Лекция 4

Лекция 4

1. Понятие о локально-изотропной турбулентности.

2. Гипотезы подобия Колмогорова.

3. Спектральные характеристики локально-изотропной турбулентности.

4. Общий спектр турбулентности Озмидова.

Понятие о локально-изотропной турбулентности.

Строгое гидродинамическое описание турбулентной жидкости практически невозможно, т.к. такая жидкость является примером нелинейной механической системы с бесконечно большим числом степеней свободы, т.е. значение гидродинамической любой характеристики (скорость, давление) в разные моменты времени и в различных точках пространства будут функционально независимы. Поэтому существенно возможным является статистическое описание гидродинамических параметров. Собственно, полуэмпирические теории турбулентности также являются статистическими и выделяются из других теорий не отказом от использования статистических характеристик, а лишь приемами, используемыми для их определения (используются средние величины, т.е. статистическая операция осреднения). Такой подход позволил описать крупномасштабные компоненты турбулентности. Для описания мелкомасштабных компонент турбулентности в середине 40-х годов XX века была создана статистическая теория локально-изотропной турбулентности при больших числах Рейнольдса. Сперва выясним, что такое локально-изотропная турбулентность.

Изотропный - статистически не зависящий от направления, т.е. в любой точке.

Изотропная турбулентность должна быть однородной.

Однородный - статистически не зависящий от положения в пространстве, т.е. .

Однородный не обязательно изотропный.

Таким образом, турбулентность изотропной, если все гидродинамические поля будут изотропными случайными полями. Разумеется, точно изотропным не будет ни одно реальное турбулентное движение хотя бы потому, что любой реальный поток имеет какие-то границы. Однако предложенное в 1941 г. Колмогоровым понятие локально изотропной турбулентности охватывает уже многие реально встречающиеся турбулентные потоки и позволяет привлечь для их изучения ряд идей и методов теории изотропной турбулентности. В частности, локально-изотропными можно считать мелкомасштабные возмущения любого турбулентного потока с достаточно большим числом Рейнольдса. Основой для такого предположения является качественная схема развития турбулентности, предложенная м в 20-х годах прошлого века Ричардсоном. Согласно его схеме, развитая турбулентность складывается из совокупностей неупорядоченных возмущений «вихри» различных порядков, отличающихся характерными масштабами и скоростями. Если постепенно увеличивать число Рейнольдса, переводя поток из ламинарного режима в турбулентный, то возмущения разных порядков появляются не все одновременно. Вначале при переходе числа Рейнольдса через критическое значение возникают лишь наиболее крупномасштабные пульсации, имеющие характер плавных волн. Эти возмущения I порядка черпают свою энергию из среднего движения потока и имеют пространственные масштабы и скорость и сравнимыми с характерным масштабом и скоростью всего течения в целом ( и ), но все-таки в два-три раза меньше. Число Рейнольдса для этих вихрей I порядка также будет в несколько раз меньше, чем для всего потока, т.е. . Однако при достаточно больших первоначальных значениях , также будет больше , поэтому вихри I порядка в таком потоке сами оказываются неустойчивыми и, распадаясь, будут порождать турбулентные вихри II порядка с масштабами и < и . Однако при достаточно больших , будет больше и эти вихри опять распадутся на более мелкие и т.д.

Процесс порождения вихрей всё меньших и меньших масштабов прекратится лишь при достижении некоторого минимального масштаба , при котором , поскольку в этом случае становится заметной сила водности и энергия движения тратится не на порождение вихрей мелкого масштаба, а на преодоление сил внутреннего трения и, следовательно, диссипирует, постепенно переходя в тепловую энергию.

Вихри I порядка, естественно, будут существенно анизотропны, поскольку их форма, скорость и давление будут определяться средним потоком. Однако при распаде этих вихрей, вследствие хаотичности передачи энергии к движениям меньших масштабов, анизотропность среднего движения все меньше и меньше будет сказываться на статистическом режиме характеристик меньшего масштаба и, наоборот. Таким образом, ориентирующее влияние среднего движения будет ослабевать при каждом переходе к пульсациям меньшего масштаба и практически перестанет сказываться уже на возмущениях сравнительно невысокого порядка, т.е. в случае развитой турбулентности (с большим числом ) совокупность всех возмущений, за вычетом наиболее крупных из них, будет статистически однородным.

Гипотезы подобия Колмогорова.

В чем же состоят особенности локально-изотропных полей турбулентности ? Чтобы выяснить это, попытаемся ответить на вопрос: от каких параметров может зависеть статистический режим мелкомасштабных пульсаций. Естественно ожидать, что при переходе ко всё более и более мелким пульсациям, наряду с ослаблением ориентирующего влияния осредненного течения, будет ослабевать и влияние всех вообще его геометрических и кинематических особенностей. Поэтому можно предполагать, что характеристики осредненного течения (характерная длина или характерная скорость ) не будут определять статистическим режим мелкомасштабных пульсаций.

