Chernov_-_Vvedenie_v_LP

Уменьшение объема запаса сокращает область допустимых планов, но сначала это происходит не вблизи точки М, так что эта точка остается оптимальной. Изменение ситуации, изменение структуры ресурсного обеспечения плана начнется только после прохождения границы подвижного второго ограничения через точку М (на рис. 10 это положение обозначено пунктирной прямой (2 )).

После такого прохождения оптимальный план будет определяться пересечением границ первого и второго ограничений. При изготовлении коктейлей будут полностью расходоваться запасы первого и второго соков - виноградного и апельсинового, а третий, клюквенный сок, окажется в избытке.

Нижнее критическое значение правой части второго ограничения определяется моментом прохождения его границы через точку М. Ресурсное обеспечение плана до этого момента и после него различны. Сам момент прохождения через точку М объединяет, "склеивает" эти две различные ситуации с ресурсным обеспечением плана. В этот момент, то есть при соответствующем значением правой части второго ограничения, при соответствующих запасах апельсинового сока, на изготовление коктейлей расходуются полностью все запасы всех трех соков.

Таким образом, умеренное изменение запаса второго ресурса не отражается на оптимальном плане, а тем самым и на оптимуме. Это означает, что теневая цена апельсинового сока равна 0. Приобретать дополнительные запасы этого сока невыгодно ни по какой положительной цене. Продать излишки этого сока выгодно при любой положительной цене.

Определим критические границы, в рамках которых оказывается верной нулевая теневая цена апельсинового сока. Введем параметр u2 в правую часть второго ограничения и рассмотрим его границу. Граница задается уравнением

0,200x1 0,400x 2 48 u 2 .

91

При u2

= 0 граничная прямая находится в первоначальном положении, запасы сока равны 48 л. При увеличении значения параметра u2 граница параллельно сдвигается вверх, при уменьшении - вниз.

Увеличение значения параметра на любую величину не приводит к изменению оптимального плана и оптимума. Верхнее критическое значение параметра равно + .

u 2в .

Уменьшение значения параметра приводит к изменению ситуации при прохождении подвижной граничной прямой через точку М. Чтобы определить соответствующее значение параметра следует в правую часть уравнения подставить координаты точки М.

0,200 140 0,400 30 48 u 2 .

Отсюда получаем u2 = - 8. Это и есть нижнее критическое значение u2н = - 8.

Тем самым определяется нижнее и верхнее критическое значение правой части второго ограничения, запаса апельсинового сока.

b2н b2 u 2н 48 8 40, b2в b2 u 2в 48 .

Таким образом, при объеме запаса апельсинового сока в промежутке от 40 л до + этот ресурс остается избыточным и его ценность равна 0 (при таком его использовании, как это описано в модели).

Мы рассмотрели ограничения двух типов. Первое ограничение связанное, ресурс используется полностью в производственном процессе. Второе ограничение несвязанное, ресурс избыточен. Третье, последнее ограничение модели, относится к разряду связанных ограничений и рассуждения здесь будут аналогичны рассуждениям о первом ограничении.

92

Третье ограничение относится к клюквенному соку. Оптимальный план М лежит на границе третьего ограничения. Следовательно, запасы клюквенного сока расходуются полностью при реализации оптимального плана. Для проведения графического анализа изменения ситуации при изменении запаса клюквенного сока следует обратиться к рис. 11.

При увеличении запаса клюквенного сока граница третьего ограничения будет смещаться параллельно вверх. Вместе с этим будет расширяться область допустимых планов. Оптимальный план, оставаясь на пересечении неподвижной границы первого ограничения и подвижной границы третьего будет смещаться вверх по границе первого ограничения к точке L. До того момента, когда он попадет в L, структура ресурсного обеспечения плана будет сохраняться.

Ситуация изменится после прохождения подвижной границы через точку L. Оптимальный план, сместившись в точку L, останется в ней. Дальнейшее увеличение запасов клюквенного сока приведет к их избыточности.

93

	x2
	(1)
	240	B
	200							Градиент
	(3 )
(3)	160
(3 )		G
(2)	120	E
	80		K
				L
	40
					M
					A	F		D
	0	40	80	120	160	200		240	x1
					(1)	(3 )	(3)	(3 )	(2)
		Рис. 11. Графический постоптимизационный анализ ресурса
				третьего вида

Запасы клюквенного сока не будут больше расходоваться полностью. А полностью будут расходоваться запасы виноградного и апельсинового сока (точка L находится на пересечении границ первого и второго ограничений).

