Математика,заочники_12_семестр

	x 1			y 4			z			x 1		y 4		z	.
	2						4
					8				1		4		2
2. Напрямним вектором					прямої,				що		проходить через точку A(3; 1;6)

перпендикулярно до площини Р1, є нормальний вектор n1 (2;1; 3) . Канонічне рівняння цієї

прямої

x 3

y 1

z 6

.

2

1

3

3. Нормальним вектором площини, що проходить через точку A(3; 1;6) паралельно

до площини

Р2, є

нормальний вектор n2 (2; 1;1) . Загальне рівняння шуканої площини

2(x 3) ( y 1) (z 6) 0 або 2x y z 13 0 .

Задача 6. Дано комплексне число a

2

. Потрібно: 1) записати це число в алгебра-

1

i

їчній та показниковій формах; 2) знайти усі корені рівняння z3 a 0 ; 3) обчислити a2009 .

Розв’язання

1. Щоб записати число a в алгебраїчній формі, помножимо чисельник і знаменник дробу на число 1 i , спряжене до знаменника:

a	2 1 i		2 1 i		2 1 i	1 i .
	1 i 1 i		1 i2		2

Обчислимо модуль та аргумент комплексного числа a 1 i :

a 1 1 2, arg a arctg( 1) 4 .

Показникова форма запису комплексного числа a																																			i
																																	2e			4 .
2. Для того, щоб знайти усі корені рівняння z 3																												a , підставимо значення
	a		2, arg( a) arctg1 4 у формулу
															arg( a) 2 k															arg( a) 2 k
				zk 3				a																	i sin																			0,1, 2.
												cos																														, k
																			3																	3
Корені рівняння у тригонометричній формі:
									6										i sin							z1			6								3			i sin			3
				z0						2			cos											,							2		cos													,
																12					12																4							4
					6									17						17						6										7										7
				z2		2			cos									i sin									2 cos													i sin							.
														12						12
																																				12										12

3. Обчислимо a2009 , користуючись показниковою формою запису числа a :

Відкидаючи число

2009 i

2 2 e

							2009	e i				2009
			a2009			2			4	2009 2			2 e
502 , кратне періоду 2 , одержимо
		2009											2009
	2 2										2
4			cos			i sin							2
					4					4

		502
i						4
								.
		1			i			1			21004 (1
		2						2

Контрольна робота № 2 Лінійна алгебра. Вступ у математичний аналіз.

Задача 1. Розв'язати систему лінійних неоднорідних алгебраїчних правилом Крамера; 2) методом Жордана – Гауса.

i) .

рівнянь: 1) за

21

x z 1;

2x 4 y z 1;x 8y 3z 3.

Розв’язання

1) Розв'яжемо систему рівнянь за правилом Крамера. Складемо визначник з коефіцієнтів лівої частини системи:

	1	0	1
	2	4	1	12 0 16 4 0 8 8 0 .
	1	8	3

Оскільки 0 , система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами x x , y y , z z ,

де визначники x , y , та z утворюються з визначника заміною стовпця коефіцієнтів при відповідній змінній на стовпець вільних членів.

		1			0	1				x 16
x		1			4	1		12 0 8 12 0 8 16,						2	;
		3			8	3						8
					1	1						8 1;
				1
	y			2 1		1			3 1 6 1 6 3 8,	y
				1	3	3						8
					0	1						8
			1
z			2		4	1		12 0 16 4 0 8 8,		z			1 .
			1		8	3					8

2) Розв'яжемо систему рівнянь методом Жордана – Гауса. Запишемо розширену матрицю системи та зведемо її до діагонального вигляду методом елементарних перетворень. Спочатку віднімемо з другого рядка подвоєний перший та з третього рядка перший, скоротимо одержані рядки:

1						1				1		1				1
		0	1	1				0	1					0	1
	2 4		1	1			0	4	3	1			0	4	3	1
	1	8	3	3			0 8		4	4			0	2	1	1

Поміняємо місцями другий та третій рядки і віднімемо з третього рядка подвоєний другий, далі віднімемо останній рядок з перших двох, скоротимо одержані рядки:

1					1				1		1				2		1				2
		0	1	1			0	1					0	0					0	0
	0	2	1	1		0	2	1	1			0	2	0	2			0	1	0	1	.
	0	4	3	1		0	0	1	1			0	0	1	1			0	0	1	1

Отже, розв’язок системи: x 2, y 1, z 1.

