МК (Пашинський) / МК / Видання_готові / МВПЗ_Надійність

ln(V 2 1) ; ln( M ) 2 2 . (Б.4)

Оскільки логнормальний закон не має аналітичного виразу інтегральної функції розподілу, вона визначається за таблицею В.1 залежно від аргументу

t ln x ,

(Б.5)

або в середовищі табличного процесора EXCEL з використанням статистичних функцій НОРМРАСП(ln x, α, β, I) і НОРМОБР(F, α, β).

Закон розподілу Гумбеля (подвійний експоненціальний розподіл), є граничним розподілом найбільшого елемента з вибірки випадкової величини, чим пояснюється його широке застосування для опису екстремальних значень різних величин, у тому числі найбільших протягом місяця чи року значень кліматичних факторів. Область визначення розподілу Гумбеля нескінчена, а графік густини ймовірності має пагорбоподібну форму з правосторонньою асиметрією й описується формулою

		1		x			x
	f ( x)		exp			exp			,	(Б.6)
	де α і β – параметри, які наближено визначаються за формулами
	M 0,45 S ;						0,78 S .			(Б.7)
	Інтегральна функція розподілу Гумбеля має аналітичний вираз
					x			,		(Б.8)
	F ( x) exp exp

який дозволяє обчислювати ймовірності перевищення заданих значень, а також аналітично визначати аргумент розподілу за заданою забезпеченістю, двічі прологарифмувавши вираз (Б.8).

Експоненціальний закон розподілу широко вживається в теорії масового обслуговування, теорії надійності та в інших галузях науки. Він визначений в області додатних дійсних чисел із густиною і функцією розподілу

f ( x) e x ;

F ( x) 1 e x ,

(Б.9)

де 1 M – параметр, обернено пропорційний середньому значенню випадкової величини.

Характерною особливістю експоненціального розподілу є рівність коефіцієнта варіації до одиниці. Наявність аналітичного виразу для F(x) (Б.9) дозволяє безпосередньо обчислювати інтегральну функцію розподілу, або його аргумент розподілу за заданою забезпеченістю.

31

Додаток В СТАТИСТИЧНІ ТАБЛИЦІ

Таблиця В.1. Функція нормального розподілу

(наведені лише десяткові знаки після коми)

t	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	50000	50398	50797	51196	51595	51993	52392	52790	53188	53585
0,1	53982	54379	54775	55171	55567	55961	56355	56749	57142	57534
0,2	57925	58316	58706	59095	59483	59870	60256	60641	61026	61409
0,3	61791	62171	62551	62930	63307	63683	64057	64430	64802	65173
0,4	65542	65909	66275	66640	67003	67364	67724	68082	68438	68793
0,5	69146	69497	69846	70194	70540	70884	71226	71566	71904	72240
0,6	72574	72906	73237	73565	73891	74215	74537	74857	75174	75490
0,7	75803	76114	76423	76730	77035	77337	77637	77935	78230	78523
0,8	78814	79103	79389	79673	79954	80233	80510	80784	81057	81326
0,9	81594	81858	82121	82381	82639	82894	83147	83397	83645	83891
1,0	84134	84375	84613	84849	85083	85314	85542	85769	85992	86214
1,1	86433	86650	86864	87076	87285	87492	87697	87899	88099	88297
1,2	88493	88686	88876	89065	89251	89435	89616	89795	89972	90147
1,3	90319	90490	90658	90824	90987	91149	91308	91465	91620	91773
1,4	91924	92073	92219	92364	92506	92647	92785	92921	93056	93188
1,5	93319	93447	93574	93699	93821	93942	94062	94179	94294	94408
1,6	94520	94630	94738	94844	94949	95052	95154	95254	95352	95448
1,7	95543	95636	95728	95818	95907	95994	96079	96163	96246	96327
1,8	96406	96485	96562	96637	96711	96784	96855	96925	96994	97062
1,9	97128	97193	97257	97319	97381	97441	97500	97558	97614	97670
2,0	97724	97778	97830	97882	97932	97981	98030	98077	98123	98169
2,1	98213	98257	98299	98341	98382	98422	98461	98499	98537	98573
2,2	98609	98644	98679	98712	98745	98777	98808	98839	98869	98898
2,3	98927	98955	98982	99009	99035	99061	99086	99110	99134	99157
2,4	99180	99202	99223	99245	99265	99285	99305	99324	99343	99361
2,5	99379	99396	99413	99429	99445	99461	99476	99491	99505	99520
2,6	99533	99547	99560	99573	99585	99597	99609	99620	99631	99642
2,7	99653	99663	99673	99683	99692	99702	99710	99719	99728	99736
2,8	99744	99752	99759	99767	99774	99781	99788	99794	99801	99807
2,9	99813	99819	99824	99830	99835	99841	99846	99851	99855	99860
3,0	99865	99869	99873	99877	99881	99885	99889	99892	99896	99899
3,1	99903	99906	99909	99912	99915	99918	99921	99923	99926	99928
3,2	99931	99933	99935	99938	99940	99942	99944	99946	99948	99949
3,3	99951	99953	99954	99956	99958	99959	99961	99962	99963	99965
3,4	99966	99967	99968	99969	99970	99971	99972	99973	99974	99975
3,5	99976	99977	99978	99979	99979	99980	99981	99982	99982	99983
3,6	99984	99984	99985	99985	99986	99986	99987	99987	99988	99988
3,7	99989	99989	99990	99990	99990	99991	99991	99991	99992	99992
3,8	99992	99993	99993	99993	99993	99994	99994	99994	99994	99994
3,9	99995	99995	99995	99995	99995	99996	99996	99996	99996	99996

