- •Глава 6. Изображение объекта
- •Глава 6 изображение объекта
- •6.1. Принцип проецирования
- •6.2. Некоторые свойства проекций точек, линий и плоскостей
- •6.3. Соответствия, порождаемые проецированием, и их свойства. Теорема Дезарга
- •6.21. Зеркально-симметричные фигуры
- •6.4. Метод двух изображений и виды обратимых проекций
- •6.5. Определители обратимых изображений
- •6.6. Условные формы реального объекта и его морфология
6.21. Зеркально-симметричные фигуры
Все виды гомологий, порождаемые коллинеациями, которые устанавли-ваются различными вариантами кон-струкции аппарата проецирования, свя-зывают соответственные в них плоские фигуры в их системы различными от-ношениями перспективной и аффин-ной гомологичности, которые допол-няют ранее рассмотренные связи и от-ношения до полного набора средств геометро-графического моделирования проектируемых архитектурных и дизай-нерских объектов как систем.
6.4. Метод двух изображений и виды обратимых проекций
Требование обратимости проекци-онного изображения сформировало концепцию метода двух изображений, лежащего в основе получения проекци-онных чертежей, структура которых изо-морфна структуре изображаемых объ-ектов ( рис.6.22).
В общем случае аппарат этого ме-тода состоит из трёх плоскостей П, П1
и П2 и сопряжённых с ними трёх колли-нейных центров S, S1 и S2. Плоскость П называется основной плоскостью
проекций или к а р т и н о й, а плоскос-ти П1 и П2 - вспомогательными (рис. 6. 22, п.1).
Для получения обратимого черте-жа точки А её проецируют прежде из центра S1 на П1 и получают первую первичную проекцию А1, потом – из центра S2 на П2 и получают вторую первичную проекцию А2 , а затем полу-
Рис. 6.22. Варианты геометрической
структуры аппарата
метода двух изображений
(начало)
|
Рис. 6.22 Варианты геометрической структуры аппарата метода двух изображений
(начало)
|
Рис.6.22. Варианты геометрической
структуры аппарата метода
двух изображений (окончание)
ченные первичные проекции А1 и А2 из
центра S проецируют на П и получают пару коллинейных вторичных проекций А1 и А2. Прямая, на которой лежат эти проекции, называется л и н и е й с в я-
з и. Она проходит через картинный след S0 линии центров, называемый центром соответствия вторичных про-екций А1 и А2 .
Определение 6.22. Система двух взаимосвязанных вторичных проекций объекта называется его д в у х к а р- т и н н ы м к о м п л е к с н ы м
ч е р т е ж о м.
Плоскости П1 , П2 и П и сопряжен-ные с ними центры S1, S2 и S составля-
ют ф и к с и р о в а н н ы й б а з и с аппарата метода двух изображений или его структуру 72. Различные варианты конструкций фиксированного базиса определяют различные виды проекций, составляющие двухкартин-ные комплексные чертежи (рис. 6.22, п. п. 2 – 12).
Если на взаимное расположение П1,
П2 и П и собственных центров S1, S2, S не налагается никаких условий, то по-лучаемый двухкартинный комплексный чертёж являются ц е н т р а л ь н о й
п р о е к ц и е й общего вида ( рис. 6. 22, п.1).
Если система плоскостей проекций
П1П2 отнесена к натуральной системе декартовых координат так, что П1 хОу, П2 xOz, а П расположена про-извольно, центр S1 удалён в бесконеч-ность и ортогонально сопряжен с П1, а S2S, то комплексный чертёж точки А вместе с проекцией на П проградуиро-ванных осей координат является ц е н -
т р а л ь н о й а к с о н о м е т р и е й (рис.6.22, п. 2).
Если центр S1 удалён в бесконеч-ность и ортогонально сопряжен с П1, а S2S, то получаемый двухкартинный комплексный чертёж является п е р- с п е к т и в о й н а н а к л о н н о й
к а р т и н е ( рис. 6. 22, п. 3 ).
Если П1 горизонтальна, П2 П1 , а П || П2 или ПП2, центр S1 ортого-нально сопряжен с П1, а S2 S, то по-лучаемый двухкартинный комплексный чертёж является п е р с п е к т и в о й
н а в е р т и к а л ь н о й к а р т и н е.
( рис. 6. 22, п.4 ).
Если геометро-графически промо-делировать динамизм зрительного вос-приятия, то получим аппарат централь-ного подвижного проецирования (см. определение 6.13), имеющий две мо-дификации – с подвижным центром S при неподвижной картине (рис.6.22,п.5) и с подвижной проекционной системой «центр-картина», (рис.6.22, п.6).
Если П1 удалена в бесконечность, П2 П, s П, где s – траектория дви-жения S, а 0 SP , то на П получа-ем не двух, а много- или поликартин-ный комплексный чертёж или к и н о-
п е р с п е к т и в у ( п. 5).
Если П2 П, а П движется так, что расстояние от подвижного центра S до П, равное D, остаётся неизменным и траектория sП, то на подвижной кар-тине возникает деформирующееся пер-спективное изображение или киноперс-пектива, а на каждом фиксированном положении картины – отдельная стати-чная перспектива ( подобно отдельно-му кадру киноплёнки). Если этим ап-паратом изображать проектируемый объект, то получится его киноперспек-тивная мультипликация ( п.6 ).
Если П1 отсутствует, П2 П, центр S ортогонально сопряжен с П, центр S2 удалён в бесконечность и ортогонально сопряжен с картиной, |SP| = d = const, a
расстояния от изображаемых точек до П различны, но известны, то получае-мый комплексный чертёж называется
п е р с п е к т и в н о – о р т о г о н а л ь-н ы м с о п р я ж е н и е м ( или ПОС –
проекцией, предложенной проф. Н.Л.Ли-
хачёвым [60] (Рис.6.22, п.11)
Если П1 отсутствует, П2 П, S2S и этот двойной центр является центром пространственного гомологического преобразования изображаемого объек-та в гомологичный ему объект 1 при плоскости картины как двойной плоско-сти гомологии, то результат проециро-вания полученной в пространстве связ-ной фигуры как системы двух объектов
(см. также рис. 6.20) на картину П явля-
ется обратимым к о м п л е к с н ы м
к о м б и н и р о в а н н ы м и з о б р а-
ж е н и е м, предложенным профес-сором И.И.Котовым [53,(рис.6.22, п.12).
При помощи перечисленных аппа-ратов центрального проецирования
строятся перспективные чертежи про-ектируемых объектов, широко приме-няемых в архитектурном и дизайнер-
ском проектировании.
Определение 6.23. Перспектив-ные чертежи, получаемые аппарата-ми центрального проецирования, фик-сированный базис которых состоит из плоскостей и центров-точек, а про-ецирование осущетвляется прямоли-нейными лучами, называются л и н е й-
н ы м и.
Линейные перспективы являются
традиционными и классическими вида-ми наглядных изображений. Если же идти по пути обобщений с целью полу-чения новых видов перспективных изо-бражений, то в фиксированном базисе аппарата центрального проецирования необходимо менять линейные элемен-ты на нелинейные. К примеру, вместо плоской картины принимать цилиндри-ческую, коническую или сферическую, заменять точку-центр на обобщенный центр в виде определённой поверхнос-ти, а вместо прямолинейных применять ломаные или криволинейные лучи. Тог-
да получаемые перспективные изобра-жения будут н е л и н е й н ы м и геометро-графическими моделями изо-бражаемого объекта, изучение изобра-зительных свойств которых является предметом исследования системной на-чертательной геометрии как фундаме-нтальной науки.
Если все центры проецирования удалены в бесконечность, а плоскости П1, П2 и П фиксированного базиса расположены в пространстве произво-льно, то изображениями, составляю-щими двухкартинный комплексный чер-тёж, будут п а р а л л е л ь н ы е п р о- е к ц и и ( рис. 6.22, п.7).
Если все три центра удалены в бес-конечность, а плоскости П1, и П2 сов-падают с координатными плоскостями трёх проградуированных осей декарто-вых координат Охуz, к которым в прост-ранстве отнесена точка А, то её двух-картинный комплексный чертёж вместе с изображением системы координат-ных осей является п а р а л л е л ь --
н о й а к с о н о м е т р и е й (рис.6. 22, п.8).
Если П1 горизонтальна, П2 П1 и
П П2, центры S1 и S2 ортогонально сопряжены с П1 и П2, а центр S орто-гонально сопряжен с биссекторной пло-скостью , то изображениями, соста-
вляющими получаемый двухкартинный комплексный чертёж, будут о р т о г о -
н а л ь н ы е п р о е к ц и и (рис.6.22, п.9).
Если не использовать П2 и S2, П1 со-вместить с П и расположить горизон-тально, ортогонально сопряженные с ними центры S1 и S удалить в беско-нечность, а получаемые проецирова-нием из них проекции точек сопровож-дать числами, указывающими на удале-ние в единицах линейного масштаба изображаемых точек от этой плоскости, то изображениями, составляющими по-лученный двухкартинный комплексный чертёж, будут п р о е к ц и и с ч и сл о- в ы м и о т м е т к а м и (рис. 6.22, п.10), 72 .
Общим для всех рассмотренных аппаратов центрального и параллель-ного проецирования является то, что
получаемые с их помощью проекции прямолинейных элементов пространст-ва в общем случае также прямоли-нейны. Это обеспечивает наглядность и возможную измеримость чертежа.
Теорема Егера. Если принять,что
проекция прямой линии в общем случае
представляет собой прямую линию, то проецирующие линии образуют
связку прямых и задают центральное или параллельное проецирование.
54.
Из теоремы Егера следует, что свойства сохранения прямолинейности присущи лишь тем аппаратам проеци-рования, в которых проецирующие ли-нии образуют связку прямых.