Задача 2. Дана система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь

x1 x2 x3 x4 0;x1 3x2 3x3 7x4 0;

3x1 5x2 x3 9x4 0.

Знайти фундаментальну систему розв'язків та загальний розв'язок цієї системи.

Розв’язання

22

Розв'яжемо систему рівнянь методом Жордана – Гауса. Запишемо розширену матрицю системи й зведемо її до діагонального вигляду методом елементарних перетворень. Спочатку віднімемо з другого рядка перший та з третього рядка перший, помножений на три, скоротимо одержані рядки:

1 1 1 1					1 1 1 1						1	1 1	1
	1	3	3 7			0	2	4 6			0	1 2	3	.
	3	5	1 9			0	2	4 12			0 1 2		6

Додамо до першого рядка другий та віднімемо з третього рядка другий, скоротимо одержані рядки:

1 0			3	2		1		0	3	2
	0	1	2	3			0	1	2	3
											.
	0	0 0		9			0 0		0 1

Отже, маємо систему рівнянь

x1 3x3 2x4 0;		x1 3x3
	2x3 3x4 0;
x2		x2 2x3 ;
	x 0,		x 0.
	4		4

Змінні x1, x2 є базисними, а змінна x3 є довільною і приймає будь-яке значення. Загальний розв'язок системи :

3c

X2c .c0

Загальний розв'язок залежить від однієї довільної сталої, тому система має лише один фундаментальний розв'язок, який знайдемо, покладаючи c 1:

	3
		2
	X	1	.
		0

Задача 3. Знайти власні вектори та власні значення матриці

3		9	5
A	0	4	0
	0	7	2

Розв’язання

Знайдемо власні значення матриці A. Для цього розв’яжемо характеристичне рівняння:

		3	9	5
		0	4	0		(3 ) (4 ) ( 2 ) 0 ,
		0	7	2
звідки 1 3,	2 4 ,	3	2 .	Для	визначення координат власних векторів, що

відповідають власним значенням, складемо однорідну систему:

(3 ) x1 9 x2 5 x3 0;
	0 x1	(4 ) x2	0 x3 0;
0 x 7 x ( 2 ) x 0.
	1	2	3

Підставляючи у систему власне значення 1 3 , отримаємо

23

9x2 5x3 0;
		x2 0;
	7x	5x 0
	2	3

		x3	0;
		x2	0;
x		a 0.
	1

Власним вектором, що відповідає власному значенню 1

3 є вектор X1 (a;0;0) . Для

власного значення 2 4 маємо систему:

x1 9x2 5x3 0;

0 x2 0;

7x2

6x3 0.

З другого рівняння випливає, що змінна x2

приймає будь-які відмінні від нуля значення. При

x2 0 ми одержимо нульовий вектор, який не може бути

властивим. Отже,

x

89 b;

1

6

x2

b;

x 7 b.

3

6

Власному значенню 2 4 відповідає власний вектор X

89

7

2

b;b;

b . Аналогічно для

6

6

3 2 :

5x1 9x2 5x3 0;

x1 x3 ;

x1 c;

6x2 0;

0;

x2 0;

x2

7x 0,

x c 0,

x c.

2

3

3

Власним вектором для 3

2 є X3 c;0;c .

Задача 4. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку

6x2 6y2 10xy 14x 8y 1 0 ,

визначити тип кривої та побудувати її.

Розв’язання

Матриця квадратичної форми має вигляд	6		5		. Знайдемо власні значення та
	A	5	6

власні вектори матриці. Для цього розв'яжемо характеристичне рівняння:

	6	5		(6 )2 25				(6		5)(6 5) (11 )(1 ) 0 .
	5	6
Власними значеннями є 1 11,								та 2 1. Обчислимо власний вектор для 1 11:
				5x1 5x2 0;						x1 a;
								0		x1 x2
				5x1 5x2						x2 a.
Покладаючи a 1, одержимо власний вектор X1 (1;1) .
Розглянемо далі 2 1 :
				5x1 5x2 0;						x1 b;
									x1 x2
				5x1 5x2 0						x2 b.
Покладаючи b 1, одержимо власний вектор X2 ( 1;1) .
Довжина обох векторів					X1		X2			2 , то ж нормовані власні вектори
										24

