Математика,заочники_12_семестр

Контрольна робота № 2.

Лінійна алгебра. Вступ у математичний аналіз. Задача 1. Розв'язати систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь: 1) за правилом Крамера; 2) методом Жордана – Гауса.

	x 2 y z 4;			5x 8y z 7;			7x 5 y 2z 18;
1			11		x 2 y 3z 1;	21		x y z 3;
	3x 5 y 3z 1;
		2x 7 y z 8			2x 3y 2z 8			x y 2z 2.
	x y z 6;				x y z 3;		x 2 y 4z 31;
2			12			22
	3x y z 4;			x 2 y z 4;			5x y 2z 29;
		2x y z 1						3x y z 10.
				2x y 3z 3.
	3x 2 y z 5;			x y 2z 1;			2x y z 4;
3		2x 3y z 1;	13			23
				2x y 2z 4;			3x 4 y 2z 11;
	2x y 3z 11				4x y 4z 2		3x 2 y 4z 11.
	x y z 2;			2x y 2z 1;			x 2 y 3z 6;
4		x z 0;	14		3x 2 y z 1;	24
							3x 2 y 5z 12;
								2x 3y 4z 16
	2x 3y z 1			2x 3y 3z 0.
	2x y 3z 7;			x 5y z 0;			2x y 3z 9;
5			15			25		x 2 y z 3;
	x 3y 2z 0;			3x 4 y 2z 8;
		2 y z 2			2x y 3z 4			3x y z 1.
	x 2 y 2z 3;			4x 3y 2z 9;			3x y 2z 4;
6			16		2x 5y 3z 4;	26		2x 3y z 9;
	x y 2z 0;
		x y z 1		5x 6 y 2z 18			5x y 3z 4.
	x 5y z 7;			2x y 4z 20;			2x y 3z 4;
7		2x y z 0;	17		2x y 3z 3;	27		x 3y z 2;
		x 2 y z 2		3x 4 y 5z 8				5x 2 y z 5.
		3x y 5;			x y 4;		x y z 0;
8		2x y z 0;	18		2x 3y z 1;	28
							3x y z 4;
	2x y 4z 15			2x y 3z 11			2x 5y 3z 17
	x y z 1;			x 5 y z 7;			x y z 2;
9		2x y z 1;	19			29
				3x 2 y 4z 11;			2x y 6z 1;
		x z 2			2x y z 4			3x 2 y 8
	x y z 5;			11x 3y z 2;			2x y 3z 3;
10			20			30
	2x y 3z 1;			2x 5y 5z 0;			3x 4 y 5z 8;
		5x z 8			x y z 2			2 y 7z 17

Задача 2. Дана система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв'язків та загальний розв'язок системи.

	x1 2x2 3x3 4x4					0;		x1 5x2 4x3 4x4 0;
			3x2	4x3 x4		0;
1	2x1						16	5x1 x2 8x3 20x4 0;
		6x x 8x 7x 0							x x 2x 4x 0
		1	2	3	4				1 2	3	4

