Контрольная работа по предмету «Экономико-математические модели»
Задача № 1.
В пространстве 3-х товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен P и доходе Q.
Описать его и его границу с помощью обычных векторных неравенств и равенств,
Изобразить бюджетное множество и его границу графически,
В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.
Задача № 2.
Пусть производственная функция есть функция Кобба – Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на α %, надо увеличить основные фонды на b % или численность работников на с %. В настоящее время 1 работник за месяц производит продукции на М руб., а всего работников L. Основные фонды оцениваются в К руб. В ответе дайте:
Производственную функцию,
Величину средней фондоотдачи.
Задача № 3.
Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите:
Равновесную цену,
Выручку при равновесной цене,
Цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку
№ вар | |||
1 |
2 |
3 | |
1 |
1;2;3 103,103, 105 | ||
2 |
1;3;2 104, 53, 106 | ||
3 |
1;3;3 104,103, 106 | ||
4 |
1;2;4 104,53,105 | ||
5 |
2;5;5 104,25,107 | ||
6 |
2;5;4 103,104,107 | ||
7 |
3;6;9 103,103,109 | ||
8 |
2;3;6 104,103,1011 | ||
9 |
1;2;3 103,103,107 | ||
10 |
2;4;6 103,103,103 |
Образец решения
Задача № 1.
В пространстве 3-х товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен P и доходе Q.
Описать его и его границу с помощью обычных векторных неравенств и равенств,
Изобразить бюджетное множество и его границу графически,
В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.
Данные: P=(3, 8, 5); Q=120.
Решение.
Вектор цен: P=(3, 8, 5); Набор товаров Х=(х1, х2, х3) (набор товаров – это вектор – столбец, но по соображениям экономии записываем его в виде вектора - строки); Бюджетное множество В – это множество всех наборов товаров Х, которое потребитель может купить на данное количество денег Q при данных ценах Р (при этом необязательно тратить все деньги).
Бюджетное множество В можно описать неравенствами:
Обычными: Векторными:
Общий вид: р1х1+р2х2+р3х3 ≤ Q Р*Х ≤ Q
х1, х2, х3 ≥ 0 Х ≥ 0
В нашем случае: 3х1+8х2+5х3 ≤ 120
х1, х2, х3 ≥ 0
Граница бюджетного множества – это его часть, это множество всех наборов товаров стоимостью Q.
Границу бюджетного множества можно описать равенствами:
Обычными: Векторными:
Общий вид: р1х1+р2х2+р3х3 = Q Р*Х = Q
х1, х2, х3 ≥ 0 Х ≥ 0
В нашем случае: 3х1+8х2+5х3 = 120
х1, х2, х3 ≥ 0
Для случая 3 товаров бюджетное множество В представляет собой трехгранную пирамиду, одна вершина которой есть начало координат, а 3 другие точки Q/р1, Q/р2, Q/р3, на осях х1, х2, х3. Граница же бюджетного множества – основание этой пирамиды, если ее вершину считать началом координат.
Q/р1 = 120/3 = 40
Q/р2 = 120/8 = 15
Q/р3 = 120/5 = 24
Объему бюджетного множества V = (1/3)*( Q/р3)*(1/2)*[( Q/р1)*( Q/р2)] V = (1/3)*( 120/5)*(1/2)*[( 120/3)*( 120/8)] = 2400
Ответ: 2400
Задача № 2.
Пусть производственная функция есть функция Кобба – Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на α %, надо увеличить основные фонды на b % или численность работников на с %. В настоящее время 1 работник за месяц производит продукции на М руб., а всего работников L. Основные фонды оцениваются в К руб. В ответе дайте:
Производственную функцию,
Величину средней фондоотдачи.
Данные: а=2, b=4, с=6, М=104, L=103,К=1011.
Решение.
Производственная функция Кобба – Дугласа имеет вид Y = A * Kα*Lβ, где А, α, β – константы (А, α, β > 0, α + β < 1); К – объем фондов либо в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве. L – объем трудовых ресурсов – число рабочих, число человеко-дней и т. д. Y – выпуск продукции в стоимостном или натуральном выражении. При этом β – эластичность продукции по труду, α - эластичность продукции по фондам.
Средняя фондоотдача к = Y/К – отношение объема произведенного продукта к величине фондов.
α = а/b = 2/4 = ½, β = а/с = 2/6 = 1/3 , следовательно Y = A * K1/2*L1/3
Для нахождения А подставим в эту формулу К, L,М,учитывая, чтоY= М L
Y =104 * 103 = A * (1011)1/2*(103)1/3 А = 3,2
Найдем среднюю фондоотдачу к = Y/К = 107/1011=0,0001
Ответ:
Производственная функция: Y = A * K1/2*L1/3
Средняя фондоотдача к = 0,0001
Задача № 3.
Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите:
Равновесную цену,
Выручку при равновесной цене,
Цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
Данные: D=200-10*p
S=35 + 5*p.
Решение
Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения,
200-10*p = 35 + 5*p р’ = 11.
Выручка при равновесной цене W = p’D(p’) = 11*(200-10*11) = 990.
В общем же случае при цене р выручка W(p) = p(min(D(p), S(p))).
На рисунке показан график выручки в зависимости от цены.
Максимум W достигается при р = 10 и равен 1000. Таким образом, максимум достигается не при равновесной цене.
Ответ: р’ = 11, W = 990, рmax = 10, Wmax = 1000
Задания № 4.
Пусть все народное хозяйство (район и т.д.) состоит из трех отраслей, каждая из которых выпускает один вид из продукции. В таблице 4 указаны расходные коэффициенты (прямые затраты) aik единиц продукции i-ой отрасли, используемые как сырье (промежуточный продукт) для выпуска единицы продукции k-й отрасли, а также количество единиц yi продукции i-й отрасли, предназначенные для реализации (конечный продукт).
Пусть дополнительно заданы расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующей отрасли, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел. (таблица 5).
Определить:
1.Коэффициенты полных затрат.
2.Валовой выпуск для каждой отрасли.
3. Производственную программу отраслей.
4. Коэффициенты косвенных затрат.
5. Суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы.
6. Коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждой отрасли.
7.Расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по отраслям.
8. Производственные затраты в денежных единицах по отраслям и на всю производственную программу.
9. Производственные затраты на единицу конечной продукции.
10. Параметры агрегирования при объединении первой и третьей отраслей.