3.2.2. Оптимальне керування тк з послідовно працюючими агрегатами

Ця система з’єднання агрегатів неперервної дії (АНД) також поши-рена, як і попередня. Головна її перевага – це простота міжагрегат-них зв’язків. Схема такого ТК з позначенням основних змінних наведе-на на рис. 3.4.

Постановка підзадачі координації задачі оптимального керування та-ким комплексом має вигляд:

n

å j_i(x_i,x_i-1) max, (3.18)

i

x_i = f (x_i-1), (3.19)

W:

x_i Î x_{i мin}, x_{i max}, (3.20)

де (3.18) – цільова функція, а (3.19) – математична модель зв’язків, при-чому для такої структури ТК вона одночасно є і математичною моделлю ланки.

Вибір методу розв’язання цієї задачі так, як і в попередньму випад-ку, залежить від виду цільової функції і виконується аналогічно. Якщо лінійна цільова функція має такий вигляд

j_i(x_i, x_i-1) = a_i + b_i x_i-1 + c_i x_i, (3.21)

то співвідношення (3.18) після перетворень можна записати таким чи-ном:

n n

å a_i + å (b_i+1+c_i)x_i, + b₁ x₀ + c_n x_n max (3.22)

i i

У цьому випадку задача лінійного програмування виявляється виродже-ною, оскільки значення x_i визначається знаками при коефіцієнтах. Якщо цільова функція максимізується, то

при b_i+1+c_i > 0 x_i = x_{i max}, (3.23) при b_i+1+c_i < 0 x_i = x_{i min}. (3.24)

Розглянемо більш докладно випадок, коли цільова функція довільна

для розв’язання задачі застосовують метод динамічного програмування (МДП) Р.Беллмана, що є ефективним методом оптимізації багатостадій-них процесів. Ідея методу полягає у заміні багатомірної задачі оптиміза-ції послідовністю задач меншої розмірності, причому така декомпозиція залежить від виду функції цілі і обмежень. В основі МДП лежить сформу-льований Р.Беллманом принцип оптимальності, згідно з яким оптима-льне керування визначається кінцевою ціллю керування і початковим станом системи і не залежить від стану, який передує початковому. Це означає, що для будь-якої траекторії кожна її дільниця, яка зв’язує будь-які проміжну і кінцеву точки траекторії, також є оптимальною траек-торією.

Покроковий розрахунок оптимальних значень змінних керування і змінних стану найчастіше виконують «з кінця», починаючи з останього і закінчуючи першим агрегатом за допомогою рекурентної формули Бел-лмана, записаної для випадку, коли критерій оптимізації максимізується:

I_i*(x_i-1, x_n*) = max [j _i(x_i-1, x_i) + I_i+1*(x_i, x_n*)] (3. 25)

x_i-1 ÎW_x

Таким чином, на i-му кроці оптимальне управління вибирають з умов максимуму двох членів суми, що містяться у квадратних дужках, з яких другий I_i+1* – відповідає оптимальному значенню критерію на попередьо-му (i+1)-му інтервалі, а перший j _i за допомогою x_i-1 змінюють так, щоб максимізувати суму у квадратних дужках.

Процес розв’язання задачі за допомогою МДП поділяють на два ета-пи. На першому – для кожної наступної ланки (кроку) записують таб-лично чи аналітично залежність, що зв’язує x_i^опт і j _i^опт з входом даної ла-нки x_i-1, а на другому – знаходять конкретні значення x_i* і j _i*.

Розглянемо детальніше процес розрахунку оптимального керування для випадку, коли задано вихід ТК і задачу розв’язують «з кінця». Споча-тку при заданому x_n* знаходять таку величину x_n-1 , при якій функція цілі для останьої ланки була б максимальною, тобто виходячи з (3. 25) і враховуючи, що I_n+1 = 0, отримаємо

I_n*(x_n-1, x_n*) = max [ j _n(x_n-1, x_n*)]. (3. 26)

x_n-1

У цьому виразі x_n* – задане число, тому процедура максимізації ці-льової функції непотрібна і необхідне значення x_n-1^опт може бути знайде-не з математичного опису n-ї ланки

x_n-1^опт = f _n (x_n*). (3. 27)

На другому кроці оптимізації до останьої ланки приєднують (n-1)-у ланку і визначають x_n-2 так, щоб функція цілі для двох ланок була б мак-симальною. При цьому дві ланки розглядають як одну з виходом x_n* і входом x_n-2

I_n-1*(x_n-2, x_n*) = max [ j _n-1(x_n-2, x_n-1) + I_n*(x_n-1, x_n*)]. (3. 28)

x_n-2

Одночасно визначають залежність

x_n-2^опт = f _n-1 (x_n*, x_n-1). (3. 29)

Далі до двох ланок додають 3-тю, 4-ту і т.д. Дійшовши до 1-ї ланки, знаходять x_о, що забезпечує максимум функції цілі всієї системи

I₁*(x_о, x_n*) = max [ j ₁(x_о, x₁) + I₂*(x₁, x_n*)], (3. 30)

x_о

x_о^опт = f₁ (x_n*, x₁). (3. 31)

На другому етапі оптимальні зв’язки розраховують за формулами:

x_n-1* = f _n (x_n*),

x_n-2* = f _n-1 (x_n*, x_n-1*),

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

x_о* = f₁ (x_n*, x₁*).

У тому випадку, коли ні вхід, ні вихід системи не задані, не має зна-чення з кінця чи зпочатку технологічного комплексу починають розраху-нок, але при цьому вхід ТК x_о чи його вихід x_n є функціями, а не заданими числами, що збільшує розмірність задачі, яка розв’язується.

Розглянемо випадок, коли задачу ускладнює наявність рециклу (по-вернення) продукта. Такі системи застосовують у випадку, коли ступінь вилучення продукту з сировини при одноразовому проходженні ланцюж-ка послідовних агрегатів виявляється малою і потрібно повторити про-цес. Схема такого комплексу зображена на рис. 3.5.

Цю задачу прагнуть звести до попередньої з урахуванням таких співвідношень

x_вх = x_о - ax_n , x_вих = x_n (1 - a), (3. 32)

де a – ступінь рециркуляції. Якщо вхідні і вихідні змінні системи вільні, то задачу оптимізації розв’язують для відповідної розімкнутої системи, а по-тім визначають x_вх та x_вих, використовуючи (3. 32). Якщо вхідні і вихідні змінні x_вх^* та x_вих* задані, то задача керування зводиться до оптимізації розімкнутої системи із заданими входом x_о^* і виходом x_n*

x_о*= x_вх*+ [ ax_вих/(1- a)], x_n*= x_вих*/(1- a). (3. 33)

Аналогічно чинять, коли задане лише x_вх* або тільки x_вих*.

Розрахунок можна також вести за методом розриву зворотніх зв’яз-ків. У цьому разі величину x_о вважають незалежною змінною, а рівняння зв’язку, пов’язане з рециклом – обмеженням у формі рівності, накладе-ним на змінні величини. Далі розрахунок ведуть за будь-яким методом, який застосовують для розрахунку систем послідовної структури.