Сам момент прохождения подвижной границей точки L соединяет эти две структуры. На рис. 11 соответствующее положение линии третьего ограничения показано пунктиром (3 ).

В этот момент (то есть при соответствующем объеме запаса клюквенного сока) при реализации оптимального плана расходуются полностью запасы всех трех соков. Соответствующий объем запаса

94

клюквенного сока и определяет верхнюю критическую границу правой части третьего ограничения.

Рассмотрим теперь процесс постепенного уменьшения запаса клюквенного сока. При этом область допустимых планов сокращается. Оптимальный план, оставаясь на пересечении границ первого и третьего ограничений, смещается по границе первого ограничения в направлении точки А. Структура ресурсного обеспечения плана при этом сохраняется.

Перелом структуры произойдет после прохождения точки А. После этого оптимальный план начнет смещаться по горизонтальной оси от точки А к началу координат. Оптимальный план будет предписывать производство одного лишь коктейля первого вида (коктейля "Утро"). Полностью расходоваться при этом будет только клюквенный сок (оптимальная точка на пересечении горизонтальной оси и подвижной границы третьего ограничения).

Тот объем запаса клюквенного сока, который соответствует прохождению подвижной границы через точку А, и соответствует нижней критической границе правой части третьего ограничения. На рис. 11 это положение третьей границы обозначено пунктирной линией (3 ).

Для определения теневой цены и критических границ введем параметр u3 в правую часть третьего ограничения.

Его граница будет определена уравнением

0,125x1 0,150x 2 22 u3 .

При u3 = 0 это уравнение задает границу в ее первоначальном положении. С ростом u3 граница сдвигается вверх. При уменьшении u3 оно сдвигается вниз.

Положение оптимального плана между точками А и L можно определить путем решения системы уравнений, одно из которых определяет неподвижную границу первого ограничения, а другое - подвижную границу третьего.

95

0,675x1		0,450 x 2		108,
0,125x	1	0,150 x	2	22 u	3	.

Эту систему следует решить относительно неизвестных x1 и x2. Параметр u3 при этом рассматривается как величина известная. Решив эту систему, получим

x1 140 10u 3 ,

x 2 30 15u 3 .

Это координаты оптимальной точки при любом значении параметра u3, находящемся между нижней и верхней критической границей. При u3 = 0 получаем известные нам координаты точки М.

Для определения оптимума подставим полученные координаты оптимальной точки в целевую функцию. Получим

z 12(140 10u3 ) 10(30 15u3 ) 1980 30u3 .

Увеличение объема третьего ресурса на одну единицу, то есть единичное увеличение значения параметра u3, приводит к увеличению значения целевой функции на 30. Увеличение запаса клюквенного сока приводит к увеличению дохода бара, причем каждый дополнительный литр сока увеличивает доход на 30 руб. Уменьшение запаса сока приводит к соответствующему сокращению дохода бара.

Коэффициент при параметре u3 в оптимальном значении целевой функции, то есть величина 30 руб., и является теневой ценой одного литра клюквенного сока. Приобретать дополнительные запасы этого сока выгодно для бара только в том случае, если цена его покупки окажется меньше 30 руб. за литр. Соответственно, продавать часть запасов сока выгодно только по цене, большей 30 руб. за литр. При продаже или покупке ровно по этой цене дополнительные доходы бара от этой операции будут равны 0.

96

Эти рассуждения верны лишь в промежутке между критическими значениями параметра и, соответственно, критическими значениями правой части третьего ограничения. Рассчитаем эти критические значения.

При верхнем критическом значении подвижная граница проходит через точку L. Подставим координаты этой точки (120; 60) в левую часть уравнения третьей границы

0,125 120 0,150 60 22 u3 .

Отсюда получим u3в = 2. Это верхнее критическое значение параметра

u3в = 2.

При нижнем критическом значении подвижная граница проходит через точку А. Подставим координаты этой точки (160; 0), получим

0,125 160 0,150 0 22 u3 .

Отсюда u3 = -2. Мы получили нижнее критическое значение параметра,

u3н = -2.

Таким образом, полученное значение теневой цены, равное 30 руб. за литр, и связанные с этим рассуждения справедливы лишь в том случае, если исходный запас клюквенного сока изменяется в пределах 2

литра. За этими пределами может быть проведен свой анализ с аналогичными рассуждениями. Там теневая цена клюквенного сока будет иной.

