ОНПУ

кафедра высшей математики и моделирования систем

Реферат

«Функции нескольких переменных»

Выполнил: студент

группы ОВ-122

Гридасов Максим Михайлович Проверил: доцент

КВММС Жарова.О.В.

Оценка: Одесса 2012

Содержание:

§1 Определение функции нескольких переменных

§2 Предел функции двух переменных

§3 Непрерывность функции двух переменных

§4 Частные производные первого порядка

§5 Полный дифференциал функции нескольких переменных. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

§6 Частные производные сложных функций нескольких переменных

§7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных

§8 Частные производные второго и более высоких порядков

§9 Экстремум функции двух переменных

§10 Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

§11 Примеры

§1 Определение функции нескольких переменных

При рассмотрении многих вопросов из различных областей знания приходится изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других.

Например, изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных:x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времениt, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных:x, y, z, t.

Другой пример: изучаются издержки производства на изготовление единицы некоторого вида продукции. Пусть: x- затраты по материалам,y- расходы на выплату заработной платы работникам,z- амортизационные отчисления. Очевидно, что издержки производства зависят от значений названных параметровx, y, z.

Определение 1.1 Если каждой совокупности значений "n"переменных

из некоторого множества Dэтих совокупностей соответствует своё единственное значение переменнойz, то говорят, что на множествеDзаданафункция

"n"переменных.

Множество D, указанное в определении 1.1, называетсяобластью определянияилиобластью существованияэтойфункции.

Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел

обозначаются, как правило, (x, y)и интерпретируются как точки координатной плоскостиOxy, а область определения функцииz = f ( x, y )двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскостиOxy.

Так, например, областью определения функции

является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению

т. е. представляет собой круг радиуса rс центром в начале координат.

Для функции

областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию

т. е. внешние по отношению к заданному кругу.

Часто функции двух переменных задаются в неявном виде, т. е. как уравнение

связывающее три переменные величины. В этом случае каждую из величин x, y, zможно рассматривать как неявную функцию двух остальных.

Геометрическим изображением (графиком)функции двух переменныхz = f ( x, y )является множество точекP ( x, y, z)в трехмерном пространствеOxyz, координаты которых удовлетворяют уравнениюz = f ( x, y ).

Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскостьOxyв область определения функцииz= f ( x, y ).

Так, например, (рис. 1.1) графиком функции является верхняя половина сферы, а графиком функции

- нижняя половина сферы.

Графиком линейной функции z = ax + by + с является плоскость в пространствеOxyz, а графиком функцииz = сonstслужит плоскость, параллельная координатной плоскостиOxyz.

Заметим, что функцию трех и большего числа переменных изобразить наглядно в виде графика в трехмерном пространстве невозможно.

В дальнейшем будем в основном ограничиваться рассмотрением функций двух или трех переменных, так как рассмотрение случая большего (но конечного) числа переменных производится аналогично.