11

	x1 2x2 6x3 3x4 0;						x1 7x2 x3 x4 0;
								x1 3x2 2x3 x4 0;
2	3x1 6x2 10x3 5x4 0;					17
		x 2x 2x x 0					4x 2x 3x 3x 0
		1	2	3	4			1	2	3	4
	x1 3x2 9x3 x4 0;						x1 6x2 2x3 x4 0;
3	5x1 x2 3x3 5x4 0;					18	2x1 12x2 x3 2x4 0;
		2x x 3x 2x 0						3x 18x x 3x 0
		1	2	3	4			1	2	3	4
	x1 8x2 3x3 2x4 0;						x1 x2 3x3 21x4 0;
								4x1 7x2 x3 7x4 0;
4	x1 x2 6x3 2x4 0;					19
		3x 2x 5x x 0					5x 6x 4x 28x 0
		1	2	3	4			1	2	3	4
	x1 4x2 x3 2x4 0;						x1 x2 2x3 x4 0;
5	3x1 5x2 3x3 6x4 0;					20	3x1 2x2 9x3 7x4 0;
		4x x 4x 8x 0						x 3x 8x 5x 0
		1	2	3	4			1	2	3	4
	x1 x2 x3 x4 0;						2x1 x2 x3 x4 0;
6	3x1 3x2 7x3 x4 0;					21	4x1 x2 4x3 4x4 0;
		5x x 9x 3x 0						6x 5x x x 0
		1	2	3	4			1	2	3	4
		2x1 8x2 x3 3x4 0;					x1 x2 2x3 2x4 0;
7	3x1 12x2 5x3 15x4 0;					22	2x1 x2 3x3 3x4 0;
		x 4x 4x 12x 0						3x 2x x x 0
		1	2	3	4			1	2	3	4
		x1 2x2 7x3 0;						x1 x2 x3 x4 0;
								2x1 x2 x3 8x4 0;
8	4x1 x2 x3 9x4 0;					23
	3x 2x 3x 8x 0						3x 2x 2x 9x 0
		1	2	3	4			1	2	3	4
	x1 4x2 5x3 15x4 0;						x1 2x2 5x3 13x4 0;
								5x1 x2 2x3 2x4 0;
9	x1 3x2 2x3 13x4 0;					24
		2x x 3x 2x 0						3x x 4x 0
		1	2	3	4			1		2	4
	x1 x2 2x3 3x4 0;							x1 2x2 3x4 0;
10	4x1 3x2 x3 2x4 0;					25	4x1 3x2 15x3 13x4 0;
		7x x 8x x 0						2x 5x 3x 11x 0
		1	2	3	4			1	2	3	4
	x1 5x2 5x3 3x4 0;						3x1 x2 5x3 2x4 0;
								x1 x2 4x3 x4 0;
11	2x1 4x2 3x3 x4 0;					26
		x x x 0					2x 2x 3x x 0
		1	2	4				1	2	3	4
	x1 x2 3x3 10x4 0;							x1 2x2 x3 x4 0;
		5x1 x2 x3 2x4 0;						2x1 3x2 3x3 x4 0;
12						27
	3x x 7x 22x 0						3x 4x 2x 2x 0
		1	2	3	4			1	2	3	4
	x1 3x2 x3 2x4 0;							x1 x2 x3 0;
		6x1 x2 6x3 5x4 0;
13						28	2x1 3x2 3x3 x4 0;
	2x 3x 2x x 0						x 2x 2x x 0
		1	2	3	4			1	2	3	4

12

		6x1 3x2 2x3 3x4 0;																x1 x2 2x3 x4 0;
						x3 2x4 0;											3x1 3x2 6x3 3x4 0;
14		4x1 2x2											29
			2x x x x 0												2x 2x 4x 2x 0
				1	2		3		4									1	2	3		4
		x1 2x2 4x3 3x4 0;													x1 x2 2x3 x4 0;
				5x2 6x3 4x4 0;														2x1 x2 x3 8x4 0;
15		3x1											30
		4x 5x 2x 3x 0													3x 2x x 13x 0
			1		2		3		4									1	2	3		4
		Задача 3. Знайти власні вектори та власні значення матриці.
			5 0			6						2 0 1										7		6	6
1		A		1	4	1				11	A	1 1 1							21		A		2	3	2
				0	0	2						1 0			2								2	2	3
			5 0			0						5 0 0										7		6	6
2		A		1	1	1				12	A	1 4 1							22		A		4	1	4
				1	0	3						1 1			4								4	2	5
			7 0			0						3 0 0										5		4	4
3		A		1	5	0				13									23		A		2	1	2
											A	1 2 1
				1	1	4						1 1			2								2	0	3
			2		1	1						1		1 1								3		2	2
4		A		1	2					14		1 2 0							24		A		2	1	2
						1					A
				0	0	1						0 1 0											2	2	3
			5		2	2						4 0 1										1 1			0
5		A		0 5		0				15	A	1 4 1							25		A		3 3		0
				0 2		3						1 0			4								3 1		2
			3		2	2						2 3 1										4 0			1
6		A		0	3	0				16	A	0 2 1							26		A		2	3	2
				0	2	1						0 1			2								1	1	2
			4 0			1						4 1 0										6 1			1
																					A				2
7		A		0	2	0				17	A	1 4 0							27				2	5
				1	1	4						1 1			5								1	1	4
			2 1			0						2 1 0										4		1	2
																					A				2
8		A		1	2	0				18	A	1 2 0							28				2	1
				1	1 1							1 1			3								1	1	1
			3		1	1						7 4			4							3 1			1
9		A		0	2	1				19	A	2 3 2							29		A		2 2		1
				0	1	2						2 0 5											2 1		4
			5		1	1						7 4 2										5 1			1
10		A		0	4	1				20	A	2 5 2							30		A		2 4		1
				0	1	4						0 0 9											2 3		6
														13

