Двоично-шестнадцатеричная таблица

2-ная	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-ная	0	1	2	3	4	5	6	7
2-ная	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-ная	8	9	A	B	C	D	E	F

Двоично-восьмеричная таблица

2-ная	000	001	010	011	100	101	110	111
8-ная	0	1	2	3	4	5	6	7

Задания

1. 

Переведите в десятичную систему счисления:

 

а) 100011102;

б) 123458;

в) AA02D34B16.

2. 

Сравните два числа:

 

а) 10268 и 21616;

в) 111112 и 111113.

Слайд

1.26

Использование калькулятора Windows в инженерном виде:

Число 999 в десятичной, шестнадцатеричной и двоичной системах.

Слайд

1.28

5. Вычисления в двоичной системе счисления

Следующим важнейшим достижением информатики является возможность выполнения компьютером арифметических и логических действий над числами и кодами символов алфавита.

Арифметические действия:

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1

1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 (перенос в старший разряд)

Таблица умножения для двоичных чисел еще проще:

0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1

Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и если, второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется.

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры -- выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.

8. А

   Слайд

   1.29

   Слайд

   1.30

   лгебра логики

Логические действия компьютера основаны на применении Алгебры Логики.

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Высказывания могут быть истинными, ложными или содержащими истину и ложь в разных соотношениях.

Определения

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания. Высказывания строятся над множеством {B, , , , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

отрицание (унарная операция),

конъюнкция (бинарная),

дизъюнкция (бинарная),

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

ИНВЕРСИЯ (Логическое отрицание) - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным/ Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частицаНЕ. Вариант записи .NOT. A

Конъю́нкция (от лат. conjunctio союз, связь) — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу "и". Синонимы: логи́ческое "И", логи́ческое умноже́ние, иногда просто "И".

Конъюнкция может быть бинарной операцией, то есть, иметь два операнда, тернарной операцией, т.е. иметь три операнда или n-арной операцией, т.е. иметь n операндов. Чаще всего встречаются следующие варианты инфиксной записи:

.

Дизъю́нкция — (лат. disjunctio - разобщение) логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логи́ческое «ИЛИ», включа́ющее «ИЛИ», логи́ческое сложе́ние, иногда просто «ИЛИ».

Дизъюнкция может быть бинарной операцией, то есть, иметь два операнда, тернарной операцией, то есть иметь три операнда или n-арной операцией, то есть иметь n операндов. Запись может быть префиксной — знак операции стоит перед операндами (польская запись), инфиксной — знак операции стоит между операндами или постфиксной — знак операции стоит после операндов. При числе операндов более 2-х префиксная и постфиксная записи экономичнее. Чаще всего встречаются следующие варианты записи: || | .

Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании.

Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА).

Инверсия (перестановка)

В комбинаторикеперестановка— этоупорядоченный наборчисел обычно трактуемый какбиекцияна множестве , которая числуiставит соответствиеi-й элемент из набора. Числоnпри этом называетсяпорядкомперестановки.

1. Т

   Слайд

   1.31

   аблица истинности

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.

Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» ( либо , либо ).

Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики.

Логические операции и таблицы истинности

A	неА
0	1
1	0

Не A  .NOT. A

Логическое отрицание: ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным/ Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частицаНЕили словаНЕВЕРНО, ЧТО…

.NOT. Отсутствовал на занятии (0) = Посетил (1)

.NOT. Сдал экзамен (1) = Отчислен (0)

Слайд

1.32

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

F = A & B F = A .AND. B

Логическое умножение  КОНЪЮНКЦИЯ - это новое  сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союзаИ.

Выход на сессию (1) .AND. Сдал экзамен (1) = Переведен на следующий семестр (1)

 Выход на сессию (1) .AND. Не сдал экзамен (0) = Отчислен (0)

Не выход на сессию (0) .AND. Не сдал экзамен (0) = Отчислен (0)

A	B	F
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Слайд

1.33

F = A + B  F = A .OR. B 

Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ- это новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда  истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союзаИЛИ

Вышел на сессию (1) .AND. Сдал экзамен (1) = Переведен на следующий семестр (1)

Выход на сессию (1) .AND. Не сдал экзамен (0)= Отчислен (0)

С

Слайд

1.34

ПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

 

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Логическое следование:  ИМПЛИКАЦИЯ- связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом  "следовательно"  и  выражается словамиЕСЛИ … , ТО …

 

 

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Л

Слайд

1.34

огическая равнозначность: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ- определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначается символом "эквивалентности"

Построение таблиц истинности для сложных выражений:

Количество строк= 2ⁿ+ две строки для заголовка  (n - количество простых высказываний)

Количество  столбцов= количество переменных + количество логических операций

При построении таблицы надо учитывать все возможные сочетания логических значений 0 и 1 исходных выражений. Затем – определить порядок действий и составить таблицу с учетом таблиц истинности основных логических операций.

ПРИМЕР:составить таблицу истинности сложного логического выражения D = неA & ( B+C )

А,В, С - три простых высказывания, поэтому :

количество строк= 2³+2 = 10 (n=3, т.к. на входе три элеманта А, В, С)

количество столбцов :  

1) А

2) В

3) С

4) не A  это инверсия А  (обозначим Е)

5) B + C это операция

6) D = неA & ( B+C ), т.е. D = E &  F это операция конъюнкции дизъюнкции (обозначим F)

1	2	3	4	5	6
А	В	С	E = не А  (не 1)	F = В+С (2+3)	D = E&F (4*5)
1	1	1	0	1	0
1	1	0	0	1	0
1	0	1	0	1	0
1	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1
0	0	0	1	0	0

Вычисления выполняемые компьютером

Информация в вычислительной машине представляется в двоичном коде (0 и 1), (да, нет), (вкл., выкл.). 0 и 1 - это 1 бит информации или 1 двоичный разряд. 1 байт - это 8 бит (8 двоичных разрядов). В компьютере 1 байт является наименьшей единицей информации, что соответствует одному знаку в командной строке (цифре, букве, специальному символу или пробелу).