32

Таблиця В.2. Критичні значення критерію узгодженості Пірсона

Ступені			Рівні значимості α
свободи k
	0,20	0,10		0,05		0,02	0,01
1	1,64	2,71		3,84		5,41	6,64
2	3,22	4,60		5,99		7,82	9,21
3	4,64	6,25		7,82		9,84	11,3
4	5,99	7,78		9,49		11,7	13,28
5	7,29	9,24		11,1		13,4	15,1
6	8,56	10,6		12,6		15,0	16,8
7	9,80	12,0		14,1		16,6	18,5
8	11,0	13,4		15,5		18,2	20,1
9	12,2	14,7		16,9		19,7	21,7
10	13,4	16,0		18,3		21,2	23,2
11	14,6	17,3		19,7		22,6	24,7
12	15,8	18,5		21,0		24,1	26,2
13	16,9	19,8		22,4		25,5	27,7
14	18,2	21,1		23,7		26,9	29,1
15	19,3	22,3		25,0		28,3	30,6
16	20,5	23,5		26,3		29,6	32,0
17	21,6	24,8		27,6		31,0	33,4
18	22,8	26,0		28,9		32,3	34,8
19	23,9	27,2		30,1		33,7	36,2
20	25,0	28,4		31,4		35,0	37,6
21	26,2	29,6		32,7		36,3	38,9
22	27,3	30,8		33,9		37,7	40,3
23	28,4	32,0		35,2		39,0	41,6
24	29,6	33,2		36,4		40,3	43,0
25	30,3	34,4		37,6		41,7	44,3
26	31,8	35,6		38,9		42,9	45,6
27	32,9	36,7		40,1		44,1	47,0
28	34,0	37,9		41,3		45,4	48,3
29	35,1	39,1		42,6		46,7	49,6
30	36,2	40,3		43,8		48,0	50,9
35	41,8	46,1		49,8		53,2	57,3
40	47,3	51,8		55,8		59,3	63,7

33

Таблиця В.3.