Задача 4. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного вигляду рівняння кривої ax2 by2 cxy dx ey f 0 та визначити її тип.

	а	b	с	d	e	f		а	b	с	d	e	f
1	3	3	8	-2	2	5	16	0	0	4	4	4	1
2	2	2	-6	3	-2	5	17	1	1	-8	20	20	1
3	5	5	-2	1	-17	8	18	3	3	4	8	12	1
4	1	1	-8	12	12	3	19	4	4	2	12	12	1
5	4	4	-2	6	6	-9	20	0	0	2	2	2	-3
6	3	3	-4	4	4	1	21	1	-1	4	-8	-4	1
7	0	0	4	4	-4	1	22	-4	-4	2	10	-10	1
8	1	1	4	4	2	-5	23	-1	-1	-4	-4	-2	2
9	2	2	-2	6	-6	-6	24	0	0	4	4	-4	-2
10	0	0	-4	8	8	1	25	-3	-3	4	-6	4	2
11	3	3	2	-12	-4	1	26	-2	-2	2	-6	6	1
12	5	5	-2	10	-2	1	27	0	0	-2	-2	-2	1
13	0	0	-4	-4	4	6	28	-1	-1	4	2	-4	1
14	3	3	-4	6	-4	-7	29	2	2	-2	-2	-2	1
15	3	3	-2	-6	2	1	30	0	0	4	4	-4	0

Задача 5. Обчислити границі числових послідовностей.

(2n 1)2 (n 1)2

3n2 6n 7

1 n

1

lim

lim n

n

2

1

n

2

1

lim

2

2

n

n n 1

n

n

3n 20n 1

(3 n)2 (3 n)2

n

3

n

n2 1

n4

3

5

2

lim

limn

n

n

lim

(3 n)

2

(3

n)

2

2

n

n

n

2

2

n3

3

lim

(3

4n)

lim

n

n 2

n 3

lim

5n

3n 1

3

3

2

n

(n 3) (n 3)

n

n

5n

3n 3

(n 1)3 (n 2)3

lim n

3

2n

n 10 3n 1

4

lim

5

8n

3

lim

(3n 2)

2

(n 1)

2

n

n

n

n 1

(n 2)2 (n 2)2

2n2 5n 7

n

5

lim

lim

n

n(n 1)

lim

(n 3)

2

2

n

n

n

2n 5n 3

n2 5n 7

3

3

n3 n

2n2

6

lim

lim n

2

n

3

5

n

3

3

lim

(n 2)

3

(n

2)

3

3

2

n

n

n

n

(n 4)! (n 2)!

n2 n 1

n

7

lim

lim

n

2

3n

n

2

3

lim

(n 3)!

