- •1. Основные понятия и определения
- •2. Скорость фильтрации, Линейный закон Дарси.
- •3. Нелинейные законы фильтрации
- •4. Границы применимости закона Дарси.
- •Лекция 2
- •1. Дифференциальное уравнение движения
- •1. Установившиеся потоки флюида в пористой среде.
- •2. Характеристики одномерных фильтрационных потоков
Лекция 2
1. Дифференциальное уравнение движения
Аналитическое и численное исследование задач связано с применением основных законов течения в дифференциальной форме. Для процессов, происходящих в нефте-газовых пластах, характерно изменение основных параметров течения во времени. Такие процессы называются неустановившимися (нестационарными). Для получения дифференциальных уравнений движения выделяется бесконечно-малый элемент и рассматриваются законы сохранения массы, количества движения и энергии за бесконечно малый промежуток времени. При этом используются экспериментальные соотношения, определяющие зависимость силы трения, пористости и т.д. от параметров течения. Число уравнений должно равняться числу неизвестных параметров, что даёт замкнутую систему.
Для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров вследствие значительных величин удельной поверхности коллекторов и их теплоёмкости. Т.о. для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиваться уравнениями балланса массы (неразрывности) и движения.
Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны из-за значительных перепадов давления, проявления дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефте-газоотдачи.
Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, а именно уравнений состояния флюидов и пористой среды. Кроме того для получения однозначного решения необходимо задание граничных и начальных условий.
В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамике требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного течения удаётся получить аналитическое решение.
Рассмотрим фильтрацию флюидов в пористых средах, принимая во внимание линейный закон Дарси.
Выделим два сечения – первое на расстоянии S от начала отсчета вдоль линии тока, второе – на расстоянии S от первого (рис. 1).
Движение флюида происходи в направлении возрастания координаты S. В сечении с координатой S обозначим приведенное давление через p*(S, t), в сечении координат S + S – через p*(S + S ,t), используя формулу ,
получаем
, (20)Рис. 1.Трубка тока
или перейдем к пределу при ,
,(21)
Знак (-) в правой части означает, что приведенное давление падает по движению жидкости, т.е. градиент приведенного давления отрицателен .
Формула (21) справедлива только для изотропной среды, для которой характерно постоянство проницаемости по всем направлениям в окрестности рассматриваемой точки. Однако с переходом от точки к точке пласта проницаемость может и изменяться, таким образом (модель изотропного неоднородного пласта).
Запишем уравнение (21) в проекциях на оси координат x, y, z. Если обозначить через ,,единичные векторы вдоль осей координат, вектор скорости фильтрации можно записать в виде
, (22)
,(23)
тогда
, (24)
или в проекциях на оси координат
, , , (25)
если ось z направлена вверх и дифференциальные уравнения движения примут вид
,, , (26)
в векторной форме . (27)
В дифференциальной форме двучленный закон записывается в виде , (28)
где S – координата, взятая вдоль линии тока по движению жидкости.
В векторной форме двучленный закон выведен из теории размерностей, в виде
(29)
В прекциях на оси координат имеем
, (30)
,
.
При фильтрации неньютоновских вязкопластичных жидкостей, а также при фильтрации с очень малыми скоростями имеет место закон фильтрации (5), который отличается от закона Дарси наличием предельного градиента , по достижении которого начинается движение. В векторной форме закон фильтрации с предельным градиентом выведен из теории размерностей и имеет вид. (31)
; (32)
в проекции на оси координат:
; (33)
;
.
Лекция 3.
Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации однородного флюида по закону Дарси. Функция Л. С. Лейбензона.
Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации используем уравнение неразрывности
или
(34)
Сумма в скобках в левой части уравнения (34) представляет собой дивергенцию вектора скорости фильтрации и кратко записывается таким образом:
, (35)
поэтому уравнение (34) можно записать в виде:
. (36)
Уравнение (34) (или 36) справедливо только в том случае, если внутри объема нет источников или стоков, выделяющих или поглощающих флюид, не происходит химических реакций, фазовых превращений и т.д.
И уравнения движения
(37)
В уравнении (11) не будем учитывать силу тяжести.
Введем функцию (функцию Лейбензона), тогда дифференциал этой функции равен:
, (38)
тогда
, (39)
т. к. функция Лейбензона и давление зависит от координат x,y,zи времениt, то (38) можно записать в развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:
.
Сравнивая коэффициенты при x,y,z получаем:
, , , (40)
Запишем выражение для составляющих массовой скорости фильтрации, умножив правую и левую части уравнения (37) на плотность и используя соотношения (40):
, (41)
Подставим выражение (41) в уравнение неразрывности (34), получим:
(42)
или
, (43)
где - оператор Лапласа от функции Лейбензона (39).
Уравнение (42) справедливо для неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.
При установившейся фильтрации и будет удовлетворяться уравнение Лапласа для функции Лейбензона:
(44)
При k=const,=const, и, тогда можно ввести функцию Лейбензона в виде:
. (45)
Тогда дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации примет вид:
. (46)
Выразим функцию Лейбензона (45) через давление для различных флюидов – несжимаемой жидкости, упругой жидкости, совершенного газа и реального газа. Для этого в (45) подставим соответствующие выражения для плотности и проинтегрируем.
Для несжимаемой жидкости о=const, тогда
, (47)
т. е. функция Лейбензона пропорциональна давлению.
Для упругой жидкости:
, (48)
т. е. имеем тот же вид, что и для несжимаемой жидкости.
Для совершенного газа с уравнением состояния
, (49)
получаем
, (50)
т. е. функция Лейбензона пропорциональна квадрату давления.
Для реального газа с уравнением состояния
, (51)
тогда
, (52)
т. е. функция Лейбензона записывается в виде интеграла.
Т. к. реальные свойства газа проявляются при высоких пластовых давлениях, то в этом случае оказывается существенной зависимость вязкости от давления и нужно использовать функцию Лейбензона в виде (39).
Лекция 4.