Алгоритм

function dy=oscillator_m(t,y,m,k)

a=k/m;

dy=[y(2); -a*y(1)];

Результаты расчёта по данному алгоритму представлены на рис.10-11. Как видно из них, наблюдаются гармонические колебания, причём при увеличении массы в 4 раза период колебаний удваивается (см. рис.11).

Рис. 10. Зависимости от времени координаты и скорости механического осциллятора (слева). Справа показана фазовая диаграмма колебаний.

Рис. 11. Зависимость координаты и скорости механического осциллятора от времени при различных значениях массы

Учет трения

Математическая постановка задачи производится аналогичной заменой

Алгоритм

function dy=oscillator_m1(t,y,m,k,mu,k2)

g=9.8; a=k/m; a2=mu*m*g;

dy=[y(2); -a*y(1)-(a2+k2*y(2).y(2)).*sign(y(2))];

Рис. 12. Зависимости от времени координаты и скорости механического осциллятора с трением. Справа показана фазовая диаграмма колебаний.

Колебания физического маятника

основное уравнение динамики вращательного движения

mg

-момент инерции стержня

Математическая постановка задачи возможна в двух вариантах: точная

и в малоугловом приближении

Как известно, в последнем случае должны получаться гармонические колебания.

Алгоритм

function dy=oscillator(t,y,m,l)

g=9.8;

J=m*l*l/3;

a=(m*g*l)/(2*J);

dy=[y(2); -a*sin(y(1))];

При малых амплитудах наблюдаются гармонические колебания маятника. Энергия превращается из кинетической в потенциальную и наоборот, суммарная энергия сохраняется. В фазовой плоскости траектория колебаний представляет собой эллипс.

При увеличении амплитуды колебаний период увеличивается за счет нелинейных эффектов (момент силы растет медленнее, чем угол отклонения). В результате угловая скорость уменьшается по сравнению с моделью гармонических колебаний, а период растёт. Таким образом, при колебаниях физического маятника период зависит от амплитуды (см.рис. 13).

Рис. 13.Колебания физического осциллятора при различных значениях начального отклонения.

Учет трения

Сопротивление среды приводит к появлению дополнительного момента силы

,

который можно получить интегрированием элементарных моментов силы вязкого трения

и турбулентного трения

действующих на участки стержня бесконечно малой длины.

Математическая постановка задачи приводит к системе уравнений

Алгоритм

function dy=oscillator1(t,y,m,l,k,k2)

g=9.8;

J=m*l*l/3;

a=m*g*l/J/2;

dy=[y(2); -a*sin(y(1))-(k*y(2)*l^2/2+k2*y(2).*y(2)*l^3).*sign(y(2))/3];

Рис. 14. Колебания физического осциллятора с трением при различных значениях начального отклонения.

Результаты расчёта по данному алгоритму представлены на рис.14. Хорошо видно, как убывает амплитуда колебаний, также заметна зависимость периода колебаний от их амплитуды.

11. Колебания численности в системе «хищник- жертва»

Рассмотрим динамику численности популяций хищников и их жертв. Пусть N– численность зайцев;M– численность лис.

Приближения:

1. Численность не зависит от пространственных координат

2. При отсутствии взаимодействия обе популяции подчиняются закону Мальтуса: численность зайцев экспоненциально растет, численность лис – экспоненциально падает;

3. Естественная смертность зайцев и естественная рождаемость лис несущественна;

4. Эффект насыщения численности обеих популяций не учитывается.

5. Скорость убыли числа зайцев пропорциональна числу лис, скорость роста числа лис пропорциональна числу зайцев

12. Модель

Равновесные численности

Можно представить численности в виде отклонений от равновесных значений ,. Тогда

и в пренебрежении слагаемыми второго и третьего порядка малости получаем уравнение гармонических колебаний

с циклической частотой . В фазовой плоскости такие колебания имеют вид эллипса.