2

n 1

n

n

n

n

(2n 1)3 8n3

lim

3

n

6n 7 3n 2

8

lim

n

3

2n

2

lim

(2n 1)

2

4n

2

n

n

n

6n 4

(n 1)3 (n 1)2

4n2 4n 1

1 2n

9

lim

lim

(n

2

1)(n

2

4) n

2

lim

3

2

n

n 3n

n

n

4n 2n 3

14

(6 n)2 (6 n)2

lim

3

2n 3 n 1

10

lim

3

(n 2)

2

n

2

lim

(6 n)

2

(1 n)

2

n

n

n

2n 1

(3 n)3

7n2 8n 5

n 2

11

lim

lim

n(n 5) n

lim

2

3

2

n

(n 1) (n 1)

n

n 7n 2n 1

(n 1)3 (n 1)3

n 3 n 4

12

lim

lim

3

n

2

3

n(n 1)

3

n

lim

(n 1)

2

(n 1)

2

n

n

n

n 5

(n 1)2 (n 2)3

n2 n 2

3n 5

13

lim

lim n

n

4

3

n

4

2

lim

(4 n)

3

2

n 1

n

n

n

n

(3n 1)! (3n 1)!

lim n

3

3n 1 2n 3

14

lim

4 n

3

lim

(3n)!(n 1)

n

n

n

3n 1

(2n 1)3

(n 5)2

2n2 7n

n2

15

lim

lim

n2 n

n2

n 3

lim

3

2n

2

3n

n

8n

n

n

2n

(2n 1)2 (n 3)2

10n 3 5n

3

3

8

4n

2

3

8

1

16

lim

lim n

n

n

lim

(n 5)

2

(n 5)

2

10n

n

n

n

1

(n 1)3 (n 1)3

n2 3n 6

n 2

17

lim

lim n

n

2

2n

n

2

3

lim

3

2

n

n 3n

n

n

n 5n 1

(n 6)3 (n 1)3

lim n

3

3n

13n 3 n 3

18

lim

2

27n

3

lim

(2n 3)

2

(n

4)

2

n

n

n

13n 16

(n 9)2 (3n 1)2

3

3n2

4n

1

n 1

19

lim

n3

2

n3 1

lim

lim n2

(n 6)

3

(n 1)

3

3n

2

2n 7

n

n

n

(n 2)4 (n 2)4

2n

3

n 1 n 2

20

lim

lim

3 8n

3

lim

4

2

n

n 2n 1

n

n

n 3

2n2 4n 7

2n2 2n 3

n2

21

lim

lim

n

n

2

n

1

lim

(2n 1)

2

(n 1)

2

2n

2

2n 1

n

n

n

(2n 1)! (2n 2)!

3

3

2n 1 n 1

2

3

3

22

lim

lim n

n

4

n 2

lim

(2n 3)!

n

n

n

2n 1

(n 1)3 (n 2)3

n2 6n 5

n 2

23

lim

lim n

2

n

5

n

n

5

8

lim

2

2

n

n 2n 3

n

n

n 5n 5

n3 (n 1)3

n 1 n2

24

lim

limn

3

n

3

5n

2

4n n

lim

(n 1)

4

n

4

n

n

n 1

(3n 1)2 (n 2)2

6n2 n 3

2n2

25

lim

lim

n

2

3n 2 n

lim

2

(2n 5)

2

4n

6n

2

n 4

n

n

n

26

lim

(3 n)2 n3

lim

(n 1)2/3 (n 2)2/3

lim

n 4 n

(n 1)

3

(n 1)

2

n

n

n n

2

(1 2n)4

3n2 5n

n

27

lim

lim

n

(n 1)(n 2)

lim

3

3

2

n

(3n 2) (n 3)

n

n

3n 5n 7

15

n! (n 2)!

n 5 n 1

4

2

4

28

lim

limn

n

3n

n

9

lim

(n

1)! (n 2)!

n

n

n 7

4

4

2

n2

29

lim

(3 n)

(2 n)

lim

n

n 3

n 4

lim

2n

7n 1

4

4

2

n

(1 n) (1 n)

n

n

2n

3n 1

30

lim (5 n)2

(4 n)2

lim n3 3

n6 n3 3

n6 2

lim

n 3 n

2

2

2

n (3 n) (2 n)

n

n

n 1

Задача 6. Обчислити границі функцій, користуючись відомими границями функцій та

наслідками з них.