Імовірність відмови при нормальному розподілі

функція

1–F(x)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0

5,0E-01

5,0E-01

4,9E-01

4,9E-01

4,8E-01

4,8E-01

4,8E-01

4,7E-01

4,7E-01

4,6E-01

0,1

4,6E-01

4,6E-01

4,5E-01

4,5E-01

4,4E-01

4,4E-01

4,4E-01

4,3E-01

4,3E-01

4,2E-01

0,2

4,2E-01

4,2E-01

4,1E-01

4,1E-01

4,1E-01

4,0E-01

4,0E-01

3,9E-01

3,9E-01

3,9E-01

0,3

3,8E-01

3,8E-01

3,7E-01

3,7E-01

3,7E-01

3,6E-01

3,6E-01

3,6E-01

3,5E-01

3,5E-01

0,4

3,4E-01

3,4E-01

3,4E-01

3,3E-01

3,3E-01

3,3E-01

3,2E-01

3,2E-01

3,2E-01

3,1E-01

0,5

3,1E-01

3,1E-01

3,0E-01

3,0E-01

2,9E-01

2,9E-01

2,9E-01

2,8E-01

2,8E-01

2,8E-01

0,6

2,7E-01

2,7E-01

2,7E-01

2,6E-01

2,6E-01

2,6E-01

2,5E-01

2,5E-01

2,5E-01

2,5E-01

0,7

2,4E-01

2,4E-01

2,4E-01

2,3E-01

2,3E-01

2,3E-01

2,2E-01

2,2E-01

2,2E-01

2,1E-01

0,8

2,1E-01

2,1E-01

2,1E-01

2,0E-01

2,0E-01

2,0E-01

1,9E-01

1,9E-01

1,9E-01

1,9E-01

0,9

1,8E-01

1,8E-01

1,8E-01

1,8E-01

1,7E-01

1,7E-01

1,7E-01

1,7E-01

1,6E-01

1,6E-01

1

1,6E-01

1,6E-01

1,5E-01

1,5E-01

1,5E-01

1,5E-01

1,4E-01

1,4E-01

1,4E-01

1,4E-01

1,1

1,4E-01

1,3E-01

1,3E-01

1,3E-01

1,3E-01

1,3E-01

1,2E-01

1,2E-01

1,2E-01

1,2E-01

1,2

1,2E-01

1,1E-01

1,1E-01

1,1E-01

1,1E-01

1,1E-01

1,0E-01

1,0E-01

1,0E-01

9,9E-02

1,3

9,7E-02

9,5E-02

9,3E-02

9,2E-02

9,0E-02

8,9E-02

8,7E-02

8,5E-02

8,4E-02

8,2E-02

1,4

8,1E-02

7,9E-02

7,8E-02

7,6E-02

7,5E-02

7,4E-02

7,2E-02

7,1E-02

6,9E-02

6,8E-02

1,5

6,7E-02

6,6E-02

6,4E-02

6,3E-02

6,2E-02

6,1E-02

5,9E-02

5,8E-02

5,7E-02

5,6E-02

1,6

5,5E-02

5,4E-02

5,3E-02

5,2E-02

5,1E-02

4,9E-02

4,8E-02

4,7E-02

4,6E-02

4,6E-02

1,7

4,5E-02

4,4E-02

4,3E-02

4,2E-02

4,1E-02

4,0E-02

3,9E-02

3,8E-02

3,8E-02

3,7E-02

1,8

3,6E-02

3,5E-02

3,4E-02

3,4E-02

3,3E-02

3,2E-02

3,1E-02

3,1E-02

3,0E-02

2,9E-02

1,9

2,9E-02

2,8E-02

2,7E-02

2,7E-02

2,6E-02

2,6E-02

2,5E-02

2,4E-02

2,4E-02

2,3E-02

2

2,3E-02

2,2E-02

2,2E-02

2,1E-02

2,1E-02

2,0E-02

2,0E-02

1,9E-02

1,9E-02

1,8E-02

2,1

1,8E-02

1,7E-02

1,7E-02

1,7E-02

1,6E-02

1,6E-02

1,5E-02

1,5E-02

1,5E-02

1,4E-02

2,2

1,4E-02

1,4E-02

1,3E-02

1,3E-02

1,3E-02

1,2E-02

1,2E-02

1,2E-02

1,1E-02

1,1E-02

2,3

1,1E-02

1,0E-02

1,0E-02

9,9E-03

9,6E-03

9,4E-03

9,1E-03

8,9E-03

8,7E-03

8,4E-03

2,4

8,2E-03

8,0E-03