В таком случае статистический режим этих пульсаций не будет зависеть от конкретного вида осредненного движения, и будет определяться своими собственными внутренними закономерностями. Подобные закономерности, очевидно, должны быть обусловлены общими для всех локально-изотропных турбулентных течений процессами передачи энергии от крупномасштабных движений к движениям меньших масштабов под действием сил инерции, т.е. в виде работы, совершаемой против действия напряжений Рейнольдса, и диссипации энергии в теплоту под действием вязкого трения.

Отсюда вовсе не следует, что статистический режим мелкомасштабных пульсаций вообще не будет зависеть от особенностей осредненного течения, т.е. во всех потоках будет одним и тем же. Осредненное течение будет воздействовать на режим мелкомасштабных пульсаций косвенно – через величину того же потока энергии, который передается от осредненного течения через всю иерархию вихрей и в конце концов рассеивается, переходя в теплоту. Поскольку в потоке сохраняется закон сохранения энергии, то средняя удельная диссипация энергии (т.е., среднее количество энергии, переходящей в теплоту в единице массы жидкости за единицу времени) будет равна среднему количеству энергии, поступающей за единицу времени в единицу массы от осредненного течения к наиболее крупным вихрям. Следовательно, величина и будет той характеристикой осредненного течения, которая будет влиять на статистический режим мелкомасштабных пульсаций.

Кроме этого, статистический режим мелкомасштабных пульсаций может зависеть и от параметров, характеризующих свойства среды, в которой возникла турбулентность. Для жидкости таким свойством будет молекулярная вязкость .

Из всего вышесказанного можно сделать следующие выводы. Во-первых, по мере переноса энергии по каскаду вихрей от наибольших до наименьших масштабов (т.е. к вихрям с бо́льшими волновыми числами), свойства направленности вихрей должны теряться. Поэтому мелкомасштабные движения с размерами много меньшими размеров осредненного движения должны быть статистически однородными, несмотря на анизотропно крупных энергосодержащих вихрей.

И второй вывод. Статистические характеристики компонентов движения с бо΄льшими волновыми числами должны определяться теми внешними параметрами, которые имеют отношение к динамике этих компонентов движения. Этими параметрами будут скорость, с которой энергия поступает от крупномасштабных компонентов (с меньшими волновыми числами) и переносится через весь интервал волновых чисел в ту часть спектра, где она диссипирует в тепловую энергию, благодаря силам внутреннего трения. И во-вторых, это кинематическая вязкость жидкости, от которой зависит в каком интервале волновых чисел будет происходить эта диссипация энергии и как она будет распределяться между отдельными компонентами этого интервала. Этот вывод впервые сформулировал А.Н. Колмогоров и он был назван первой гипотезой подобия А.Н.Колмогорова.

Статистические характеристики мелкомасштабных компонентов развитой турбулентности полностью определяются двумя размерными параметрами и .

Если статистические характеристики в некотором интервале (а, следовательно, и динамика движения в этом интервале) определяются этими двумя размерными параметрами, то с их помощью можно получить и сами динамические характеристики этого движения, т.е. из этих двух величин можно составить масштабы длины времени и скорости, характеризующие движения в равновесном интервале. Эти масштабы можно получить применяя анализ размерностей. Мы имеем

и

,

,

,

, , ,

, .

Аналогично

и . ( 1)

Эти величины имеют физический смысл типичных размеров, время жизни (время возращения турбулентного режима к стационарному) и скорости внутреннего движения для наименьших турбулентных вихрей.

При больших числах Рейнольдса интервал локально-изотропной турбулентности также достаточно велик. Вихри с масштабом порядка составляют верхнюю границу этого интервала и число для этих вихрей будет , т.к. для них силы инерции уравновешиваются силами вязкости. Для вихрей же с масштабом , но входящих в интервал локально-изотропной турбулентности , число будет расти , т.е. силы инерции будут намного превосходить силы вязкости. Таким образом в энергетическом режиме соответствующих турбулентных движений доминирующим процессом будет передача энергии к движениям меньших масштабов благодаря действию сил инерции без сколько-нибудь заметного перехода энергии непосредственно в теплоту. Поэтому и статистические закономерности, отвечающие этому интервалу масштабов, по-видимому, не должны зависеть от коэффициента вязкости . Эти соображения приведи Колмогорова к формулировке его второй гипотезы подобия.

Статистические характеристики мелкомасштабных компонентов развитой турбулентности с масштабами длины и времени много больше и , но много меньше масштабов самого потока и , полностью определяется единственным размерным параметром .

