет второго, то нети первого», и наоборот.

Символически:

(А	→ В) → ( ~ В → ~ А) ,
если дело обстоит так, что если A , то B , то если не-В , то не-А;
(	~ B → ~ А) → (А → В) ,

если дело обстоит так, что если не-B , то не-A , то если A , то В.

Кпримеру: из высказывания «Если есть следствие, то есть и причина» следует

высказывание «Если нет причины, нет и следствия», и из второго высказывания вытекает первое.

Кзаконам контрапозицииобычноотносят также законы:

(А → ~ В) → (В → ~ А) ,

если дело обстоит так, что если A ,то не -B , то если B , то не-A Например, «Если

квадрат неявляется треугольником, то треугольник не квадрат»;

(~ А → В) → (~ В → А) ,

если верно, что если не-A , тоB , то если не-B то A . К примеру: «Если не являющееся

очевиднымсомнительно,то не являющееся сомнительнымочевидно».

Контрапозиция подобна рокировке в шахматной игре. И подобно тому, как редкая

партия проходит без рокировки, так и редкое наше рассуждение обходится без контрапозиции.

МОДУС ПОНЕНС

Слово «модус»в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения. «Модус поненс» – термин средневековой логики, обозначающий определённое правило выводаи соответствующий ему логический закон.

Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом , позволяет от утверждения условного высказывания и

утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого

Здесь «если A , то B » и «A » – посылки, «B » – заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:

Если A , то B. А . Следовательно,В .

Благодаря этому правилу от посылки «если A , то B », используя посылку «A », мы как бы отделяем заключение «B ». Например:

Если у человека грипп,он болен. У человека грипп.

Человек болен.

Это правило постоянно используется в наших рассуждениях. Впервые оно было сформулировано, насколько можно судить, учеником Аристотеля Теофрастом ещё в III в. до

н.э.

Соответствующий правилуотделения логический закон формулируется так:

(А → В) & A → B ,

если верно, что если A , то B , и A , то верно B . Например: «Если при дожде трава растёт быстрее и идёт дождь, то траварастёт быстрее».

Рассуждение по правилу модус понёс идёт от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение

мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным её движ ением от утверждения следствия истинногоусловного высказывания к утверждению его основания.

Например, правильнымявляется умозаключение: Если висмут – металл, он проводитэлектрический ток. Висмут – металл.

Висмут проводитэлектрический ток.

Но внешне сходное с нимумозаключение:

Если висмут – металл, он проводитэлектрический ток. Висмут проводитэлектрический ток.

Висмут металл.

логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно от истинных посылок прийтикложному заключению. Например:

Если человек собирает марки, он коллекционер. Человек – коллекционер.

Человек собирает марки.

Далеко не все коллекционеры собирают именно марки; из того, что человек коллекционер, нельзя заключать, что он собирает как раз марки. Истинность посылок не

гарантирует истинностизаключения.

Против смешения правила модус поненс с указанной неправильной схемой предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия заключать

можно, от подтвержденияследствия к подтверждениюоснования– нет.

Модус толленс

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждения:

Другая запись:

Если A , то B . Не-B . Следовательно,не-A .

Эта схема часто называется принципом фальсификации : если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно.

Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицаниюоснованияданноговысказывания. Например:

Если гелий – металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен.

Гелий – не металл.

Модус понендо толленс

Этимименем средневековые логики обозначали следующие схемы рассуждения:

Другая запись:

Либо A , либо В. А . Следовательно,не-B .

Либо A , либо В. В . Следовательно,не-А.

Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй

альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:

Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге. Он родился в Москве.

Неверно, что Достоевский родился в Петербурге.

Дизъюнкция, входящая в данную схему, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающей

дизъюнкцией (первое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно.Отистинныхпосылоконо может вести к ложному заключению: