Обробка рез. вим

спостережень та дисперсії інструментальної похибки відповідного вимірювального приладу, а саме:

D

= S 2

+ σ 2 ;

D

= S 2

+ σ 2 .

X

X

X

Y

Y

Y

Незміщені оцінки дисперсії спостережень

êéå (yi

-Y )2

úù = 0,16.

SX2 =

1

êéå(xi - X )2

úù

= 0,08;

SY2 =

1

n

n

ëi=1

n -1

û

n -1 ëi=1

û

А дисперсії відповідних середніх значень SX2

=

SX2

та SY2 =

SY2

.

n

n

Звідси

æ

ö2

æ 1

S

Y

S 2

+ σ 2

=

4ç

÷

ç

U

è

X ø

è n

Y

Y

ö + æ Y ÷ ç ø è X

ö4	æ 1		S X2	+ σ X2	ö
÷	ç				÷;
ø	è n				ø

æ

ö2

æ

ö

4

Y

Y

SU

=

4ç

÷

(SY2

+ σ Y2 )+ ç

÷

(SX2 + σ X2

);

è

X ø

è

X ø

SU = 4 × 0,3757 × (0,02 + (0,32)2 + 0,1412(0,01 + (0,52)2 = 0,1839 + 0,039 = 0,47

Для Pдов =0,9 й n=9 гарантійний коефіцієнт tд = 1,86. Звідси результат опосередкованого вимірювання

U =U ±tдSU = 9,9 ±1,86 × 0,47 = 9,90 ± 0,88; Pдов = 0,9 .

2.5 Приклад розв’язування задачі 5

Для результатів вимірювань величин Х= -4; -3; -2; -1; 0; 1 та Y=2; 2,97; 3,99; 4,99; 6,02; 7,05 за допомогою методу найменших квадратів (МНК) визначити коефіцієнти лінійної залежності між ними.

Розв'язання

За умовою вважається, що залежність між величинами Y та Х є лінійною,

тобто Y=kX+b.

Необхідно знайти два невідомі параметри k i b, опрацьовуючи набори результатів спостережень {хi} та {уi} за методом найменших квадратів. Сформуємо відповідні рівняння, а саме: знайдемо частинні похідні функції Y за невідомими параметрами

∂¶Yk = X ;

∂¶Yb =1.

Одержимо систему двох рівнянь з двома невідомими, а саме:

å[yі - (kxі + b)]xі = 0;

і

å[yі - (kxі + b)]×1 = 0;

і

20

Звідси:
ìå yі = kå xі + nb;				ì27,02 = 6b − 9k;
ï	і	і
í			+ bå xі .	í	= -9b + 31k.
ïå xі yі = kå xі2				î- 22,83
î	і	і	і

Знайдемо k=1, b=6. Отже, Y=X+6 (рис. 1).

Рисунок 1

2.6 Приклад розв’язування задачі 6

Сформуйте систему нормальних рівнянь за методом найменших квадратів для результатів сукупних вимірювань. Оцінити СКВ. Знайти нев’язки. Записати результат вимірювання.

Результати сукупних вимірювань (див. табл. Е.1).

Варіант	x1+x2+x3+x4	x2+x3 x1+x2 x3+x4 x1+x2+x3				x1+x3+x4	x2+x4+x3 x2+x4 x3+x1
18	14,13	8,14	8,17	6,15	9,13	7,26	7,19	12,17	2,15

Розв’язання

Складемо систему нормальних рівнянь:

21

ìB x + B x

2

+ B x

3

+ B x

4

= c ;

ï

11

1

12

13

14

1

ïB21x1 + B22 x2 + B23x3 + B24 x4 = c2 ;

íB x + B x

2

+ B x

3

+ B x

4

= c

; ,

ï

31

1

32

33

34

3

ïB

x + B

42

x

2

+ B

43

x

3

+ B

44

x

4

= c

;