			1				1							1				1
	E1					;					, E2						;				.
			2				2							2				2

Складемо матрицю ортогонального перетворення, що зводить квадратичну форму до канонічного вигляду, записуючи координати нормованих власних векторів по стовпцях:

1/		1/
	2		2
						.
	2	1/	2
1/

Саме перетворення має вигляд:
		1					1								x	1					x	1				y ;
x		2					2						x1			2 1						2 1
y		1					1						y			1						1
													1		y						x1					y1.
		2					2									2						2

Після виконання перетворення рівняння кривої буде мати вигляд:

	2	2		x1					y1					x1					y1
	11x1	y1	14										8										1 0,
						2			2							2			2

де коефіцієнтами при квадратах змінних є власні значення матриці квадратичної форми. Спрощуючи, маємо

	11x2	y2					22			x			6						y 1 0 .
	1		1					2			1		2					1
	Виділимо повні квадрати по змінних x1										та y1 :
			1			2							3						2
	11 x1							y1												11 0 .
			2										2

Виконаємо друге перетворення координат:

x	x 1
		/	2
2	1
	y1 3
y2		/	2.

Рівняння кривої звелося до вигляду 11x2	y2		x2		y2
		11, або	2		2	1. Це канонічне
2	2		1		11

рівняння еліпса з півосями a 1, b 11 . Поєднуючи обидва перетворення координат, маємо

		x	1								1
								x2
			2								2
				1				x				1
	y
			2						2		2

12 y2

12 y2

	3					;
	2
	3					,
	2

	x	1					x	1						y		2;
		2				2		2							2
			1						1
	y						x2							y2 1.
		2						2

Нова система координат утворена поворотом на кут 4 проти годинникової стрілки, тому що нові координатні вісі Ox1, Oy1 мають бути спрямовані по власних векторах E1, E2 , та паралельним переносом у новий центр O2 (2; 1) . Побудуємо графік еліпса.

25

Задача 5. Обчислити границі числових послідовностей.

(n 1)4 (n 1)4

(n 1)3

1) lim

; 2)

lim

n(n 1)(n 3)

;

(1 2n)3 4n3

n

n

n

8n2 4n 3

n 1

3) lim

.

8n

2

2n 5

n

Розв’язання

1) Безпосередній підрахунок границі дає невизначеність

. Виконуємо тотожні

перетворення у чисельнику та знаменнику:

lim

(n 1)4 (n 1)4

lim

((n 1)2 (n 1)2 )((n 1)2

(n 1)2 )

(1 2n)3 4n3

1

6n 12n2 8n3

4n3

n

n

lim

4n(2n2 2)

lim

8n3 8n

.

4n3 12n2

6n

4n3 12n2 6n

n

1

n

1

Степені многочленів у чисельнику та знаменнику однакові і дорівнюють n3 ,

тому розділимо

чисельник і знаменник на n3 :

8

8

8n3 8n

8

lim

lim

n2

2 .

n 4n3

12n2 6n 1

n

12

6 1

4

4

n

n2

n3

Зазначимо, що границя відношення двох многочленів дорівнює відношенню

коефіцієнтів при старших степенях n .

2) Безпосередній

підрахунок границі

дає

невизначеність

.

Помножимо

чисельник і знаменник на вираз, спряжений до чисельника:

(n 1)3

(n 1)3

n(n 1)(n 3)

n(n 1)(n 3)

lim

n

n

(n 1)3

n(n 1)(n 3)

lim

(n 1)3

n(n 1)(n 3)

lim

n3

3n2

3n 1 n3 4n2 3n

1)

3

2

(n 1)(n 3)

n(n

3

2

(n 1)(n 3)

n

n(n

n

n

1)

n

lim

7n2 1

.

3

2

n

n(n

1)

n

(n 1)(n 3)

Степені чисельника і знаменника однакові і дорівнюють

n2 ,

тому розділимо чисельник і

знаменник на n2 :

lim

7 1/ n2

lim

7 1/ n2

7

7

.

1

1

2

(n 1)

3

1 3

32

13

1 4

32

n

(n

1)(n 3)

n

n3

n2

n

n

n

n

n

3) Безпосередній підрахунок границі дає невизначеність 1 . Виділимо цілу частину

дробу:

8n2 4n 3

n 1

(8n2 2n 5) 6n 2 n 1

lim

lim

8n

2

2n 5

8n

2

2n

5

n

n

6n 2

n 1

lim 1

.

