6.4. Агрегативні моделі функціонування великих систем управління

Основою формалізації процесу функціонування ССУ (як і інших складних систем) є положення:

- будь-яка система функціонує в часі , взаємодіючи із зовнішнім середовищем, і в кожний момент часу може знаходитись в одному з можливих станів;

• на вхід системи поступають (можуть поступати) вхідні сигнали;

• система може видавати (формувати) вихідні сигнали;

• стан системи в даний момент визначається попередніми станами та вхідними сигналами, які поступають в даний момент часу і раніше;

• вихідний сигнал в даний момент часу визначається станами системи та вхідними сигналами, які відповідають даному та попереднім станам.

Названі положення формалізуються таким чином:

1. Множина елементів часу, в якій розглядається функціонування системи tT. Множина T в загальному випадку є підмножиноюдійсних чисел і може бути неперевними, дискретним чи дискретно-неперервним.

В дискретному часі функціонують: кінцеві автомати; ЕОМ, МПК.

В неперервному: АСУ ТП; електричні системи

В дискретно-неперервному:

ієрархічні СУ: на нижньому рівні – неперервні, на верхньому – дискретні.

Функціонування в часі - процес переходу системи із стану в стан.

Множина станів :

- сукупність станів системи, яка визначається множиною станів елементів системи. Якщо кожен з елементів може бути в двох станах, то система з n-елементів може знаходитись в одному з 2ⁿ станів (стан дискретних автоматів, стан стосовно надійності)

(6.13)

• дискретні стани.

Стан системи характеризується деяким невід’ємним числом

Z(z=0,1,2,3…) (6.14)

Наприклад – аналіз складних інформаційних систем з однією фазою обслуговування. Тоді Z – кількість задач, запитів, які находяться в системі (на обслуговуванні або в черзі).

Стан системи описується набором цілих невід’ємних чисел.

(6.15)

Z_i – число вимог в і-фазі; r - число фаз

Це: динаміка багатофазних, багатоетапних систем типу теле-автоматичних систем масового обслуговування.

Стан системи описується набором дійсних чисел – вектором фазових координат.

В загальному випадку вважають, що стан системи Z описується деяким набором характеристик Z_i:

Z_i  Z_i (i=1,2 …k), (6.16)

Z_i – задані множини, а множина можливих станів складної системи визначається як прямий добуток множин Z_i:

Z=Z₁ Z₂ … Z_i …  Z_k (6.17)

Множина станів Z системи співпадає з простором координат стану X. Тоді в кожний момент часу стан Z(t) є точка в евклідовому просторі з координатами Z₁, Z₂… Z_k.

2. Множина вхідних сигналів uU₀ для даного моменту U(t) tT. Вхідний сигнал описується набором характеристик

U_iU_i (i=1,2…m), U_i – задані дискретні чи неперервні множини

Прямий добуток:

U=U₁ U₂ …U_i….U_m (6.18)

- простір вхідних сигналів, а сигнал U – точка простору U з координатами U₁,U₂ …U_i...U_m

Відображення u=L(t) – вхідний процес

3. Вихідні сигнали yY₀ (Y₀ – множина вихідних сигналів). Якщо вихідний сигнал y описати набором характеристик

y₁, y₂…y_i,…y_n, y_i Y_i (i=1,2…n),

Y_i – задані множини, то прямий добуток

Y= Y₁  Y₂ … Y_i …Y_n

- простір вихідних сигналів (y₀  Y)/

Можна вводити в розгляд вихідний процес y=M(t).

В класі великих СУ розгялдаються системи без післядії – системи, майбутня поведінка яких визначається даним станом і не залежить від передісторії, тобто того, яким чином система прийшла в цей стан.

Для детерміністських систем їх динаміка задається оператором переходів Н та оператором виходів G.

Оператор переходів Н визначає динаміку переходів системи із стану в стан:

Z(t)=H{t₀, t, z(t₀), (t,x_L]} (6.19)

z(t₀) – початковий стан; z(t₀) Z , t₀ T, tT;

{ (t,x_L]} –множина можливих ділянок вхідного процесу х=L(t) на інтервалі (t_0,t]

При фіксованих t_0, z(t₀), (t,x_L]оператор Н реалізує відображення Z=H(t) або Z=Z(t) – рух системи, а множина рухів – {Z(t)}.