Теперь очевидным образом могут быть определены нижняя и верхняя критическая граница правой части третьего ограничения

b3н b3 u3н 22 2 20 (л), b3в b3 u3в 22 2 24 (л).

Полученная двойственная оценка клюквенного сока верна в том случае, если запасы изменяются в пределах от 20 до 24 л.

97

Проведя постоптимизационный анализ ресурсов мы видим, что хотя рассматриваемые в примере ресурсы однородны - соки, с разными ресурсами связываются различные возможности. Каждый ресурс обладает своей внутренней ценностью, своей теневой ценой. Наименее ценным в рамках решаемой задачи является апельсиновый сок, его теневая цена равна 0. Более ценным является виноградный сок, его теневая цена равна 12,22 руб. за литр. Наконец, наибольшая теневая цена у клюквенного сока, она равна 30 руб. за литр. Это означает, что при пополнении запасов наибольшее внимание (при прочих равных условиях) должно быть обращено на клюквенный сок, а при продаже части запасов - на апельсиновый.

Различными для разных ресурсов оказываются и интервалы между критическими границами. Для апельсинового сока длина такого интервала бесконечна, для виноградного - равна 28,8 л, для клюквенного равна 4 л.

Подчеркнем еще раз, что теневая цена ресурса не связана напрямую с его рыночной ценой. Это внутренняя цена, определяющая ценность данного ресурса для производственного процесса в сложившейся ресурсной ситуации. Поэтому лицо, принимающее решения по ресурсному обеспечению деятельности предприятия, должно принимать во внимание различие в оценке одного и того же ресурса во "внешнем мире" и внутри предприятия. Различие в оценках открывает возможности выбора в складывающихся конкретных условиях такого решения, которое является для предприятия наиболее выгодным.

3.6. Представление результатов решения и анализа задачи

Математическое моделирование позволяет получить важную количественную информацию для принятия наилучшего решения. Весьма полезно, чтобы полученная информация была дана в удобной форме. Такая форма может быть различной. Однако, она должна давать возможность четко представить:

98

исходные условия задачи,

оптимальное решение и оптимум,

ресурсное обеспечение оптимального решения,

альтернативные решения, группирующиеся вблизи оптимального плана, с их ресурсным обеспечением и соответствующими значениями целевой функции,

результаты ценового постоптимизационного анализа с указанием критических границ по каждой цене и новых планов, становящихся оптимальными при переходе через границы,

результаты ресурсного постоптимизационного анализа с указанием теневых цен ресурсов критических границ по каждому ресурсу и новых планов, становящихся оптимальными при

переходе через границу.

Приведем вариант такой удобной формы представления результатов для нашего примера.

Исходные условия можно описать в виде таблицы 5 с записью исходной информации и математической модели задачи.

					Таблица 5
Коктейли			"Утро"	"Свежесть"	Запасы соков в
					баре (л)
Соки
виноградный			0,675	0,450	108
апельсиновый			0,200	0,400	48
клюквенный			0,125	0,150	22
Цена	1	литра	12	10
коктейля (руб.)

99

max(1200 x1 1000 x 2 )

0,675x1					0,450 x 2				108,
0,200 x					0,400x				48,
				1				2
0,125x			1		0,150 x		2		22,
		0x				0.
x	1				2

Оптимальный план, оптимум, ресурсное обеспечение могут быть описаны в одной таблице (табл.6) вместе с аналогичной информацией по альтернативным планам. Здесь основное внимание следует уделить планам, участвующим в постоптимизационном анализе.

Результаты ценового постоптимизационного анализа относятся лишь к оптимальному плану. Для нашего примера они могут быть представлены в виде следующей таблицы 7.

Таблица 7

Объем (л)	Цена	Доход	Нижнее	Нижнее	Верхнее	Верхнее
	(руб/л)	(руб.)	кр.значе	значение	кр.значе	значение
			ние (л)	дохода	ние (л)	дохода
Продукт			(новый	(руб.)	(новый	(руб)
			опт.		опт.
			план)		план)
"Утро" 140	12	1680	8,33 (К)	1466,66	15 (А)	2400
"Свежесть"	10	300	8 (А)	1920	14,40 (К)	2112
30

Результаты ресурсного постоптимизационного анализа могут быть представлены в виде таблицы 8.

100