Гипотезы подобия Колмогорова разбивают спектр масштабов возмущений в области локально-изотропной турбулентности на две подобласти: область средних масштабов (или инерционный интервал), в котором характеристики движения определяются потоком энергии по иерархии вихрей и область малых масштабов, или вязкий интервал, в котором происходит вязкая диссипация энергии движения в тепловую энергию.

В обеих гипотезах подобия говорится об универсальности статистических характеристик турбулентности , при этом чаще всего имеют в виду универсальность спектральной функции (или спектра), хотя есть и другие универсальные статистические функции (например, структурная функция). Чаще всего в спектральной теории турбулентности рассматривается функция , которая определяется соотношением

. (2)

Так как величина есть кинетическая энергия пульсаций, отнесенная к единице массы жидкости, то функция есть спектральная плотность энергии, т.е. она показывает каким образом кинетическая энергия распределяется по вихрям различных пространственных масштабов. - это пространственная спектральная функция, т.к. аргументом ее является волновое число ( - пространственный масштаб турбулентного вихря). О временной спектральной функции , где мы поговорим позже.

Таким образом, произведение представляет долю кинетической энергии турбулентности, которая приходится на вихри с волновыми числами между и (соответственно их длины волн заключены между и ).

Размерность функции равна (из формулы 2). Тогда, если эта функция будет зависеть от аргумента и от (в инерционном интервале), то можно из соображений размерности определить вид спектральной функции

,

,

, , .

Из этого следует, что пространственный спектр кинетической энергии турбулентности в инерционном интервале будет иметь вид

, (3)

где - безразмерная константа, .

Формула (3) называется законом Колмогорова-Обухова.

Рассмотрим пространственный спектр. Такие спектры получаются при вертикальном (вертикальные волновые числа) и горизонтальном зондировании океана. Однако чаще мы наблюдаем пульсации скорости, , электропроводности и т.д. в одной точке в течении некоторого промежутка времени. Это будут временные (или частотные) спектры .

Для получения статистических характеристик во временной области используется гипотеза «замороженной турбулентности». Предположим, что вихрь «замерз» и перемещается без искажений со скоростью среднего потока . Масштаб вихря (волновое число ). Время за которое проходит вихрь расстояние будет равно . Тогда за время, равное периоду , он пройдет расстояние равное длине окружности , т.е. . Подставим вместо и вместо , тогда . Отсюда . Таким образом, переход от пространственных характеристик к временным осуществляется простой заменой на , получим .

Мы рассмотрели спектр кинетической энергии турбулентности, т.е. спектр, который получается при измерении скорости движения потока . Такая же (качественно) картина получается и при измерении температуры воды, поскольку поле температуры тесно связано с локально-изотропним полем скорости. Здесь также можно выделить два интервала - вязкий и инерционный. Однако спектральные характеристики поля температуры будут зависеть еще от одной величины – скорости выравнивания температурных неоднородностей - . Для единицы массы жидкости ( - коэффициент молекулярной теплопроводности). Гипотезы подобия, аналогичные гипотезам Колмогорова, для поля температуры сформулировал Обухов. Так, для инерционного интервала масштабов спектр определяется двумя внешними параметрами – скоростью диссипации энергии и скорости выравнивания температуры неоднородностей

,

где .

Видно, что зависимость от волнового числа является такой же, как и зависимость спектра кинетической энергии, т.е. оба спектра описываются законом .

Аналогично, для частотного спектра

,

где .

Закон является фундаментальным законом, т.е. справедливым при самых общих предположениях. Понятно, что если вносить в рассмотрение какие-либо дополнительные ограничения, то эти законы должны как-то изменяться. Проверка справедливости этих законов осуществлялась многочисленными измерениями как в природе, так и в лабораторных условиях. При подобной проверке путем измерения скорости течения на многосуточной станции в Сев. Атлантике Р.В.Озмидов заметил, что в некоторых областях спектра его форма отличается от закона . Он объяснил это отличие поступлением энергии от каких-то внешних источников, а не только передающей энергии по каскаду вихрей. В результате этих наблюдений Озмидов выдвинул гипотезу о наличии зон энергоснабжения в спектре. В этих зонах энергоснабжении отклонение спектра от кривой закона , а между зонами лежат в области выполнимости закона . Каждой из этих зон соответствуют различные значения .

Эту гипотезу можно проиллюстрировать следующим рисунком.

а б а б а б

11

9

7

5

3

1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

10⁶ 10⁵ 10⁴ 10³ 10² 10¹ 1 0,1 0,01 , м

На этом рисунке зоны выполнимости закона обозначены буквами а – б.

В области длин волн порядка 10 м наблюдается приток энергии за счет ветрового волнения, в области длин волн порядка 100 км – за счет процессов синоптического масштаба (циклоническая и антициклоническая деятельность атмосферы), наконец, область длин волн порядка 10⁴ км соответствует общей циркуляции океана.