ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОССУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА
Кафедра «Автоматизации и управления»
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Теория автоматического управления» для студентов специальностей «Автоматизация технологических процессов», «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов».
Расчёт настроек непрерывных регуляторов методом расширенных комплексных частотных характеристик
Тюмень 2005
Утверждено редакционно-издательским Советом Тюменского государственного нефтегазового университета
Составители: доцент, к.т.н. Макарова Л.Н.,
к.т.н. Макаров А.В.,
ст. преподаватель Попова Н.В.
@Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет» 2005г.
СОДЕРЖАНИЕ
Содержание |
3 |
1. Основные положения |
4 |
2. Пример расчёта |
8 |
3. Последовательность шагов при расчётах в программе MatLab |
14 |
4. Задания для самостоятельной работы |
21 |
5. Список литературы |
23 |
1. Основные положения метода расчёта настроек регуляторов при ограничении на корневой показатель колебательности
1.1. Корневой показатель колебательности - величина, обратная колебательностии равная наименьшему из всех отношений действительной частикомплексных корней к мнимойхарактеристического уравнения системы.
.
1.2. При расчёте систем задаётся обычно затухание колебаний, оно должно находиться в пределахи определяется
, где и- амплитуды первого и второго периодов переходной характеристики соответственно.
Между колебательностью и затуханием имеется прямое соответствие:
или .
1.3. Условие, определяющее существование пары комплексно-сопряжённых корней с заданным корневым показателем колебательности для одноконтурной системы (Рисунок1) с единичной обратной связью на основе критерия Найквиста, имеет вид:
Рисунок 1. Структурная схема одноконтурной системы
где - расширенная амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) регулятора,
- расширенная АФЧХ объекта.
1.4. Для ПИ-регулятора с передаточной функцией расширенная АФЧХ имеет вид
1.5. Для ПИД – регулятора с передаточной функцией расширенная АФЧХ имеет вид
где ,
Тд – постоянная дифференцирования,
Ти – постоянная интегрирования,
,
- балластная постоянная.
1.6. Из условия существования пары комплексно-сопряжённых корней и на основании свойства комплексных чисел
вытекает равенство
Тогда для ПИ-регулятора:
(1)
Разрешив систему (1) относительно и, получим
(2)
1.7. Расчёт проводится внутри диапазона частот ;
находят из условия:
,что соответствует; (3)
из условия:
,что соответствует. (4)
Чтобы найти и , проводят и сводят в таблицу следующие расчёты (Таблица 1) для произвольно заданных частот, добиваясь выполнения равенств (3) и (4).
Таблица 1. Расчёты для определения и
|
|
| |
|
|
|
1.8. Разбивают интервал нашагов; для каждой частотырассчитывают по (2) значенияии сводят в таблицу (Таблица 2).
Таблица 2. Значения настроек для разных значений частот
Настройки считаются оптимальными, если отношение максимальное. Полученные настройки должны обеспечить прямые и косвенные показатели качества, поэтому показатели качества рассчитывают при найденных параметрах регуляторов().
1.9. Для определения прямых показателей качества нужно построить переходную характеристику замкнутой системы, поэтому записывается передаточная функция замкнутой системы ():
Находится изображение переходной характеристики ():
и, используя обратное преобразование Лапласа, строится переходная характеристика системы ():
.
1.10. По переходной характеристике вычисляются прямые показатели качества: перерегулирование ; время регулированияи т.д.
1.11. По амплитудно-частотной характеристике замкнутой системы определяются косвенные показатели качества.
2. Пример расчёта
Задание. Рассчитать настройки ПИ – регулятора методом расширенных комплексных частотных характеристик (АФЧХ) системы на основе заданного корневого показателя качества (), структурная схема приведена выше (Рисунок 1), передаточная функция объекта имеет вид:
.
Решение
2.1. Расширенная АФЧХ (или КЧХ) ПИ - регулятора
.
2.2. Условие, определяющее существование комплексно-сопряжённых корней:
2.3. Составляем основную систему для расчётов
или
т. е.
2.4. Тогда расчётные формулы для настроек (и) имеют вид:
2.5. Выделяем диапазон изменения частот, обеспечивающих оптимальные настройки. Для этого, изменяя частоту от с шагом 0,0001, строим таблицу (Таблица 3) до тех пор, покастанет несущественной величиной.
Замечание. В таблице приведены не все значения в целях экономии места.
Замечание. В интервале частот, где приближается к, для получения большей точности нужно уменьшить шаг. Для ускорения убыванияпосле прохожденияшаг нужно увеличить.
Таблица 3. Значения действительной и мнимой частей обратной расширенной комплексной частотной характеристики объекта
0,001 |
0,083106 |
0,00066599 |
0,00022644 |
0,0011 |
0,083083 |
0,00073251 |
0,00024905 |
… |
… |
… |
… |
0,1509 |
0,028991 |
0,085116 |
0,028939 |
0,151 |
0,028941 |
0,085162 |
0,028955 |
0,1511 |
0,028892 |
0,085208 |
0,028971 |
… |
… |
… |
… |
0,9802 |
-0,98857 |
0,0001281 |
0,0000435 |
0,9803 |
-0,98877 |
0,0000614 |
0,0000209 |
0,9804 |
-0,98896 |
-0,0000052 |
-0,0000018 |
;
2.6. Интервал [;] разбиваем на 15 подинтервалов :
... Для каждой частоты рассчитываем и.
Замечание. Можно считать сначала
, а после определения наибольшего отношения высчитать значенияи.
Замечание: После определения приблизительного значения нужно уточнить это значение, построить интервал в окрестностис более мелким шагом. Результаты расчётов сведены в таблицу 4.
Таблица 4. Зависимость отношения от частоты
0,151 |
0,014346 |
0,23393 |
0,030988 |
0,31686 |
0,050538 |
0,39979 |
0,070398 |
0,48272 |
0,087973 |
0,56565 |
0,10067 |
0,64858 |
0,10589 |
0,73151 |
0,10103 |
0,81444 |
0,083506 |
0,89737 |
0,050717 |
0,9803 |
6,7184e-005 |
0,151 |
0,014346 |
0,23393 |
0,030988 |
0,31686 |
0,050538 |
0,39979 |
0,070398 |
0,48272 |
0,087973 |
итак, ,,.
2.7. Построение переходной характеристики
При нарушении равновесия системы автоматического управления в ней возникают переходные процессы. Реакция на единичное ступенчатое воздействие () или ступеньку, называется переходной характеристикой () :
,
где - передаточная функция замкнутой системы; в примере для приведённой структурной схемы:
,
,
Перерегулирование
, .
2.8. Для уменьшения можно попытаться уменьшить, например, оставивтем же. Тогда;
время регулирования при ;12c;
степень затухания .
Для расчёта настроек ПИД регулятора данный метод оказывается слишком громоздким и сложным.