Студентам ИТ / 2 УПП_ИТ / Основн_литература / ИТ (Excel) / ИТ_автоматизир_управления

определенных множителей 0, 1, …, K позволяет построить вспомогательную функцию Лагранжа

L = – . (S){ln (S) – K k fk[S]}d(N) S – K k fk , (2.6.3)

k=1 k=1

где f0[S] = 1 и f0 = 1 для S .

Приравняв нулю все частные производные от L по (S), получим искомую функцию принадлежности

(S)	= exp[ K	k fk [S] – 1].	(2.6.4)
	k 1
В (2.6.4) K+1 параметров 0, 1, …, K			следует выбирать

так, чтобы удовлетворить условиям (2.6.2).

Пример 2.6.1. Пусть, например, все скалярные компоненты Sn (n = 1, 2, …, N) вектора S независимы, а их одномерные области n заданы граничными значениями n и n так, что n <

Sn < n. Поскольку = 1 2 … N, то (S) = min{ (S1),(S2), …, (SN)}. Тогда из (2.6.4) следует, что

(S) = min{ (S1), (S2), …, (SN)} = exp[ 0 – 1].

(2.6.5)

Так как exp( 0 1)dS = 1, то exp[ 0 – 1] ( – ) = 1. От-

сюда получим

(S) = min{1/( 1 – 1), …, 1/( N – N)}, если S ,

0, если S .

(2.6.6)

Эмпирический подход.

Закон нечеткого распределения состояний может быть аппроксимирован феноменологической параметрической зависимостью, например

(S) = exp[– S – S / ],

(2.6.7)

где , , – параметры нечеткого распределения, которые описывают как остроту, так и степень «размытия» состояний.

Одномерные нечеткие функции принадлежности приведены вместе с одномерным нормальным распределением на рис. 2.6.1. Нормальное распределение построено при = 2, а нечет-

61

кие	– при = 5, = 1000 (нечеткое 1)								и = 0,8,			= 1 (нечеткое
2) соответственно. Для наглядности (равенства максимальных
значений) = 1/(				2π ), а S = 0.
			Нормальное и нечеткие распределения
1,20
1,00												нормальное
0,80												нечеткое 1
0,60												нечеткое 2
0,40
0,20
0,00												s
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Рис. 2.6.1

Нечеткая функция принадлежности (2.6.7) особенно удобна при эмпирическом оценивании ее параметров. В качестве примера рассмотрим методику эмпирического оценивания характера неопределенности пищевого сырья, разработанную на базе мясного пищевого сырья.

Пример 2.6.2. Для оценки характера неопределенности пищевого биосырья были проанализированы его базовые показатели (содержание влаги, белка, жира, водосвязывающая способность, цвет) и оценены реперные точки нечетких функций принадлежности значений данных показателей областям, заключенным между минимальными и максимальными значениями. Совокупность данных реперных точек и частоты соответствующих показателей в интервалах между реперными точками приведены на рисунке 2.6.2.

Соответствующие гистограммы частотных распределений, расклассифицированы экспертами на два характерных типа. На рис. 2.6.2 показаны девять реперных точек, разделяющих области значений показателей биосырья на восемь равных интервалов. Столбик над каждым интервалом показывает относительное количество биосырья, показатели которого попадают в соответствующий интервал.

62

Рис. 2.6.2

Дополнительные исследования показали, что оба типа частотных гистограмм могут быть аппроксимированы нечеткой феноменологической функцией принадлежности (2.6.7) (см. пунктирные кривые на рисунке 2.6.2).

Наряду с 2.6.7, существует также множество других параметрических нечетких феноменологических функций принадлежности, с помощью которых возможно описывать «размытые» эмпирические данные, например

1(S) = exp{– S – S /2 2},

(2.6.8)

2(S) = /{ + [1 – exp(– S – S 2/2 2)] },3(S) = / { +[ Nm=1 (Sm – S m )2/2 2] }.

где параметры , и определяют остроту и ширину нечетких функций принадлежности.

В качестве примера одномерные нечеткие функции принадлежности (2.6.8) приведены на рис. 2.6.3 для = 1000, = 20 и = 0,001, = 20 и = 1 соответственно. При этом S = 0.

Легко заметить, что нечеткие функции принадлежности (2.6.8) могут быть также использованы для эмпирической оценки разных типов распределений, представленных на рисунке

2.6.2.

63

		Нечеткие функции принадлежности
1,20
1,00											нечеткая 1
0,80
0,60											нечеткая 2
0,40
0,20
0,00
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	S

Рис. 2.6.3

Разделение вероятностных и нечетких методов описания неопределенности ОУ на практике носит условный характер. Вероятностным методам следует отдавать предпочтение, если существует возможность проведения большого количества

( 300) повторных наблюдений, а помехи при каждом наблюдении являются независимыми и для различных наблюдений компенсируют друг друга. В противном случае неопределенность ОУ носит нечеткий характер.