2 x

1)

1

(7

lim

1 tg x

1 tg x

1

lim

lim(2 x)sin(x 1)

ln(1 3x)

sin 2x

x

0

x

1

x

cos mx cos nx

e

2x

1

1

2

lim

lim

lim(cos 4x 2x2 ) x2

x

2

arcsin x

x 0

x 0

x 0

x

3

4x 3

lim

lg(1 10x)

lim(2 x)sec

x

3

lim

2

log7 (1 5x)

3x2 x 2

x 1

x 0

x 1

cos x

3

e

3x

1

1

cos x

4

lim

lim

lim(ex2 cos x)

x2

x 0

sin2 x

x

0

e5 x 1

x 0

5

lim

x2 3x 2

lim

2x 1

lim

sin3x sin2x

sin5x sin4x

x2 x 6

3x 1

x

2

x 0

x 0

tg 2x

3 x cosec(2/ x)

6

lim

lim

4 1 x 1

lim

sin 4x

x

5

1 2x 1

x

0

2

x 7 x

7

lim

1 sin x

lim

3tg x 3sin x

lim

cos 7x 1

1 cos 2x

tg

3

2x

3

1 3x

2

1

x

2

x

0

x 0

8

lim

sin x cos x

lim

sin2 3x

lim

4

x 2

1

cos 2x

x

x 0

1 3x2

1

x 2 3x 2 1

4

5

5

x

4

2x

2

3

x

5

x sin x

9

lim

lim

lim

arctg x 5

3x 2

x

2

x 5

x

3 2x

x

1

x2 6x 8

3 cos x 1

10

lim

lim

lim

5 x 1

x3 8

ex 1 1

5 cos 2x 1

x

2

x 0

x

1

11

lim

cos 3x cos x

lim

ln(1 x)

lim

x3 1

log3 (3 x

2

) 1

ln(1 2x)

sin(x 1)

x 0

x 0

x

1

lim

ln 1 sin x

12

lim

x2 x 2

lim

5 x4 1

x3 1

2sin3x 1

x3

1

x 1

x

1

x 0

13

lim

arcsin(1 x)

lim

ln(ln x)

lim

x2 x 2

x 1

1 x2

x e

2x 2e

x 2

x2 2x

14

lim

7x2 5x 1

lim

sin10x

lim

log3 x 1

14x2 2x

sin 9x

x 3

x 3

x

x 3

sin 4x

x6 1

3x 1

15

lim

lim

lim

x ln

sin 5x

10

1

3x

x

0

x 1

x

x

6

16

3

7x

sin 7x

5x

x

3

1

4x

2

1

16

lim

lim

lim

1

3

x 1 1

x

2x

x 0

x

x 7

sin2 2x

ln x 1

23x

17

lim

lim

lim

2

x

2

x e

6x 1

x

0

x e

x

1 6

1 3

3 x

18

lim

x

3 cos x 1

lim

2x ln

5

lim

sin2 3x

x

1 1

x

x 0

x

4

x

1 cos 2x

ln

tg x

1 x

19

lim

lim

lim

cos x

x sin x

cos 2x

x

0

x

4

x 0 cos 3x

20

lim

tg x sin x

lim

ln cos x

lim 1 sin x 1 x

ln cos x

x 0

x3

x 0

x 0

(x

2

1)

50

3

2

sin 4x

3x

1

1 sin x

1 sin x

21

lim

lim

lim

100

2x

x

(x 1)

x 0

x ln cos 3x

x 0

22

lim

arctg(2x 1)

lim

ln log2

x

lim

tg x tg2x

1

4x

2

1

2

x

x 2

x

x 4

2

ln(tg x)

1

x

x ctg 5

23

lim

sin x

x 2

x 1 ctg x

lim

lim

2

5

4

x 2

sin 2

x 5

24

lim

lg x 10

lim sin 2x tg2 2x

lim

sin2 3x

x 10

x 10

x

4

x

0

1 x sin x cos x

4x 64

25

lim

lim cos x ctg2 x

lim

7 1 sin x 1 tg x

x 3

x

x

3

x 0

x

0

26

lim

arcsin(x 2)

lim

3x 2x

lim

tg 2x sin 2x

x

2

x

2

2x

x 0

x

x 0

3

1 x

3

1

1 cos10x

1

cos(a x) cos(a x)

