12.5. Графические модели плоских кривых линий и их изобразительные свойства

Если изображению подлежит плос-кая кривая линия, то все её конструк-тивные элементы компланарны и поэ-тому на построение её ортогональных проекций распространяются все прави-ла построения проекций плоских фигур.

Вполне очевидно, что от особенностей

положения линии в пространстве зави-

сят изобразительные свойства её орто-

гональных проекций.

Как и любая плоская фигура, пло-ская кривая линия может занимать в пространстве общее положение и два вида частных, т.е., проецирующие и уровня.

Особенности, отличающие изобра-

зительные свойства проекций плоских кривых от проекций иных плоских фигур

определяются особенностями их струк-тур.

12.5.1. Изобразительные свойства ортогональных проекций окружности

1. Плоскость кривизны окружности в

положении плоскостей уровня

(рис.12.41)

1. а || П₁  а₂ О₁ О₂ , а₁ = | a |;

2. b || П₂  b₁ O₁ O_{2 ,} b₂ = | b | ;

3. c || П₃  с₁  О₁ О₂  с₂, с₃ = | c |.

Общее ПРАВИЛО 1: Если плоскость

кривизны окружности занимает то

или иное положение плоскости уров-

ня, то проекция окружности на ту

плоскость проекций по отношению к

Рис. 12.41. Изобразительные свойства ортогональных проекций окружности в положениях плоскостей уровня

Рис. 12.42. Изобразительные свойства ортогональных проекций окружностей в проецирующих положений

которой она не параллельна, есть пря-мая линия, перпендикулярная к соот-ветствующей линии связи, а проекция на параллельную ей плоскость проек-ций - окружность, конгруэнтная дан-ной..

2. Плоскость кривизны окружности в проецирующих положениях

( рис. 12.42)

1. (а) П₁  а₁  ₁, а₂ – эллипс;

А₂В₂  А₂ А₁ = | AB |; C₂D₂  A₂ B₂ ,

2. (b) П₂  b₂  ₂, b₁ – эллипс;

А₁ В₁  А₂ А₁ = | AB |; C₁D₁  A₁ B₁ ,

3. ( c)П₃  с₃  ₃, с₁, с₂-эллипсы;

А₂В₂  А₃ А₂ = А₁В₁ = |AB|; C₂D₂  C₁D₁.

Общее ПРАВИЛО 2: Если плоскость

кривизны окружности занимает то или иное проецирующее положение, то на перпендикулярные к ней плоскости

проекций она вырождается в наклон-

ные отрезки прямых, а на непарал-лельные к ней плоскости проекций, - в эллипсы, большие оси которых сов-падают с направлениями соответст-вующих линий связи и их длины равны величинам диаметров окружности, а малые оси перпендикулярны к большим в их серединах, и их длины равны про-изведению длин больших осей на ко-синус угла наклона плоскости кривиз-ны окружности к той плоскости про-

екций, на которую она проецируется в эллипс.

Графическим признаком того, что на рис.12.42. изображены окружности, а не эллипсы, является равенство длин их вырожденных проекций длинам боль-

больших осей их проекций – эллипсов.

3. Плоскость кривизны окружности в общем положении

(рис.12.43)

Так как плоскость общего положе-ния не параллельна и не перпенди-кулярна ни к одной из плоскостей про-екций, то ни одна из проекций принад-лежащей ей окружности не является ни окружностью, ни прямой линией.

Отсюда следует вывод: Ортого-нальные проекции окружности, плоско-сть кривизны которой занимает в пространстве общее положение, явля-

ются эллипсами.

Пример 1. Построить комплексный чертёж окружности m радиуса R, при-надлежащей плоскости ( f  h ) ( рис. 12.43 ).

Анализ условия:

1. Плоскость кривизны окружности

Рис. 12. 43. Изобразительные свойства ортогональных проекций окружности в общем положении

общего положения задана линиями уровня, с которыми совпадают два её разных диаметра, параллельных П₁ и П₂ и поэтому их проекции на эти пло-скости являются большими осями иско-мых эллипсов.

2.Так как направления f и h не вза-

имно перпендикулярны, то проекции от-

Рис.12.44 Изобразительные свойства ортогональных проекций эллипсов в положениях плоскостей уровня

Рис. 12.45 Изобразительные свойства ортогональных проекций эллипса в проецирующих положениях

ложенных по ним диаметров не являют-

ся сопряженными диаметрами, а поэ-тому для построения малых осей эл- липсов-проекций схема рис. 13.27 не-приемлема.

3. Решение задачи сводится к гра-фическому построению малых осей эллипсов горизонтальной и фронталь-ной проекций данной окружности.

Решение:

Построение малой оси эллипса го-ризонтальной проекции окружности.

1. 1, 2  h; 01 = 02 = R;

0₁1₁ = 0₁ 2₁ = R; 1₂ , 2₂  h₂

2. 3, 4  f; 03 = 04 = R;

0₂3₂ = 0₂4₂ = R; 3₁ , 4₁  f₁ .

3. 1₁, 2₁ h¹₁ ( R = 0₁ 1₁ = 0₁ 2₁ );

4. 4₁ ₁  h₁; 4¹₁ = ₁  a ¹₁;

4₁0₁ = R; 4¹₁ 0₁ = | R |;

5. 0₁ ₁ || ₁ ; 5¹₁ = ₁  m¹₁;

6. 5¹₁  b¹₁|| 4¹₁ 0₁; 5₁ = b_1.  ₁;

7. 6₁  b₁ || 0₁ 4₁;

5₁ 0₁ = 0₁8₁;

5₁ 8₁ - искомая малая ось эл-липса горизонтальной проекции окружности.

Построение малой оси эллипса фронтальной проекции окружности

1. 3₂4₂  f ¹₂ ( R = 0₂3₂ = 0₂ 4₂);

2. 1₂  e₂  f₂; 1¹₂ = e ₂  m¹₂;

3. 1¹₂ 0₂ = | R |;

4. 1₂  q₂ || 3₂ 4₂; 9₂ = q ₂  1¹₂ 0_2;

5. 0₂9₂ – величина искомой малой

полуоси;

6. 0₂  р₂f₂; 0₂10₂ = 0₂ 11₂ – иско-.

мая малая полуось эллипса фронталь-ной проекции окружности.

Имея значения и положение на ком-

плексном чертеже больших и малых осей эллипсов искомых ортогональных проекций окружности в плоскости об-щего положения, следует строить эти эллипсы по схеме рис.12.26.