7,8E-03

7,5E-03

7,3E-03

7,1E-03

6,9E-03

6,8E-03

6,6E-03

6,4E-03

2,5

6,2E-03

6,0E-03

5,9E-03

5,7E-03

5,5E-03

5,4E-03

5,2E-03

5,1E-03

4,9E-03

4,8E-03

2,6

4,7E-03

4,5E-03

4,4E-03

4,3E-03

4,1E-03

4,0E-03

3,9E-03

3,8E-03

3,7E-03

3,6E-03

2,7

3,5E-03

3,4E-03

3,3E-03

3,2E-03

3,1E-03

3,0E-03

2,9E-03

2,8E-03

2,7E-03

2,6E-03

2,8

2,6E-03

2,5E-03

2,4E-03

2,3E-03

2,3E-03

2,2E-03

2,1E-03

2,1E-03

2,0E-03

1,9E-03

2,9

1,9E-03

1,8E-03

1,8E-03

1,7E-03

1,6E-03

1,6E-03

1,5E-03

1,5E-03

1,4E-03

1,4E-03

3

1,3E-03

1,3E-03

1,3E-03

1,2E-03

1,2E-03

1,1E-03

1,1E-03

1,1E-03

1,0E-03

1,0E-03

3,1

9,7E-04

9,4E-04

9,0E-04

8,7E-04

8,4E-04

8,2E-04

7,9E-04

7,6E-04

7,4E-04

7,1E-04

3,2

6,9E-04

6,6E-04

6,4E-04

6,2E-04

6,0E-04

5,8E-04

5,6E-04

5,4E-04

5,2E-04

5,0E-04

3,3

4,8E-04

4,7E-04

4,5E-04

4,3E-04

4,2E-04

4,0E-04

3,9E-04

3,8E-04

3,6E-04

3,5E-04

3,4

3,4E-04

3,2E-04

3,1E-04

3,0E-04

2,9E-04

2,8E-04

2,7E-04

2,6E-04

2,5E-04

2,4E-04

3,5

2,3E-04

2,2E-04

2,2E-04

2,1E-04

2,0E-04

1,9E-04

1,9E-04

1,8E-04

1,7E-04

1,7E-04

3,6

1,6E-04

1,5E-04

1,5E-04

1,4E-04

1,4E-04

1,3E-04

1,3E-04

1,2E-04

1,2E-04

1,1E-04

3,7

1,1E-04

1,0E-04

1,0E-04

9,6E-05

9,2E-05

8,8E-05

8,5E-05

8,2E-05

7,8E-05

7,5E-05

3,8

7,2E-05

6,9E-05

6,7E-05

6,4E-05

6,2E-05

5,9E-05

5,7E-05

5,4E-05

5,2E-05

5,0E-05

3,9

4,8E-05

4,6E-05

4,4E-05

4,2E-05

4,1E-05

3,9E-05

3,7E-05

3,6E-05

3,4E-05

3,3E-05

34

Закінчення таблиці В.3

	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
4	3,2E-05	3,0E-05	2,9E-05	2,8E-05	2,7E-05	2,6E-05	2,5E-05	2,4E-05	2,3E-05	2,2E-05
4,1	2,1E-05	2,0E-05	1,9E-05	1,8E-05	1,7E-05	1,7E-05	1,6E-05	1,5E-05	1,5E-05	1,4E-05
4,2	1,3E-05	1,3E-05	1,2E-05	1,2E-05	1,1E-05	1,1E-05	1,0E-05	9,8E-06	9,3E-06	8,9E-06
4,3	8,5E-06	8,2E-06	7,8E-06	7,5E-06	7,1E-06	6,8E-06	6,5E-06	6,2E-06	5,9E-06	5,7E-06
4,4	5,4E-06	5,2E-06	4,9E-06	4,7E-06	4,5E-06	4,3E-06	4,1E-06	3,9E-06	3,7E-06	3,6E-06
4,5	3,4E-06	3,2E-06	3,1E-06	2,9E-06	2,8E-06	2,7E-06	2,6E-06	2,4E-06	2,3E-06	2,2E-06
4,6	2,1E-06	2,0E-06	1,9E-06	1,8E-06	1,7E-06	1,7E-06	1,6E-06	1,5E-06	1,4E-06	1,4E-06
4,7	1,3E-06	1,2E-06	1,2E-06	1,1E-06	1,1E-06	1,0E-06	9,7E-07	9,2E-07	8,8E-07	8,3E-07
4,8	7,9E-07	7,5E-07	7,2E-07	6,8E-07	6,5E-07	6,2E-07	5,9E-07	5,6E-07	5,3E-07	5,0E-07
4,9	4,8E-07	4,6E-07	4,3E-07	4,1E-07	3,9E-07	3,7E-07	3,5E-07	3,3E-07	3,2E-07	3,0E-07
