Правила дифференцирования

Если функции u(x)иv(x)имеют производные во всех точках интервала

(a; b), то для любогох Î (a; b)выполняются следующие равенства:

1.

2.

3.

Следствие.Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Формулы дифференцирования

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	C	х	х^п						e^x	a^x
	0	1	nx^n-1		cosx	-sin x			e^x	a^x

№ п/п	11	12	13	14	15	16
			arcsinx	arccosx	arctgx	arcctgx

Пример.Вычислим производные следующих функций, используя правила и формулы дифференцирования:

1. 

2. 

3. 

Решение.

Для решения первого примера используем правило вычисления производной алгебраической суммы функций и следствие:

Для решения второго и третьего примеров используем правила вычисления производных произведения и отношения функций и следствие:

Задания. Вычислите производную функции:

1. 

Решение. _________________________________________________

Ответ:

2. 

Решение. _________________________________________________

Ответ:

3. 

Решение. _________________________________________________

Ответ:

Производная сложной функции

С понятием сложной функции Вы уже неоднократно сталкивались в школьном курсе математики. Пусть даны две функции и, причем область определения функциисодержит область значений функции.

Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функцийgиjили суперпозицией функцийgиj.

Пример.Для функций исоставими.

Решение.

;

Вышеуказанный пример наглядно демонстрирует тот факт, что результат суперпозиции двух различных функций зависит от порядка, в котором эти функции следуют. Рассмотрим теорему о производной сложной функции:

Теорема.Пусть функция,хÎ (a; b), имеет производную в точкех₀ Î (a; b), а функцияопределена на интервале, содержащем множество значений функцииg, и имеет производную в точке. Тогда сложная функцияимеет производную в точкех₀,, которая вычисляется по формуле:

Пример.Найдем производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. .

Решение.

1) Полагаем, что , тогда. Отсюда, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем:

.

2) Полагаем, что , тогда. Отсюда, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем:

.

3. Имеем, что

Задание. Найдите производные следующих функций:

1. 

Решение.____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

2. 

Решение.____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Дифференциал

Дифференциал функции– это главная часть приращения функциив точкех, так что , где– бесконечно малая величина.

Дифференциал функции вычисляется по формуле:

,

где – дифференциал аргумента, равный приращению аргумента в данной точке.

Рис. 8

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение (см. рис. 8). Приближенное равенство используется в приближенных вычислениях. В таких случаях значение выражениязаменяют приближением: