Завдання для самостйно роботи
.doc6) , , за напрямом градієнта функції f у точці М.
109. Знайти найбільше значення у точці М.
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , .
110. Знайти одиничний вектор l, за напрямом якого у точці М досягає найбільшого значення.
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , .
111. Знайти кут між градієнтами функції f у точках А і В.
1) , , ;
2) , , ;
3) , , ;
4) , , ,
112. Довести, що кут між градієнтами функцій
у точці прямує до нуля, якщо ця точка віддаляється в нескінченність.
113. Знайти в зазначеній точці частинні похідні функції , заданої неявно рівнянням.
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , .
114. Знайти в зазначеній точці диференціал функції , заданої неявно рівнянням.
1) , ;
2) , .
115. Знайти du в точці , якщо
,
— функція, задана неявно рівнянням .
116. Функція z(x; y) визначається рівнянням
,
де — диференційовна функція. Знайти .
117. Знайти частинні похідні другого порядку функції .
1) ; 2)
3) ; 4)
118. Обчислити частинні похідні другого порядку функції у заданій точці.
1) , ; 2) , ;
3) , ; 4) , ;
5) , ; 6) , ;
7) , ; 8) , .
119. Знайти частинні похідні другого порядку функції .
1) . 2) .
120. Знайти частинну похідну .
1) 2)
3) 4)
121. Знайти частинну похідну функції
122. Знайти другий диференціал функції
1) 2)
3) 4)
5) ; 6)
123. Знайти
1) 2)
3) . 4)
124. Знайти
1) ; 2) .
125. Нехай f — двічі диференційовна функція. Знайти другий диференціал функції .
1) ,
2) ,
3) ,
4)
126.
1) Нехай f і g — двічі диференційовні функції. Довести, що функція
задовольняє рівняння
2) знайти функцію , що задовольняє задані умови.
а) , ;
б) , , .
127. Знайти другий диференціал функції , заданої неявно рівнянням.
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
128. Перетворити рівняння до полярних координат, узявши , .
1) ;
2) ;
3) .
129. Перетворити рівняння, узявши за нові незалежні змінні u, v, t.
1) ,
, , ;
2) ,
, , .
130. Перетворити рівняння Лапласа
до сферичних координат, узявши
, ,
131. Розкласти за формулою Тейлора функцію в околі заданої точки.
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , .
132. Розкласти за формулою Маклорена до де функцію f.
1) ; 2) ;
3) , .
Знайти другий диференціал функції u(x, y), заданої явно (133—138).
133.
1)
2)
3)
4)
134.
1)
2)
3)
4)
5)
135.
1)
2) , ,
3)
4)
5)
6) ,
136.
1) , ,
2) , ,
3)
4)
137.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
138.
1)
2)
3)
139. Дослідити на строгий екстремум неперервну диференційовну функцію , яка неявно задана рівнянням.
1)
2)
3)
4)
140. Знайти умовні екстремуми функції відносно заданого рівняння зв’язку.
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) ,
141. Дослідити функцію на умовний екстремум, якщо задано рівняння зв’язку (з’ясувати, чи застосовний тут метод Лагранжа).
1)
а) б)
2)
142. Знайти умовні екстремуми функції якщо задано рівняння зв’язку (142—144).
1) ,
2) , , , ,
3) , , , ,
4) , , , ,
5) ,
6) ,
7) ,
8) ,
9) , ,
10) , , , ,
143.
1) , ,
2) , ,
3) , ,
4) , ,
5) , ,
6) , ,
7) ,
8) ,
144.
1) , , ,
2) , , ,
3) , , ,
4) , , ,
5) , , ,
6) , , ,
145. Знайти найбільше М і найменше m значення функції u.
1)
2)
3)
4)
146. Знайти рівняння дотичної до еліпсоїда площини і рівняння його нормалі в точці, де а z додатне.
147. Знайти рівняння нормалі до однопорожнинного гіперболоїда
у точці
148. Знайти рівняння площини, дотичної до двопорожнинного гіперболоїда
у точці
149. Знайти рівняння дотичної площини і рівняння нормалі до поверхні в зазначеній точці.
1) ;
2) ; ,
3) ;
4) ; ,
5) ;