Сукупність впорядкованих пар (t,z) для всіх tT, де z визначається рухом Z=Z(t) – фазова траекторія системи.

Сукупність точок простору Z, які відповідають як відображення Z=Z(t) всім t  T – траекторія системи в просторі станів.

Таким чином, вхідний процес х(t) можна розбити на окремі ділянки і аналізувати поведінку системи на кожній з них.

Оператор виходів системи G визначає динаміку вихідних сигналів:

Y(t)=G{t,t₀,z(t₀),(t,U_L]}=G{t,z(t)} (6.20)

Зовнішня схожість операторів H i G не повинна приховувати їх відмінності. Оператор Н кожному t > t₀ з множини Т ставить у відповідність елемент з простору станів zZ. Але є системи, які видають вихідні сигнали не обов’язково в кожний момент t  T. Щоб зменшити між ними відмінності, допускають, що множині У₀ належить і пустий сигнал У₀, який фізично інтерпретується як відсутність вихідного сигналу в момент t.

Узагальнена динаміка ССУ описується об’єднаним оператором:

F=H  G

- оператор функціонування, а сукупність точок {z(t),y(t)} простору ZY, які відповідають всім t  T – траєкторія функціонування.

Подібний підхід – для стохастичних систем.

На введених поняттях засновано агрегативний опис процесу функціонування складних систем. Агрегат – уніфікована структура, яка характеризується множинами Т, Z, U, Y та операторами H та G. Для оцінки функціонування агрегата вводиться стан z(t+0), в який він може перейти за малий інтервал часу. Вид оператора H залежить від того, чи поступають на протязі цього інтервалу часу вхідні сигнали. Якщо в момент t_S в агрегат поступає сигнал, то:

Z(t_s+0)=H₁[t_s, Z(t_s), U(t_s)], t_s  Т (6.21)

Якщо напівінтервал (t_s, t_s+1] не включає жодного моменту надходження вхідних сигналів, за винятком t_s+1, то

Z(t)=H₂[t₁, t_s, z(t_s+0)], t  (t_s, t_s+1] (6.22)

З множини станів Z агрегата виділяють підмножину Z^(y) для моментів видачі вихідного сигналу:

у(t^*)=G[t^*, z(t^*)] (6.23)

Можливі також зміни стану в моменти видачі вихідних сигналів при виході Z(t) на межу підмножини Z^(y), для чого вводиться оператор H₃:

z(t^*+0)=H₃[t^*, z(t^*)] (6.24)

Сукупність операторів H₁, H₂, H₃ задає оператор Н, а оператори Н та G повністю визначають модель функціонування агрегата. Тоді процес функціонування агрегата складається, в основному, з стрибкоподібних змін стану в моменти надходження вхідних сигналів на видачі вихідних сигналів (оператори Н₁, Н₂) та змін стану між цими моментами (оператор Н₃).

Прикладом такого опису функціонування може бути складна система управління щодо надходження вхідних сигналів та чергових задач.

Для складних систем управління використовуються:

- агрегат як випадковий процес. В моменти надходження вхідних сигналів відбувається “регенерація” вхідного процесу, який описує функціонування агрегата, тобто розвиток цього процеса та після таких моментів не залежить від його передісторії;

- кусково-марківський агрегат, заснований на закономірностях марківських процесів;

- кусково-неперервні агрегати, які виділяються конкретизацією множин станів, входів та виходів, а також операторів переходів і виходів;

- кусково-лінійні агрегати, засновані на розв’язках диференційних рівнянь.

За допомогою кусково-неперервних та кусково-лінійних агрегатів можна формалізувати різні реальні процеси: передачі та обміну даними в мережах; рух транспорту; зміни в системах масового обслуговування і т.д. В той же час представлення реальних систем у вигляді агрегатів неоднозначно, що значною мірою залежить від вибору фазових змінних. В будь-якому випадку необхідно забезпечити компроміс між точністю опису та повнотою отримуваної інформації і простотою моделі.