- •Розділ II. Елементи аналітичної геометрії
- •Задачі для самостійної роботи
- •Питання для повторення
- •Задачі для самостійної роботи
- •Питання для повторення
- •Задачі для самостійної роботи
- •Питання для повторення
- •Задачі для самостійної роботи
- •Питання для повторення
- •1) Підставимо в канонічне рівняння еліпса 4078 замість такоординати точкиА, а також дане значення . Одержимо рівняння:.
- •Задачі для самостійної роботи
- •Питання для повторення
- •Задачі для самостійної роботи
- •§ 48. Розв’язування задач на складання рівнянь поверхонь та їх дослідження
- •Задачі для самостійної роботи
- •Питання для повторення
- •Відповіді
- •Додаток
- •Програма модульного контролю з теми
- •Лінійна і векторна алгебра
- •Теоретичні запитання.
- •Зразки практичних завданнь.
- •Програма модульного контролю з теми аналітична геометрія Теоретичні запитання.
- •Зразки практичних завдань.
- •Література.
Задачі для самостійної роботи
Привести до канонічного вигляду рівняння кривих другого порядку:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
10545Equation Section (Next)§ 45. Циліндричні поверхні. Рівняння еліптичного або кругового циліндру
Нехай у просторі є деяка плоска лінія і заданий ненульовий вектор.
Поверхня, утворена прямими, що проходять через кожну точку лінії паралельно до заданого вектора, називаєтьсяциліндричною поверхнею (Рис. 45.1).
Прямі, що утворюють циліндричну поверхню, називаються твірними, а лінія називаєтьсянапрямною.
Складемо рівняння циліндричної поверхні за умов, що напрямною є крива, що міститься у площині , а вектор- орту осі.
Тоді напрямна задається рівнянням
10645106\* MERGEFORMAT (.)
а твірні паралельні осі (Рис. 45.2).
Рис. 45.1 |
Рис. 45.2 |
Візьмемо - довільну точку циліндричної поверхні. Проведемо через цю точку твірну до перетину з напрямною у точці. Оскільки ця точка належить до напрямної, то її координати мають задовольняти рівняння 45106. Отже, для будь якої точки на циліндрі координатизадовольняють першому рівнянню системи 45106, а третя координатаможе бути довільною:
10745107\* MERGEFORMAT (.)
Рівняння 45107 і є рівнянням циліндричної поверхні, що зображена на Рис. 45.2.
Якщо у якості напрямної взяти еліпс, то з 45107 отримаємо рівняння еліптичного циліндра:
10845108\* MERGEFORMAT (.)
Якщо , то еліпс є колом і з 45108 знаходимо рівняння кругового циліндра:
10945109\* MERGEFORMAT (.)
11046Equation Section (Next)§ 46. Конічні поверхні. Рівняння кругового конуса
Нехай задана плоска лінія і точка, що не знаходиться з цією лінією у одній площині. Поверхня, яка утворюється прямими, що проходять через кожну точку заданої лініїі задану точку, називаєтьсяконічною поверхнею, або конусом (Рис. 46.1). Лінія - називається напрямною конуса, точка- вершиною конуса, а лінії, що проходять через точку напрямної і вершину, називаються твірними.
Рис. 46.1
Візьмемо у якості напрямної коло радіуса , що знаходиться у площиніз центром в точціна осі (Рис.46.2).
Рис. 46.2
Таке коло у системі визначається системою рівнянь
11146111\* MERGEFORMAT (.)
Припускаємо, що точка - вершина конуса. Нехай- довільна точка на конусі. Проведемо твірну, яка перетне коло 46111, що є напрямним, у точці. Оскільки точканалежить до кола, то її координати задовольняють 46111, зокрема виконується рівність:
11246112\* MERGEFORMAT (.)
Вектори і- колінеарні, тому
З останньої рівності знаходимо і підставляємо у 46112:
або
11346113\* MERGEFORMAT (.)
Останнє рівняння і визначає розглянутий конус.
11447Equation Section (Next)§ 47. Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку
Поверхнею обертання називається поверхня, утворена обертанням плоскої лінії навколо прямої, що знаходиться у тій же самій площині. Пряма, навколо якої відбувається обертання, називається віссю обертання.
Рис. 47.1
Розглянемо криву , яка в системі координатзнаходиться у площиніі задається рівнянням
11547115\* MERGEFORMAT (.)
Знайдемо рівняння поверхні, що утворюється обертанням цієї кривої навколо осі (Рис.47.1). Розглянемо довільну точку поверхні. Через цю точку проведемо площину, перпендикулярну до осі. Нехай- точка перетину цієї площини з віссю, а- точка перетину з кривою. Тоді, а. Але , як радіуси одного кола. Отже, координати точкидорівнюютьі оскільки точканалежить кривій, то мають задовольняти рівняння 47115:
11647116\* MERGEFORMAT (.)
Таким чином, 47116 є рівнянням розглянутої поверхні обертання. Аналогічно отримується рівняння поверхні, що утворюється обертанням кривої 47115 навколо осі
11747117\* MERGEFORMAT (.)
Коли лінія знаходиться у площині і її рівняння
то рівняння поверхні, утвореної обертанням цієї лінії навколо осі має вигляд:
11847118\* MERGEFORMAT (.)
Розглянемо поверхні, що утворюються при обертанні кривих другого порядку, заданих канонічними рівняннями.
Еліпсоїд обертання.
Нехай еліпс, що знаходиться у площині , задається рівнянням
і обертається навколо осі (Рис. 47.2)
Рис. 47.2
Утворена при цьому поверхня називається еліпсоїдом обертання і має рівняння (див.47116)
11947119\* MERGEFORMAT (.)
Однопорожнинний гіперболоїд обертання
Візьмемо у площині гіперболу
і здійснимо її обертання навколо осі (Рис. 47.3)
Рис. 47.3
Утворена при цьому поверхня називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання і має рівняння
12047120\* MERGEFORMAT (.)
Двопорожнинний гіперболоїд обертання
Якщо цю саму гіперболу обертати навколо осі , то отримаємо поверхню, яка називаєтьсядвопорожнинним гіперболоїдом обертання (Рис. 47.4) і згідно з 47117 визначається рівнянням
або 12147121\* MERGEFORMAT (.)
Рис. 47.4
Параболоїд обертання.
Нехай парабола
Рис. 47.5
обертається навколо осі (Рис. 47.5). Утворена поверхня називаєтьсяпараболоїдом обертання і визначається рівнянням
12247122\* MERGEFORMAT (.)