9.5. Методи дослідження операцій в системному аналізі

Дослідження операцій – один з основних витоків, джерел системного аналізу. Термін “дослідження операцій” виник на тому факті, що задачі широкого класу, які виникли в різних сферах діяльності людини при якісних відмінностях мають одне спільне: вони зводяться до вибору способу дій, варіантів плану, параметрів конструкцїі і. т.д., тобто до прийняття рішень. Потрібна була єдина теорія та система методів, а “операція” – будь-яка цілеспрямована дія. В операції завжди є суб’єкт (оперуюча сторона), який формулює мету операції і в інтересах якого вона проводиться. Мета операції - це деякий зовнішній (екзогенний) елемент - вважається заданою. Є ще дослідник операцій, який діє в інтересах оперуючої сторони, а його головна задача - знаходження способів використання ресурсів для досягнення мети. В роботах по дослідженню операцій є математичні, методологічні, присвячені конкретним операціям в економіці, сільському господарстві, військовій справі, проектуванні і т.д.

Дослідження операцій як наукова дисципліна сформувалась в повоєнні роки, але починалась вона значно раніше, а задачі належали самим видам діяльності:

• теорія ефективності технічних систем – оптимізація параметрів конструкцій (Вентцель Д.А., Пугачев В.С.);

• задача про оптимальний розподіл інвестицій (1927р., Ф.Рамсей);

• теорія масового обслуговування (Хінчін А.М., Гнеденко Б.В., 30-і роки);

• військові задачі (Англія, США, під час війни);

• формування концептуальних начал (Гермейер Ю.Б.);

В дослідженні операцій можна виділити три головних напрямки, це три етапи, які завжди є в дослідженні:

1. Побудова моделі, формалізація досліджуваного процеса чи явища.

(не операцій!)

За допомогою однієї і тієї ж моделі можна вивчати різні операції

2. Опис операції – постановка задачі. Мету операції формулює оперуюча сторона (суб’єкт, асоційований з системою).

Мета операції завжди є екзогенним (зовнішнім) фактором по відношенні до операцій і повинна бути формалізованою. Формується оптимізаційна задача

f(x) max, х G

х –елемент нормованого простору Е, який визначається природою моделі;

G  Е – множина, яка може мати як завгодно складну природу, яка визначається структурою моделі та особливостями досліджуваної операції.

3. Розв’язок оптимізаційної задачі. Розуміючи під операцією будь-яку цілеспрямовану дію, “моделлю операції” є сукупність:

• суб’єкта (оперуючої сторони), який формує мету операції;

• запасу активних засобів (ресурсів) для проведення операцій;

• набору стратегій, тобто способів використання ресурсів;

• критерію – способа порівняння різних стратегій. Він часто і є метою операції.

Типові задачі дослідження операцій:

1. Транспортна задача

a₁,a₂,…,a_n – склади товарів,

x₁,x₂,…,x_n – кількість товарів,

b₁,b₂,…,b_m – споживачі,

y₁,y₂,…,y_m – потрібні споживачам товари,

Позначимо d_{i j} – вартість перевезення одиниці вантажу між a_i і b_j;

x_i,j – кількість вантажу, який перевозиться з a_i в пункт b_j.

 x_ijy_i , (9.21)

Але на складі є лише певна кількість товару, тому:

 x_ijx_i , (9.22)

Є безліч розв’язків задачі за умов (1) і (2). Тому формується критерій, одним з варіантів якого є вартість перевезень:

(9.23)

Тепер необхідно знайти x_ij0 для І(х)min.

2. Задача розподілення добрив. Розглядається розподілення обмеженої кількості добрив між посівами П культур. Припускається, що врожайність f_і(х_і) і-ої культури – нелінійна функція від х_і – внесених добрив на одиницю площі. Тоді врожай і-ої культури буде S_і f_і(х_і), S_і – площа. Сумарна площа фіксована:

S_i  S – задане число (9.24)

Задається асортимент:

, і=1,n (9.25)

та обмеження:

, сумарна кількість добрив (9.26)

Змінюючи х_і, S_i за умов (9.24)-(9.26) можна отримати множину варіантів використання площі S. Для вибору варіантів - критерій, наприклад сумарний доход за відрахуванням витрат на добриво:

І(х,s)=(9.27)

Х=х₁,...х_n; S=s₁,... s_n

p_i – ціна продукції;

q – ціна одиниці добрив.

Тоді необхідно забезпечити І(х,s)max при обмеженнях (4)(6), в тому числі можна шукати Х.

3. Задача складання розкладу. Це цілий напрямок в дискретній математиці. Скласти розклад робіт, це: обрати їх черговість; виділити ресурси – складна техніко-економічна задача.

4. Задача розміщення складів і інш.

Всі ці задачі – задачі математичного програмування (лінійного – перша, чи нелінійного – друга). Задача 3 – цілочисленого програму-вання.

Опустимо математичні аспекти, а розглянемо складність задач, пов’язаних з можливістю порівняння різних варіантів на основі різних показників – невизначеність цілей. Подолати це формальними методами неможливо, тому потрібні додаткові дослідження та гіпотези.

Можуть бути ускладнення і при формуванні критерію. Наприклад, критерій

І (х, ξ) = f (х, ξ) (9.28)

ξ – випадковий параметр з відомими законами розподілення;

х – вектор конструктивних характеристик створюваної системи.

Як правило, намагаються:

І (х, ξ )  max (9.29)

х

Але це можливо лише за умови, коли фіксується значення ξ . Тоді кожному значенню ξ співставляється значення х=(ξ) – оптимальна стратегія при відомому ξ.

Можливі підходи, коли використовується математичне сподівання критерію

І₁=M [f (x, ξ)] max (9.30)

x

або дисперсія:

І₂=M [f_зад (x, ξ) – f (x, ξ)²] (9.31)