8n

2

n

2n 5

Помножимо і поділимо показник степеня на вираз, обернений до дробу

26

6n 2

.

8n2 2n 5

1 n

Користуючись визначною границею

lim 1

e , маємо

n

n

6n 2

8n2 2n 5

6n 2

(n 1)

lim

(6n 2)(n 1)

lim

6n2

8n 2

3

6n 2

2

2

2

8n 2n 5

e

n

2n 5

e

n

2n 5

lim 1

8n

8n

e4 .

8n

2

2n

5

n

Задача 6. Обчислити границі функцій, користуючись визначними границями та

наслідками з них.

x

2

8x 15

ln 1 sin 2x

1

2

1) lim

; 2) lim

; 3) lim 1 sin

x x .

2

x 6

x

tg x x 1 1

3

x 0

x

x

Розв’язання

1) Безпосередній підрахунок границі дає невизначеність 00 . Розкладемо чисельник і знаменник на множники. Маємо

lim

x2 8x 15

lim

(x 5)(x 3)

lim

x 5

2

.

x2 x 6

(x 2)(x 3)

x 2

5

x 3

x 3

x 3

2) Безпосередній підрахунок границі дає невизначеність

0

. З відомих

0

еквівалентностей ln(1 (x)) ~ (x)

та sin (x) ~ (x) при (x) 0 випливає

ln 1 sin 2x ~ sin 2x ~ 2x при x 0 . Далі зазначимо, що з еквівалентності

(1 (x))p 1 ~ p (x) при (x) 0

випливає

1 ~

1

tg x x при x 0 .

tg x x 1

2

Застосовуючи одержані результати, основні теореми про границі та беручи до уваги, що

lim

tg x

1, маємо

x 0 x

lim

ln 1 sin 2x

2 lim

sin 2x

2lim

2x

4lim

1

2 .

tg x x

tg x x

tg x

tg x x 1 1

x 0

x 0

x 0

x 0

1

x

У ході розв’язання прикладу ми використали можливість заміни нескінченно малих множників на еквівалентні їм нескінченно малі.

3) Перейдемо від показниково – степеневої функції до елементарної:

1

1

ln 1 sin

2

x

lim

ln(1 sin2 x)

lim 1 sin2 x

x

lim ex

ex

x .

x

x

Обчислимо границю показника, виконуючи заміну змінної:

lim

ln 1 sin2 x

x y lim

ln

1 sin2 ( y )

lim

ln

1 sin2 y

.

x

x

y 0

y

y 0

y

Користуючись еквівалентностями ln(1 x) ~ x ,

sin x ~ x

при x 0 , маємо

lim

ln(1 sin2

y)

lim

sin2 y

lim

y2

lim y 0 .

y

y

y

y 0

y 0

y 0

y 0

1

Отже, lim 1 sin2 x x e0 1.

x

27

Контрольна робота № 3

Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

Задача 1. Знайти похідну першого порядку заданих функцій.

2

x2

x ln t,

1

y sin

3x ,

y ln

y t 1

y sin x cos(x y)

x

1

x et

cos t,

y cos

2

5x ,

y ln

1 sin x

x3 y3

3xy

2

t

sin t

1 sin x

y e

y x2 x arcsin x

x cos 2t,

4

y

4

x

2

2

3

y

1 x2 ,

x

y

2

t

y 2 cos

4

x t sin t,

x

y

x y

y 2

2x 1

, y 3ln(2 sin x)

y 2 cos t

3

3

3

y (x 1)e x ,

y x3(3ln x 1)

x 1 t ,

y 1 xey 0

5

(1 t

2

)

y 1

6

y ex (x 1) ,

y ln

x 1

x ln t,

(ex 1)(ey 1) 1

y 1 t

x

7

2

x tg t,

y x arctg y

y 2

5x 4 ,

y arctg

x

y 1 sin 2t

y x23x 7

sin2 3x

x cos2 t,

xy ln y 2ln x

, y sin 3

8

y tg

2

t

3cos 6x

9

3

x sin t,

x sin y y cos x 5

y sin

x ,

y

x ln(

x

x 1)

y 1 cos t

2 ln x 1

x

5x

t 1,

tg( y / x) 5x

10

y e

(5x 1) ,

y

2

x

t 1

y t

x

11

y ln(ch x) ,

y e2x (sin 2x cos 2x)