де коефіцієнти

î

41

1

4

8

B

= 6,

= å A2

11

j=1

j1

B22

8

= å A2j2

= 5,

j=1

B

8

= 7,

= å A2

33

j=1

j3

B44

8

= å A2j4

= 5,

j=1

8

B12 = B21 = å Aj1 × Aj 2 = 3,

j=1

8

× Aj3 = 5,

B13 = B31 = å Aj1

j=1

8

× Aj 4 = 3,

B14 = B41 = å Aj1

j=1

B24 = B42

8

= å Aj4 × Aj2 = 2,

j=1

B23 = B32

8

× Aj 2 = 3,

= å Aj3

j=1

B34 = B43

8

× Aj 4 = 4,

= å Aj3

j=1

8

= 14,13+8,17+9,13+7,26+7,19+2,15=48,03,

c1 = å Aj1 y j

j=1

c2

8

= 14,13+8,14+8,17+9,13+12,17 = 51,74,

=

å Aj2 y j

j=1

8

c3 = å Aj3 y j = 14,13+8,14+6,15+9,13+7,26+7,19+2,1,5 = 54,15,

j=1

c4

8

=

å Aj4 y j = 14,13+6,15+7,26+7,19+12,17 = 46,9.

j=1

Врахувавши значення даних коефіцієнтів система нормальних рівнянь матиме вигляд:

22

ì6x1 + 3x2 + 5x3 + 3x4 = 48,03;

ïï3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 51,74; . íï5x1 + 3x2 + 7x3 + 4x4 = 54,15;

ïî3x1 + 2x2 + 4x3 + 5x4 = 46,9.

Головний визначник цієї системи D = 156. Найімовірніші значення невідомих дорівнюють:

x1 = 1,065; x2 = 7,045;. x3 =1,052;

x4 = 5,081.

Підставляємо значення найімовірніших значень до умовних рівнянь: x1 + x2 + x3 + x4 = 1,065 + 7,045 + 1,052 + 5,081 = 14,243,

x2 + x3 = 7,045 + 1,052 = 8,097,

x1 + x2 = 1,065 + 7,045 = 8,11, x3 + x4 = 1,052 + 5,081 = 6,133,

x1 + x2 + x3 = 1,065 + 7,045 + 1,052 = 9,162, x1 + x3 + x4 = 1,065 + 1,052 + 5,081 = 7,098, x2 + x4 + x3 = 1,065 + 5,081 + 1,052 = 7,198, x2 + x4 = 7,045 + 5,081 = 12,126,

x3 + x1 = 1,052 + 1,065 = 2,117.

Знаходимо нев´язки

ν1 = 14,13 −14,243 = 0,113;

ν2 = 8,14 - 8,097 = 0,043;

ν3 = 8,17 - 8,11 = 0,06;

ν4 = 6,15 - 6,133 = 0,017;

ν5 = 9,162 - 9,13 = 0,032;

ν6 = 7,26 - 7,198 = 0,062;

ν7 = 7,198 - 7,19 = 0,008;

ν8 =12,126 -12,17 = 0,044;

ν9 = 2,05 - 2,117 = 0,033.

Знайдемо границі довірчого інтервалу

					m
		S11			åν 2
σ x =			×		j=1 j	,
		D			m - n
1
і аналогічно для інших невідомих СКВ σ x				2	, σ x		, σ x	. Для цього розрахуємо
					3			4

значення ад’юнктів

23

S11=70, S22=72, S33 = 72, S44 = 52.

Таким чином СКВ дорівюють

σ x1 σ x2 σ x3 σ x4

=0,053;

=0,053;

=0,053;

=0,045.

Для m-n=5 та ймовірності Р=0,95 коефіцієнт Стьюдента дорівнює tp = 2,571. Розрахуємо границі довірчого інтервалу

Dx1 = ±2,571× 0,053 = ±0,13626;

x2 = ±0,13626; x3 = ±0,13626;

x4 = ±0,143.