64

Вопросы для самопроверки к главе 2

1.Что такое выборочные значения и как они связаны с генеральной совокупностью случайного экономического события?

2.Как связана выборочная вероятность или частость случайного экономического события с его теоретической вероятностью? Приведите содержательный пример.

3.Поясните природу помех в авторегрессионных моделях, описывающих динамику состояний экономических объектов.

4.Что такое статистически независимые события? Как математически описываются вероятности независимых событий?

5.Приведите наглядные примеры отношений на двух множествах из области экономики. Чем отличаются отношения, отображения, функции?

6.Объясните смысл нормального распределения. В чем его преимущества, недостатки?

7.Покажите на примере как вычисляются выборочные статистики: среднее значение, дисперсия, ковариация.

8.Как выглядит ковариационная матрица случайного экономического события, описываемого независимыми выборками?

9.Как выглядит ковариационная матрица двухпараметрического, трехпараметрического вектора состояния ОУ?

10.Поясните смысл несмещенности, эффективности и состоятельности статистических оценок экономических событий.

11.Как оценивается состоятельность индексных стати-

стик?

12.Приведите пример статистик второго порядка, более высокого порядка. Как используются данные статистики в экономике?

13.Чем отличаются вероятностное и нечеткое описание неопределенностей ОУ?

14.На основании формул умножения вероятностей проведите вывод формул Байеса и поясните их смысл.

15.Приведите пример несовместных экономических событий. Объясните смысл полной формулы Байеса, описывающей апостериорную вероятность событий.

16.Объясните смысл использования нечетких функций принадлежности для описания неопределенностей состояний ОУ.

65

Тренировочные задания

1. Проведите самостоятельный вывод формулы (1.4.5) в

примере 1.4.1 (стр. 19).

2. Решите пример 1.4.1. (стр. 16), используя в качестве нового вектора структурных параметров вектор P = (P1, P0), где значения P1 и P0 задайте самостоятельно, но такими, чтобы они удовлетворяли соотношениям:

-1 ≤ P1 ≤ 1, а 1 ≤ P0 ≤ 2.

Решение примера проведите до пункта 4 включительно по алгоритму, изложенному на стр. 18. Постройте диаграмму, подобную диаграмме рис. 1.4.1 на стр. 17.

3. С помощью диаграммы Венна (рис. 2.1.2, стр. 28) изобразите множество

[A (B’ C)]’.

Используя правило де’ Моргана (стр. 29) преобразуйте данное выражение.

4. Используя пример 2.2.1 (стр. 37) найдите вероятности событий для ситуаций, изображенных в таблице.

Автомобили			Тип двигателя
		A		B		C
Тип	D	x		y		z
	E	f		g		h
кузова
	F	p		q		r

Количество всех выпускаемых автомобилей N = x + y + z + f + g + h + p + q + r. Какова вероятность покупки автомобиля с кузовом типа E при условии, что двигатель будет типа C?

5. Решите пример 2.2.2 (стр. 38) при условии, что

q1	= 30%, q2	= 40%, q12 = 20%, q0 = 50%,
p1	= 50%, p2	= 30%.

6.Решите пример 2.2.3 (стр. 39) при условии, что 60% приборов собираются из высококачественных деталей. Для приборов, собранных из высококачественных деталей, вероятность безотказной работы за время гарантии – 96%. Для приборов, собранных из обычных деталей, вероятность безотказной работы за время гарантии – 80%.

7.Решите пример 2.2.4 (стр. 40) при условии, что вероятность выигрыша для 1-го брокера изменяется от 80% до 40% с

66

шагом 10%. Постройте график зависимости апостериорной вероятности выигрыша 1-го брокера.

8.Решите пример 2.2.5 (стр. 41) при условии, что производилось неудачное испытание одной единицы оборудования, трех единиц оборудования.

9.Решите пример 2.3.1 (стр. 42) при условии, что переговоры проводятся с пятью фирмами, а вероятность заключения сделки – 50%. Найдите вероятность заключения трех сделок. Найдите вероятность заключения 5 сделок при переговорах с 10 фирмами.

10.Решите пример 2.3.3 (стр. 45) при условии, что переговоры проводятся с 5-ю фирмами, а p5 = 0,5.

11.Решите пример 2.3.4 (стр. 45) при условии, что менеджер 6 раз обратился к одной и той же фирме по телефону.