t 1,

y

2

2xy 9 0

y ln t

ex

1 1

x

,

y cos 2 x ,

y ln

t

x3 x2 y y2

0

12

ex 1 1

y 1

1 t

2x

x

1

t 3,

y 2

ex

y ln

cos2 (x y) 4

13

1 ,

2x

1

y ln(t 2)

x

e

x

3

x

et

,

2x 2y 2x y

y

1 x2 ,

y

14

arctg

2

2

y arcsin t

15

x t sin t,

sin(xy) y

y ln

2

x ,

y

2 arctg 2

x

1

y 2 cos t

y arccos ex ,

y

3

cos x

x

1 t2 ,

xy arctg(x / y)

16

sin

2

x

(t

2

1)

y 1

x sin t,

17

y ln x2 ,

y ln

1 9x4

y ln cos t

y2 x ey/ x

cos x

x arctg t,

y

1 e

2x

,

y 2

2x 2y 2x y

18

y t

2

sin

4

x

2

x

y arcsin ex ,

y ln ln2 ln3 x

t 1,

ex sin y ey cos x

19

y 1

t

28

																																																									x cos t sin t,
												3																																	x																																																					x y
20		y ch													2x ,									y			arcsin																																y sin 2t																																					e			xy
																																											x 1
																																																										x ln t,
21		y sh2						2x , y arcsin(																													x 2) / (5x)																				y arctg t																																			y x ey arctg x
22																																																									x sin t t cos t,																																x sin y y cos x 0
		y						2				2				x			1 ,								y e						2x						(2x 1)																		y cos t t sin t
																																											cos 4x														x ctg(2et ),																																			exy x2							y2 0
		y ln(sh x) ,																			y cos												3
23																																																										y ln tg e													t
																																										4sin						2		2x
																												4 x							4												x		2								x			sin2 t,
		y																						y																																																																							cos(xy) x
24									cos x ,																														arctg
																																																																2			t
																														x3																		2									y cos
																																																											x cos t,																																			y ln x x ln y
25		y			sin x ,															y 2										x 4ln(2																					x)												4		(t / 2)
																																																									y sin
																																																									x
									1																									arccos x																										1 t2 ,
		y														1			x						2		, y																																																																3		(x y) / (x y)
26																																																																																									y
																																												2
											x																												2x																										1 t
																																																									y tg
																																	3				/ (1 x3)																				x t sin t,																																							3
27		y arctg																			x ,						y ex																														y 2 cos t																																				xy				2y 1 0
																																															x										x arcsin
				2																																																																						t ,																					2
28		y cos						(3x 2) ,																		y arctg																																																															sin							(x y) 2 0
																																							1				1 x2																y 1 t
																																																									x												,
																																																														1 t																											x cos y sin(x y)
				1 e2x
29		y																	,					y ln tg( / 4 x / 2)
																																																															1 t
																																																									y t
																																																									x ln tg t,
			y ln											3			x ,							y			arctg													1 x																																																	x y arctg xy 0
30
																																																																			2
																																				1									x																								t
																																																									y 1 sin
		Задача 2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою x0 .
1		y (4x x2 ) / 4,																									x 2																													16			y (x2 3x 6) / x2 ,																																			x 3
																										0																																																																					0
2		y 2x2 3x 1,																							x 2																															17			y x x3 ,																								x 1
																										0																																																									0
3		y 3 x2						20,														x0				8																														18			y x																	x3 ,									x0		1
		y x2 8															32,															4																											y											33																			64
4													x															x																												19											x																x,				x
																													0																																																											0
5		y 2x2					3x 1,																		x				1																											20			y (x3											2) / (x3																	2),						x			2
																										0																																																																					0
		y 84						70,																		16																																	y (1																					) / (1																		4
6				x																		x																																		21																					x												x),						x
																								0																																																																								0
7		y 2x2					3,											x						1																																22			y 1/ (3x 2),																												x		2
																			0																																																																					0
8		y (x29						6) / (x4 1),																								x					1																			23			y 2x 1/ x, x																													1
																																	0																																																		0
9		y (x5 1) / (x4																						1),						x				1																						24			y (x16													9) / (1 5x2 ),																							x			1
																																0																																																																0
		y 3( 3									2																x 1																																y 2( 3																				3									),			x 1
10						x														x			),																																	25																				x										x
																													0																																																																0
11		y (x2 3x 3) / 3,																												x			3																							26			y x / (x2 1),																												x		2
																													0																																																											0
12		y 2x / (x2												1),												x			1																											27			y (3x 2x3 ) / 3,																														x				1
																										0																																																															0
		y 14									153														2,							x 1																											y 34																									,			x 1
13							x															x																																		28												x														x
																																	0																																																							0
14		y x2		/10 3,																				x			2																													29			y (x2												2x 3) / 4,																						x			4
																									0																																																																					0
15		y (1 3x2 ) / (3 x2 ),																														x					1																			30			y 2(x8 2) / (3(x4																																	1)), x							1
																																	0																																																																	0