5	2,9E-07	2,7E-07	2,6E-07	2,5E-07	2,3E-07	2,2E-07	2,1E-07	2,0E-07	1,9E-07	1,8E-07
5,1	1,7E-07	1,6E-07	1,5E-07	1,4E-07	1,4E-07	1,3E-07	1,2E-07	1,2E-07	1,1E-07	1,1E-07
5,2	1,0E-07	9,4E-08	8,9E-08	8,5E-08	8,0E-08	7,6E-08	7,2E-08	6,8E-08	6,5E-08	6,1E-08
5,3	5,8E-08	5,5E-08	5,2E-08	4,9E-08	4,6E-08	4,4E-08	4,2E-08	3,9E-08	3,7E-08	3,5E-08
5,4	3,3E-08	3,2E-08	3,0E-08	2,8E-08	2,7E-08	2,5E-08	2,4E-08	2,3E-08	2,1E-08	2,0E-08
5,5	1,9E-08	1,8E-08	1,7E-08	1,6E-08	1,5E-08	1,4E-08	1,3E-08	1,3E-08	1,2E-08	1,1E-08
5,6	1,1E-08	1,0E-08	9,5E-09	9,0E-09	8,5E-09	8,0E-09	7,6E-09	7,1E-09	6,7E-09	6,4E-09
5,7	6,0E-09	5,6E-09	5,3E-09	5,0E-09	4,7E-09	4,5E-09	4,2E-09	4,0E-09	3,7E-09	3,5E-09
5,8	3,3E-09	3,1E-09	2,9E-09	2,8E-09	2,6E-09	2,5E-09	2,3E-09	2,2E-09	2,1E-09	1,9E-09
5,9	1,8E-09	1,7E-09	1,6E-09	1,5E-09	1,4E-09	1,3E-09	1,3E-09	1,2E-09	1,1E-09	1,0E-09
6	9,9E-10	9,3E-10	8,7E-10	8,2E-10	7,7E-10	7,2E-10	6,8E-10	6,4E-10	6,0E-10	5,6E-10
6,1	5,3E-10	5,0E-10	4,7E-10	4,4E-10	4,1E-10	3,9E-10	3,6E-10	3,4E-10	3,2E-10	3,0E-10
6,2	2,8E-10	2,6E-10	2,5E-10	2,3E-10	2,2E-10	2,1E-10	1,9E-10	1,8E-10	1,7E-10	1,6E-10
6,3	1,5E-10	1,4E-10	1,3E-10	1,2E-10	1,1E-10	1,1E-10	1,0E-10	9,5E-11	8,9E-11	8,3E-11
6,4	7,8E-11	7,3E-11	6,8E-11	6,4E-11	6,0E-11	5,6E-11	5,2E-11	4,9E-11	4,6E-11	4,3E-11
6,5	4,0E-11	3,8E-11	3,5E-11	3,3E-11	3,1E-11	2,9E-11	2,7E-11	2,5E-11	2,4E-11	2,2E-11
6,6	2,1E-11	1,9E-11	1,8E-11	1,7E-11	1,6E-11	1,5E-11	1,4E-11	1,3E-11	1,2E-11	1,1E-11
6,7	1,0E-11	9,7E-12	9,1E-12	8,5E-12	7,9E-12	7,4E-12	6,9E-12	6,4E-12	6,0E-12	5,6E-12
6,8	5,2E-12	4,9E-12	4,6E-12	4,2E-12	4,0E-12	3,7E-12	3,4E-12	3,2E-12	3,0E-12	2,8E-12
6,9	2,6E-12	2,4E-12	2,3E-12	2,1E-12	2,0E-12	1,8E-12	1,7E-12	1,6E-12	1,5E-12	1,4E-12
7	1,3E-12	1,2E-12	1,1E-12	1,0E-12	9,6E-13	8,9E-13	8,3E-13	7,7E-13	7,2E-13	6,7E-13
7,1	6,2E-13	5,8E-13	5,4E-13	5,0E-13	4,7E-13	4,3E-13	4,0E-13	3,8E-13	3,5E-13	3,2E-13
7,2	3,0E-13	2,8E-13	2,6E-13	2,4E-13	2,2E-13	2,1E-13	1,9E-13	1,8E-13	1,7E-13	1,5E-13
7,3	1,4E-13	1,3E-13	1,2E-13	1,2E-13	1,1E-13	9,9E-14	9,2E-14	8,5E-14	7,9E-14	7,3E-14
7,4	6,8E-14	6,3E-14	5,9E-14	5,4E-14	5,0E-14	4,7E-14	4,3E-14	4,0E-14	3,7E-14	3,4E-14
7,5	3,2E-14	3,0E-14	2,7E-14	2,5E-14	2,4E-14	2,2E-14	2,0E-14	1,9E-14	1,7E-14	1,6E-14
7,6	1,5E-14	1,4E-14	1,3E-14	1,2E-14	1,1E-14	1,0E-14	9,3E-15	8,5E-15	8,0E-15	7,3E-15
7,7	6,8E-15	6,3E-15	5,8E-15	5,3E-15	5,0E-15	4,6E-15	4,2E-15	3,9E-15	3,7E-15	3,3E-15
7,8	3,1E-15	2,9E-15	2,7E-15	2,4E-15	2,2E-15	2,1E-15	1,9E-15	1,8E-15	0	0

35