^{Министерство аграрной политики Украины}

^{Л.И.Леви}

^{А.В.Коваль}

^{РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА}

^{ПРЕДЕЛЫ. ПРОИЗВОДНАЯ}

^{И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ}

^{МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ}

^{И ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ}

^{Для студентов}

^{инженерных специальностей}

^{аграрных университетов}

^{Луганск-2009}

^{УДК 681.513:62-50}

^{Составители:}

^{Леви Леонид Исаакович, доктор технических наук,}

^{зав. кафедрой физико-математических дисциплин.}

^{Коваль Анатолий Васильевич, кандидат физико-}

^{математических наук, доцент кафедры физико-математических}

^{дисциплин.}

^{Пределы, производная и ее приложения. Методические указания и индивидуальные задания к расчетно-графической работе для студентов инженерных специальностей аграрных высших учебных заведений Украины Леви Л.И., Коваль А.В. – Луганск, ЛНАУ, 2009. – 67 с.}

^{Рецензенты:}

^{ГРИБАНОВ В.М., доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой}

^{прикладной математики Восточноукраинского}

^{национального университета им. В. Даля;}

^{САВЕЛЬЕВ В.М., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры}

^{физико-математических дисциплин Луганского}

^{национального агарного университета.}

^{Издание рассмотрено и рекомендовано к печати:}

^{на заседании кафедры физико-математических дисциплин}

^{(протокол № 5 от 3 февраля 2009 года);}

^{на заседании методической комиссии строительного факультета}

^{(протокол № 6 от 24 февраля 2009 года).}

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ …………….… 4

1.1. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей …….. 4

1.2. Решение типовых примеров задания 1 РГР …………………. 6

1.3. Классификация функций. Непрерывность функции в точке.

Точки разрыва ………………………………………………….. 10

1.4. Решение типовых примеров задания 2 РГР …………………. 13

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ………………………………………… 15

2.1. Определение производной ……………………………………. 15

2.2.Основные правила дифференцирования функций ………….. 15

2.3. Таблица производных основных функций ………………….. 16

2.4. Решение типовых примеров заданий 3, 4 РГР …………………… 16

2.5. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя ……… 19

2.6. Решение типовых примеров задания 5 РГР ……………………... 19

^{2.7. Геометрический смысл производной ………………………… 22}

2.8. Решение типового примера задания 6 РГР ………………………. 23

^{2.9. Определение и геометрический смысл дифференциала …… 24}

2.10. Решение типовых примеров задания 7 РГР …………………….. 25

2.11. Решение типового примера задания 8 РГР ………………… 28

2.12. Решение типового примера задания 9 РГР ………………… 28

2.13. Решение типового примера задания 10 РГР ………………. 29

3. Задания для расчетно-графической работы…………………… 31

Приложение 1. Формулы по элементарной математике ……….. 62

Приложение 2. Номера индивидуальных заданий ……………… 64

Приложение 3. Образец титульного листа ……………………… 66

ЛИТЕРАТУРА ……………………………………………………… 67

1. Введение в математический анализ

1.1. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей

. Числоназывается пределом функциипри, если для любого бесконечно малого числасуществует такое число, что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Обозначают предел .

.Теоремы о пределах.

1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине

.

2. Пусть функции иимеют конечные пределы в точке. Тогда справедливы формулы

;

;

, если.

Следствия.Если существует, то выполняются равенства:

1. ,;

2. .

.Замечательные пределы.

1. Первый замечательный предел

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к длине этой дуги, выраженной в радианах, равен единице, т.е.

. (1.1)

2. Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом (числом ) называется предел числовой последовательности

(1.2)

Число является иррациональным числом, приближенное значение которого равно.

Другое выражение числа . При, полагая,

.

. Раскрытие неопределенностей.

1. Неопределенность вида раскрывается, как правило, делением числителя и знаменателя на множитель, стремящийся к нулю, или с помощью первого замечательного предела.

2. Неопределенность вида раскрывается, как правило, делением нав старшей степени.

3. Неопределенность вида раскрывается путем преобразования функции к неопределенностямили.

4. Неопределенность вида раскрывается посредством преобразо-вания ко второму замечательному пределу.

5. Бесконечно малые функции иназываются эквивалентными, если. При раскрытии неопределенностейможно пользоваться следующим правилом: предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если их под знаком предела заменить на эквивалентные. Обозначая эквивалентность бесконечно малых~при, приведем наиболее известные

~;~;~;

~;~;~;

~;~;~.

1.2. Решение типовых примеров задания 1 ргр

1.Найти предел .

Решение. Неопределенность вида . Для раскрытия неопределен-ности представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известными формулами

;

,

где ,корни приведенного квадратного уравнения,

.

Для числителя ;

;

;.

.

Для знаменателя ;.

;;.

.

Тогда, разделив на множитель , стремящийся к нулю, окончательно получим

.

2. Найти предел .

Решение. Неопределенность вида . Поскольку при много-члены в числителе и знаменателе обращаются в ноль, то их можно разло-жить на множители, причем один из сомножителей будет. Тогда, деля многочлены на, получим

–

–

–

–

–

–

.

3. Найти предел .

Решение. Неопределенность вида задана иррациональным выражением. Чтобы избавиться от него, умножим и разделим дробь на выражение, сопряженное числителю

.

4.Найти предел .

Решение.Неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на

.

5.Найти предел .

Решение. Неопределенность вида. Для раскрытия указанной неопределенности воспользуемся первым замечательным пределом,, для чего преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, выразив в нем конструкцию первого замечательного предела

.

6. Найти предел .

Решение. Неопределенность вида . Для приведения выражения к виду второго замечательного предела, в основании степени прибавим и вычтем единицу

.

Так как дробь в круглых скобках положительна, воспользуемся вторым замечательным пределом в виде для чего введем новую переменную

;;;;

.

При ,и предел имеет вид

.

7. Найти предел.

Решение. Неопределенность вида . При раскрытии неопределенности можно пользоваться следующим правилом: предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если их под знаком предела заменить на эквивалентные.

Известно, что ~;~.

В нашем случае ~;~.

Тогда получим

.