29

Задача 3. Обчислити границі функцій за правилом Лопіталя.

x 1 ln x

1

1

ln x

2 1/ x2

1

lim

lim

16

lim

lim x e

(x 1) ln x

x

x 1

x 0

e

1

sin x

x 0 ctg x

x

0

ln sin 4x

1

e2 x

lim sin x ln x

2

lim

lim

ctg x

x

17

lim

x

0

ln sin x

x2

x

0

x 0

x

lim

x arctg x

lim (1 cos x) ln x

ln sin 2x

1

1

3

18

lim

lim

x

x 0

x arctg x

x 0

x ln sin 4x

x 0 x

e

1

sin x x cos x

1

1

arctg x

lim x

2

ln

2

x

4

lim

sin

3

x

lim

x 1

19

lim

x

sin x

x

0

x

0

x 1

ln x

x

0

ln x

limsin(x / 3) ctg x

e x

1

1

5

lim

x

0

20

lim

lim

x 0

1 2 ln sin x

x

x2

x

0

sin x

x

ln(1 tg2 x)

1

12

cos x 1

3

2

lim

x ln

x

6

lim

lim

21

lim

3

x3

sin2 2x

x 0

x 2

x 2

x

8

x

0

x 0

lim

2ln x 1

x 2

7

lim

2

lim

1 ln

1 x

22

lim e 2x ln x

1 x

x

0

sin 3x

x

0

x

x

1

ln x

x

8

lim

ln(4x 1)

lim

x

23

lim

ln cos 2x

lim

1

ctg x

2 cos x

ln cos 4x

x

1/2

ln sin x

x

x

x

0

2x

2

tg x

9

lim

ln cos x

lim(1 x) tg

x

24

lim

arcsin x

lim tg x ln x

sin2 x

x

0

x 1

2

x

0

x sin x

x 0

1

1

1

1 x2

x

1

10

lim

cos x

lim

25

lim

lim

1 cos

2

1

x 0

x

x

0

x sin x

x

x 1 sin x

x 1

x

ln x

ln(1 sin

2

x)

2

1

ln x

lim(ctg x 1/ x)

11

lim

lim

26

lim

2

1 x

x 0

x

2

x 1

1

x

1

x 0

x

x 1

12

lim

ln(x 2)

lim ln(1 x2 ) ctg x

27

lim

ln(ln x)

lim (21/ x 1)x

1)

x

x

2 ln(ex 2

x

0

x

x

lim

arcsin(2 x)

lim

tg x

1

ln(arctg x)

1

1

13

x

2

3x 2

28

lim

ln x

lim

x

x 2

x 2

1 sin x

x 0

x 0

arctg x

lim sin x cos x

1

1 x

x ln x

lim arctg x ln2 x

14

x

ln tg x

lim

2

x

x

2

29

lim

e

2 x

x

0

4

x 0

x

x

ex e

x

x

lim

ln x 1

lim( 2arctg x) ln x

15

lim

lim ln

1

ctg

30

x

2

1)

4

4

x

e

x e

x 1 sin(x

x 4

0

Задача 4. Провести повне дослідження функції та побудувати графік.

1

y

x2 2x 7

9

y ln

x 5

2

17

y

8x

25

y

ln x

x2 4

x2 2x 3

x

x

2

y

e2x 2

10

y

x2 x 1

18

y

x2

26

y 3

3ln

x

2(x 1)

(x 1)2

x 4

x 1

3

y

2

11

y

x3 4

19

y x ln

x 1

27

y

(x 1)2

x2 2x

x2

(x 1)2

4

y

2x 3

12

y

ex 3

20

y

x2 4x 1

28

y

x3 32

e2( x 1)

x 3

x 4

x2

30