27

lim

lim

e3x

x

x

lim

1 cos15x

x 0

x 0

x 0

x

28

lim

2x sin x

lim

e4x

e3x

lim

cos(3x 9) cos(2x 6)

x 0

sec 2x 1

x 0 sin 4x

sin 3x

x 3

x2

6x 10 1

1

4 x

sin(x b) sin(x b)

29

lim(1 sin2 x)lncos x

lim x ln

lim

2 x

x 0

x

x 0

2x

30

lim (4x 2x ) x

lim(2x sin 3x)ctg3x

lim x(ln(2x 5) ln(2x 1))

x 0

x 0

x

17

Зразок розв’язання задач контрольних робіт

Контрольна робота №1 Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії.

Задача 1. Розкласти вектор X = (15; 20; 1) по векторах P = (0; 2;1) , Q = (0;1; 1) та

R = (5; 3; 2) .

Розв’язання

Вектор X допускає розкладання по векторах P , Q , R , якщо ці вектори лінійно

незалежні, тобто якщо їхній мішаний добуток не дорівнює нулю:
		2	1
P Q R	0
	0	1	1	0 10 0 5 0 0 15 0.
	5	3	2
Розкласти вектор X по векторах P , Q та R – це значить представити його у вигляді
лінійної комбінації цих векторів, тобто			X P Q R , де		,		та – коефіцієнти

розкладання. У нашому випадку будемо мати рівняння:

(15; 20; 1) (0; 2;1) (0;1; 1) (5; 3; 2) .

Два вектори, що задані своїми координатами , рівні тоді і лише тоді, коли дорівнюють їхні однойменні координати. Зрівнявши відповідні координати, одержимо систему:

0 0 5 15;2 3 20;

2 1.

З першого рівняння знаходимо 3 і підставляємо в друге та третє:

3;2 11;

7.

Додаючи друге та третє рівняння, одержимо 3 18 , звідки 6 . З третього рівняння виразимо 7 , отже 1.

Таким чином, розкладання вектора X по векторах P , Q , R має вигляд:

X 6P Q 3R .

Задача 2. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах a p 2q та b 3p q , якщо p 1, q 2, p, q / 6 .

Розв’язання

Користуючись властивостями векторного добутку, обчислимо площу паралелограму як модуль векторного добутку векторів a та b :

Sa b ( p 2q) (3p q) 3p p p q 6q p 2q q

p q 6 p q 8 p q 8 p q sin p, q 8 1 2sin( / 6) 8 .

Задача 3. Задані точки A(-8,4) і B(16,22). Потрібно: 1) визначити відстань між даними точками; 2) знайти координати точки P – середини відрізка AB; 3) скласти рівняння прямої, що проходить через точки A і B; 4) скласти рівняння прямої L, що проходить через точку P, перпендикулярно до прямої AB.

Розв’язання

1. Відстань d між точками A(x1, y1 ) та B(x2 ; y2 ) визначається за формулою:

d (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .

18

Підставивши у формулу значення координат точок А і В, маємо:

d 16 ( 8) 2 (22 4)2 30.

2.Координати точки P(x; y) , що лежить у середині відрізка AB між точками A(x1, y1 ) та B(x2 ; y2 ) , обчислимо за формулами:

				x				x1 x2								, y								y1 y2							.
			2																						2
Підставимо у формулу значення координат точок А і В. Тоді:
	x		8 16 4,									y					4 22								13,									P(4;13).
			2																	2
3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки A(x1, y1 ) і B(x2 ; y2 ) :
								y y1														x x1					.
						y y																x x
			2									1								2					1
За умовою задачі одержимо
	y 4			x ( 8)							y 4												x 8										y 4				x 8	.
	22 4
			16 ( 8)									18								24														3		4
4. Кутовий коефіцієнт прямої АВ : k																3				. Кутовий коефіцієнт прямої L, що проходить
			1									4
через точку P, перпендикулярно до прямої AB:																				k2						1								4	. Отже її рівняння:				y	4	x b .
																																								3
																										k1								3
Знайдемо невідоме b з умови P(4;13) L :
				13						4		4 b b																55				.
			3																						3
Таким чином, рівняння прямої L: y						4			x				55					, або							4x 3y 55 0 .
			3									3
Задача 4. Задані координати точок A(3;3;1) , B(4;0; 1) ,																																				C(5;1; 1) , D(2; 1;1) .