Отже, результат вимірювання

x1 =1,065 ± 0,136, P = 0,95; x2 = 7,045 ± 0,136, P = 0,95; x3 =1,052 ± 0,136, P = 0,95; x4 = 5,081 ± 0,143, P = 0,95.

24

3 ЗАВДАННЯ НА КУРСОВУ РОБОТУ

Завдання 1

Проведено вимірювання за допомогою вольтметра з Uk, клас точності c/d отримано показ U. Вимірювання здійснено при температурі навколишнього середовища Θ, магнітному полі напруженістю H=300 А/м, напруга живлення

приладу Uж. Температурна похибка не перевищує основну на кожних 10 o С

відхилення температури від нормальної області (20±2) o С, магнітна – половини від основної при напруженості зовнішнього поля до 400 А/м, при відхиленні напруги живлення за межі 220 В ± 4% до значень від 187 до 240 В додаткова похибка не перевищує половини основної. Записати результат вимірювання. Значення Uk; c/d; U; Θ; Uж дивись в таблиці А.1 відповідно до варіанта.

Завдання 2

Вивести вирази абсолютної та відносної похибок опосередкованого вимірювання величини y=f(X1, X2, X3).

Записати вирази похибок при заданих значення Х1, Х2, Х3 (див. табл.Б.1) відповідно до варіанта.

Завдання 3

Для отриманих 12 результатів спостережень при прямих рівно точних вимірюваннях визначити оцінку результату вимірювань; оцінку дисперсії та СКВ випадкових похибок окремих результатів; оцінку СКВ результату вимірювання. Оцінити довірчі границі похибки для Рдов. Записати результат. Ряд спостережень та значення Рдов дивись в таблиці В.1 відповідно до варіанта.

Завдання 4

Для оцінювання результату опосередкованого вимірювання величини U=Y2/X виконано по 9 вимірювань величин X та Y. Відомі СКВ похибок вимірювань цих величин σx та σy. Оцінити результат вимірювання U, вважаючи що результати вимірювань X, Y взаємно незалежні. Оцінити довірчі границі похибки вимірювання U з Рдов. Записати результат вимірювання.

Значення величин X, Y, σx, σy та Рдов беремо з таблиці Г.1 відповідно до варіанта.

Завдання 5

Для результатів вимірювань величин X та Y за допомогою методу найменших квадратів визначити коефіцієнти лінійної залежності між ними.

Значення X та Y беремо з таблиці Д.1 відповідно до варіанта.

Завдання 6

Сформуйте систему нормальних рівнянь за методом найменших квадратів для результатів сукупних вимірювань. Оцінити СКВ. Знайти нев’язки. Записати результат вимірювання.

Результати сукупних вимірювань беремо з таблиці Е.1 (додаток Е) відповідно до варіанта.

25

Література

1.Володарський Є.Т., Кухарчук В.В., Поджаренко В.О., Сердюк Г.Б. Метрологічне забезпечення вимірювань і контролю. Навчальний посібник. – Вінниця: Велес, 2001. – 219 с.

2.Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности: Учебносправочное руководство - 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-

мат. лит., 1988. – 432 с.

3.Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. – Л.: Энергоатомидат, 1985. – 321 с.

4.Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология. – М.: Изд-во стандартов, 1991.

–287 с.

5.Грановский В.А. Динамические измерения. – Л.: Энергоатомидат, 1984. –

353 с.

6.Селиванов М.Н., Фридман А.Э., Кудряшова Ж.Ф. Качество измерений: Метрологическая справочная книга. – Л.: Лениздат, 1987. – 295 с.

7.Федоров А.М., Цыган Н.Я., Мичурин В.И. Метрологическое обеспечение электронных средств измерений электрических величин: Справочная книга – Л.: Энергоатомидат, 1988. – 208 с.