12.Фондовый рынок описывается нечетким распределением (типа 2.6.6, стр. 61) валют (доллары и рубли) в некоторых

диапазонах. Доллары – в диапазоне $100000 $500000; рубли – в диапазоне 3000000 р. 15000000р. Найти значение нечеткой функции распределения, учитывая текущий курс отношения доллара к рублю.

67

Тесты по темам пособия

(выбрать правильный ответ/ответы из 3-х предлагаемых)

1.Состоянием (вектором состояния) объекта управления (ОУ) называется:

1.1Зависимость от времени целенаправленно изменяемых параметров материальных, финансовых и информационных потоков, определяющих направленность экономической деятельности;

1.2Совокупность изменяемых во времени основных параметров экономической деятельности;

1.3Совокупность целенаправленно изменяемых во времени параметров материальных, финансовых и информационных потоков, определяющих направленность экономической деятельности на целевом уровне.

2.Структурой (вектором структурных параметров) ОУ называется:

2.1Совокупность параметров, описывающих как внутренние, так и внешние организационные связи ОУ;

2.2Совокупность параметров, описывающих внутренние и внешние связи ОУ без учета их иерархии;

2.3Совокупность параметров описывающих все связи ОУ.

3.Управлением состоянием ОУ называется процесс:

3.1Изменения параметров ОУ во времени;

3.2Целенаправленное изменение состояний ОУ;

3.3Целенаправленное изменение основных параметров ОУ.

4.Оптимальным называется управление, при котором:

4.1Задано уравнение состояний ОУ;

4.2Заданы целевые критерии управления в виде функционалов, зависящих от состояний ОУ;

4.3Задано уравнение состояний ОУ и функциональные ограничения на состояния.

5.Фазовой траекторией состояний управляемого ОУ называется:

5.1Зависимость параметров состояний от времени;

5.2Кривая, описывающая критерий управления в зависимость от параметров его состояний;

68

5.3Кривая, неявно зависящая от времени, каждая точка которой задается совокупностью параметров состояний объекта.

6.Условно-оптимальное управление ОУ отличается от оптимального тем, что:

6.1Используются специальные целевые критерии и ограничения состояний ОУ;

6.2Используются целевые критерии и ограничения, зарекомендовавшие себя на практике и связанные с отдельными финансовыми и материальными компонентами состояний ОУ при заданных ограничениях;

6.3Используются ограниченное число критериев оптимальности.

7.Экспертный подход в подготовке принятия управленческого решения заключается в:

7.1Вычислении мер сходства между неизвестной и эталонными ситуациями и вычислении правления на основе известных для эталонных ситуаций экспертных решений;

7.2Сравнении неизвестной и эталонных ситуаций ОУ и вычислении управления на основе известных для эталонных ситуаций экспертных решений;

7.3Сравнении неизвестной и эталонных ситуаций или состояний ОУ и вычислении управления на основе известных для эталонных ситуаций или состояний экспертных решений.

8.Критерием среднеквадратичного отклонения траекторий для однопараметрического фазового пространства называется:

8.1t (St )2 ;

8.2t (St – S*t)2 ;

8.3т t т (St – S*t)2 .

9.Выборочной вероятностью наступления события называется:

9.1.величина, задаваемая диапазонами значений, соответствующих данному событию, и некоторыми гипотетическими степенями принадлежности значений этим диапазонам;

9.2.отношение числа случаев, когда это событие наступило при испытании, к общему числу всевозможных случаев в

69

испытании;

9.3.частота, описываемая статически обоснованными законами распределения.

10.Плотностью распределения вероятностей называется:

10.1.производная функция распределения;

10.2.вероятность того, что она примет значение, не превосходящее некоторое заданное;

10.3.интеграл функции распределения.

11.Оценка выборочного среднего является эффективной, если:

11.1.она равна теоретическому математическому ожиданию;

11.2.дает точные значения для больших выборок, независимо от входящих в них конкретных наблюдений;

11.3.ее дисперсия минимально возможна.

12.Коэффициент корреляции случайных величин X и Y определяется выражением:

12.1.XY = XY / ( 2X 2Y )1/2;

12.2.XY = XY / ( 2X 2Y );

12.3.XY = ( 2X 2Y )1/2/ XY .

13.Для проверки репрезентативности однородной выборки нормально распределенной генеральной совокупности применяется:

13.1.коэффициент симметрии;

13.2.коэффициент асимметрии;

13.3.коэффициент эксцесса.

14. Коэффициент эксцесса определяется выражением:

14.1.eX = [ M1 mM 1 ( X m X )4 / X4 ] – 3;

14.2.eX = [ M1 mM 1 ( X m X )4 / X4 ] – 1;

14.3.eX = [ M1 mM 1 ( X m X )3 / 3X ] – 3.

70