3.3. Цикл Карно.

Производство работы в тепловых машинах осуществляется при переходе теплоты от источника с более высокой температурой к источнику с более низкой температурой. Возможность превращения теплоты в работу и действие идеальной тепловой машины были проанализированы французским военныминженером Сади Карно (1824 г.).

Рассмотрим цикл, представляющий сочетание двух изотермических и двух адиабатических процессов. В качестве рабочего вещества используется идеальный газ, который находится в цилиндре под поршнем, движущимся без трения. Цилиндр может соединяться с нагревателем с более высокой температурой T₁ и холодильником с более низкой температуройT₂. Размеры нагревателя и холодильника таковы, что при отдаче или получении теплоты их температуры остаются постоянными. Все процессы в цикле Карно полагаются обратимыми.

Рис. 3.1. Цикл Карно Рис. 3.2. Цикл Карно

(проекция на плоскость р – V)

Рассмотрим работу машины Карно на отдельных участках и суммарный результат для одного моля идеального газа.

1. Соединим цилиндр с нагревателем и проведем изотермическое расширение газа от объема V₁до произвольного объемаV₂. Работа расширенияA₁осуществляется за счет тепла Q , полученного от нагревателя:

А₁=Q₁=RT₁lnV₂/V₁. (3.1)

2. Изолируем газ от нагревателя и расширим его адиабатически до объема V₃так, что температура газа снизится доT₂; работа

А₂=с_V(Т₁–Т₂);Q= 0. (3.2)

3. Приведем систему в контакт с холодильником и изотермически сожмем газ до объема V₄. Этот объем выбирается таким, чтобы при последующем адиабатическом сжатии система вернулась в исходное состояние. При сжатии газ отдает холодильнику теплотуQ₂. Работа

А₃=Q₂=RT₂ lnV₄ /V₃. (3.3)

4. Изолировав систему от холодильника, адиабатически сожмем газ до начального объема и температуры. Работа сжатия

А₄=с_V(Т₂–Т₁);Q= 0. (3.4)

Суммарная работа цикла

А=А_і=RT₁lnV₂/V₁+RT₂lnV₄/V₃. (3.5)

Так как точки А, D и В, С принадлежат двум адиабатам, соответствующие объемы связаны соотношениями

, (3.6)

откуда следует, что V₂ /V₁=V₃ /V₄. Тогда работа цикла

А=R(Т₁–Т₂) lnV₂/V₁. (3.7)

В результате цикла внутренняя энергия газа не изменилась, а работа произведена за счет теплоты, представляющей разность между количествами теплоты, полученной от нагревателя Q₁и отданной холодильникуQ₂.

Коэффициент полезного действия (к.п.д.) показывает, какая часть поглощенной теплоты превращена в работу:

. (3.8)

Рассмотренный цикл Карно является обратимым, так как все происходящие в нем процессы равновесны, а нагреватель и холодильник после совершения цикла возвращаются в исходное состояние. При проведении цикла в обратном направлении затрачивается работа и переносится теплота Q от тела с более низкой температурой T к телу с более высокой температурой (холодильная машина). Эффективность холодильной машины характеризуют холодильным коэффициентом

. (3.9)

3.4. Теоремы Карно – Клаузиуса.

Рис. 3.3. Цикл Карно для

насыщенного пара

В рассмотренном цикле Карно рабочим телом является идеальный газ. Идеальный газ можно заменить другим рабочим веществом, например, насыщенным водяным паром. В таком случае также можно осуществить цикл из двух изотерм и двух адиабат, при этом изотермы будут одновременно и изобарами (рис. 3.3). Изотерма АВ соответствует испарению воды, а изотерма СD – конденсации пара. Однако выражение (3.2) для к.п.д. остается справедливым и в этом случае.

Предположим, что оба цикла (с идеальным газом и водяным паром) функционируют обратимо при тех же температурах холодильников (Т₂) и нагревателей (T₁) и получают одинаковое количество теплаот нагревателей. Пусть одна машина работает в прямом направлении, производя работу, а другая – в обратном, передавая тепло от холодильника к нагревателю и затрачивая некоторую работу.

Свяжем обе машины между собой. Если циклы не эквивалентны (например, к.п.д. прямого цикла больше), работа, произведенная одним, будет больше работы, затраченной другим:

, (3.10)

т.е.

. (3.11)

В целом вся система совершит некоторую работу. Но система не извлекает тепла из нагревателя, так как одна из машин возвращает источнику все тепло, полученное другой. Таким образом, вся работа производится вследствие теплообмена с единственным источником – холодильником, что противоречит второму закону термодинамики. Полная работа должна быть равна нулю, равенство двух теплот Qвлечет необходимость равенства

и к.п.д.. (3.12)

Таким образом, к.п.д.машины, обратимо работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела(первая теорема Карно – Клаузиуса).

Сравним обратимый цикл Карно с циклом, в котором хотя бы один из процессов необратим. Природа рабочего тела и температуры источников в обоих случаях одинаковы. Пусть работа, совершаемая необратимой машиной, затрачивается на приведение в действие обратимой машины, работающей в обратном направлении. Примем, что количество тепла, получаемое от нагревателя первой машиной, равно количеству тепла, которое передается нагревателю машиной, работающей по обратимому циклу. В этом случае полный теплообмен между нагревателем и системой из двух машин, равен нулю, и система не может производить положительную работу ибо в противном случае она представляла бы собой вечный двигатель второго рода.

Полная работа может быть равна нулю только при условии, что тепло, отобранное от холодильника в обратном цикле, равно теплу, переданному холодильнику в прямом цикле. Но в этом случае обратимый цикл должен подвергаться всем изменениям, связанным с необратимостью другого цикла, что противоречит нашим первоначальным условиям. Значит, количество тепла, переданное в необратимом цикле холодильнику, по абсолютному значению может быть только больше количества тепла, полученного в обратимом цикле, т.е. к.п.д. необратимого цикла Карно меньше к.п.д. обратимого цикла.

Сказанное выше можно отнести к любому циклу. Рассмотрим произвольный цикл авсd(рис.3.4). Его можно представить бесконечно большим количеством бесконечно малых циклов Карно, каждый из которых состоит из двух бесконечно малых отрезков изотерм= (Т₁–Т₁) и= (Т₂+Т₂) и конечных отрезков адиабат.

Суммарная площадь всех элементарных циклов Карно на бесконечно малую величину меньше площади цикла abcd. К.п.д. каждого элементарного цикла

, (3.13)

Рис. 3.4. Разбиение произвольного цикла на элементарные циклы Карно

и средний к.п.д. любого цикла меньше к.п.д. цикла Карно в том же интервале температур T – T . Следовательно,к.п.д. любого цикла меньше к.п.д. цикла Карно между теми же температурами (теорема Карно).

Обобщая сказанное, можно записать выражение для к.п.д. любого цикла:

, (3.14)

где знак равенства относится к обратимому циклу Карно, а знак неравенства – ко всем остальным циклам.