26

ДОДАТКИ

27

Додаток А

Таблиця А.1 - Дані до завдання 1

Варіант	Uk, В	c/d	U, В	Θ, o C	Uж, В
1	500	0,1/0,01	250,1	6	204
2	1000	0,2/0,02	500,2	2	206
3	800	0,5/0,05	300,1	4	201
4	100	0,1/0,05	50,1	5	205
5	650	0,2/0,03	300,3	7	204
6	250	0,1/0,03	200,2	8	203
7	630	0,3/0,03	400,5	3	201
8	700	0,1/0,02	500,1	5	202
9	800	0,3/0,02	400,3	4	202
10	500	0,5/0,03	200,2	6	201
11	550	0,1/0,02	200,1	9	205
12	400	0,4/0,03	200,1	2	204
13	300	0,4/0,04	100,1	5	206
14	150	0,1/0,04	70,2	4	205
15	350	0,3/0,05	100,2	6	203
16	500	0,1/0,01	250,1	6	204
17	1000	0,2/0,02	500,2	2	206
18	900	0,2/0,05	500,1	4	201
19	100	0,1/0,05	50,1	5	205
20	650	0,2/0,03	300,3	7	204
21	250	0,1/0,03	200,2	8	203
22	630	0,3/0,03	400,5	3	201
23	200	0,1/0,02	100,1	5	202
24	800	0,3/0,02	400,3	4	202
25	500	0,5/0,03	200,2	6	201
26	550	0,1/0,02	200,1	9	205
27	400	0,4/0,03	200,1	2	204
28	300	0,4/0,04	100,1	5	206
29	150	0,1/0,04	70,2	4	205
30	350	0,3/0,05	100,2	6	203

28

Додаток Б

Таблиця Б.1 - Дані до завдання 2

Варіант	Y(X1, X2, X3)																																					X1	X2	X3
1	Y = X1 + X 2																				2 / X 3																	1,2	2,1	5,2
2	Y = X1 / X 2 +																																					2,2	4,3	1,1
																											X 3
3		Y =								X1 × X2																												3,3	5,4	2,1
													X3
4	Y = X1 + X2																																					5,2	6,2	4,3
																								X1
5			Y =							X3 × X2																												4,1	4,2	3,4
															X1
6	Y = X1 /(X 2 +																																					2,	5,2	2,2
																											X 3 )
7	Y = X1 + X 2																																					3,3	2,2	1,3
																		X 3 + X1
8	Y = X 3																																					4,1	1,2	4,2
													X1 + X 2
9																																						7,2	4,3	3,3
	Y =			X1 + X 2																		2				/ X 3
10	Y = X1 + X 2																																					2	7	2
												X 3 + X1 + X 2
11	Y =		X 3						× X								2					+ X1																5,3	5,3	1,2
										X1
12		Y = X3							+				X1 + X3																									1,1	6,5	5,4
																				X1
13	Y = X1 + X 2										2 /(X 3 + X1 )																											6,9	2,2	4,7
14	Y =					X 3										+						X 2																4,6	7,1	2,2
																						X 3
								X1
15	Y = 3					+ X 2																																2,2	4,4	1,3
		X1																			X 3 + X1
16	Y = X1																																					5,3	3,2	2,1
													X 2								+ X3
17																																						1,4	2,2	1,2
	Y =			X1 + X 2																		2				/ X 3
18	Y = X1 + X 2																				2 / X 3																	4,1	3,1	3,4
19	Y = X1 / X 2 +																																					2,2	1,2	1,3
																											X 3
20		Y =							X3 × X2																													3,3	2,2	4,1
																	X1
21	Y = X1 /(X 2 +																																					5,1	4,1	2,2
																											X 3 )
22	Y = X1 + X 2																				2 / X 3																	4,2	6,1	4,2
23	Y = X1 / X 2 +																																					7,2	1,9	2,4
																											X 3

29