Потрібно: 1) перевірити, що точки A, B, C і D не лежать в одній площині; 2) обчислити площу трикутника АВС та кут між сторонами АВ та АС; 3)обчислити об'єм піраміди ABCD; 4) скласти рівняння площини ABC, звести його до нормального виду і знайти відстань від точки D до цієї площини.

Розв’язання

1. Точки A, B, C і D не лежать в одній площині, якщо вектори

AB(1; 3; 2), AC(2; 2; 2), AD( 1; 4;0) не компланарні. Обчислимо мішаний добуток цих векторів:

		3	2
AB AC AD	1
	2	2	2	0 6 16 4 8 0 6.
	1	4	0

Оскільки мішаний добуток векторів не дорівнює нулю, вектори не компланарні, отже точки A, B, C і D не лежать в одній площині.

2. Обчислимо площу трикутника АВС за формулою

		1				1		i	j	k		1
	S			AB AC				1	3	2				2i 2 j 4k		i j 2k	6		кв. од.
		2				2						2
								2	2	2

Обчислимо косинус кута між сторонами АВ та АС за формулою

19

cos AB,AC				AB AC						1 2					( 3) ( 2)				( 2) (	2)			6		.
				AB			AC						1 9 4 4 4 4									42
3. Об’єм піраміди ABCD обчислимо за формулою
V															6	1 куб. од.
		( AB AC) AD
			6										6
4. Нехай M (x; y; z) –довільна точка площини ABC. Тоді вектори
AM (x 3; y 3; z 1) , AB(1; 3; 2)			та AC(2; 2; 2)												компланарні, тому
						x 3			y 3							z 1
						1				3						2	0.
						2				2						2

Обчислимо цей визначник:

6(x 3) 4( y 3) 2(z 1) 6(z 1) 4(x 3) 2( y 3) 0.

Розкриємо дужки, приведемо подібні доданки та скоротимо на 2: x y 2z 2 0.

Помножимо загальне рівняння площини на нормувальний множник

			1			1			,
12			( 1)2 22	6

одержимо нормальне рівняння площини АВС:

x				y				2	z			2			0.
6				6				6				6

Нормувальний множник беремо із знаком “+”, бо вільний член рівняння площини від'ємний.

Відстань від точки D до площини ABC знайдемо, підставивши координати точки D у ліву частину нормального рівняння площини і взявши модуль отриманого результату:

d	2				1				2				2					3					3		.
																							2
	6		6				6				6						6
Задача 5. Задані координати точки A(3; 1;6)																	та рівняння двох площин Р1:

2x y 3z 2 0 та Р2: 2x y z 6 0 . Потрібно: 1) скласти канонічне рівняння лінії

перетину цих площин; 2) скласти рівняння прямої, що проходить через точку A перпендикулярно до площини Р1; 3) скласти рівняння площини, що проходить через точку A паралельно до площини Р2.

Розв’язання

1. В умові задачі задані загальні рівняння площин, отже відомі координати нормальних векторів цих площин n1 (2;1; 3) та n2 (2; 1;1) . Напрямним вектором прямої перетину цих площин є векторний добуток нормальних векторів

	i	j	k
l n1 n2	2	1	3	2i 8 j 4k .
	2	1	1

Для визначення координат будь-якої точки шуканої прямої візьмемо, наприклад, z 0 та розв'яжемо систему рівнянь

2x y 2 0;		4x 4 0;		x 1;
	0,		0,
2x y 6		2 y 8		y 4.

Таким чином, обрано точку M ( 1; 4;0) . Канонічне рівняння лінії перетину площин

20