2 Пружні напруження

2.1 Зовнішні сили

Виникнення деформацій в пружному середовищі є наслідком прикладання зовнішніх сил. Розрізняють два види зовнішніх сил: поверхневі сили, прикладені до поверхні тіла, що деформується, та об’ємні сили, що діють на елементи об’єму тіла.

Поверхневі сили характеризуються поверхневою густиною , деозначає точку поверхні, що розглядається,- час, протягом якого діє сила. Якщо черезпозначити малий елемент поверхні тіла, що деформується, то загальна сила, прикладена до цього елемента, представиться вектором (рис. 2.1). У загальному випадку напрямок цієї сили може не співпадати з напрямком зовнішньої нормалідо елемента. Проекції силина оси координат означають,,. Класичним прикладом поверхневих сил є сила гідростатичного тиску рідини на занурене в неї тіло.

z

V

V

dV

м

dS

O

О

y

ZdV

х

Рисунок 2.1–Діючі сили в пружному середовищі

Об’ємні сили характеризуються об’ємною густиною. Якщо вибрати деякий малий елемент об’єму , то сумарною силою, діючою на цей елемент буде, де точка (х,у,z)належить елементуоб’єму, що розглядається, - час, протягом якого діє сила. Компоненти об’ємної сили будуть,,. Класичним прикладом об’ємних сил є сила тяжіння.

2.2 Внутрішні напруження

Пружне середовище під дією прикладених до неї зовнішніх сил набуває деформації. При цьому всередині середовища в результаті взаємодії її частин розвиваються внутрішні сили. Вони протидіють зовнішнім силам і намагаються врівноважити їх. Ці внутрішні сили називають пружними напруженнями.

Візьмемо площадку , що містить точкуМ, у вигляді трикутника і з допомогою трьох взаємоперпендикулярних площин утворимо малий тетраедр об’єму . Осі координат направимо по ребрах тетраедра (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – До умови рівноваги напружень

Позначимо через ,,вектори напружень на гранях, перпендикулярних до осей. Для рівноваги виділеного з пружного середовища безмежно малого елементанеобхідно, щоб сила, прикладена до площадки, дорівнювала геометричні сумі сил, діючих на інші грані. Враховуючи, що сили, прикладені до кожної грані, дорівнюють добутку її площі на напруження, умова рівноваги приймає вигляд:

(2.1)

Векторне рівняння (2.1) можна замінити трьома скалярними:

(2.2)

де ,(2.3)

- проекції векторів напружень на осі координат. Перший індекс в (2.3) вказує орієнтацію граней, другий – напрямок компоненти вектора напружень. Величининазиваються нормальними компонентами напружень, а,,,,,- дотичними (тангенціальними) компонентами напружень на площадки, перпендикулярні до осей. Нижче буде доведено, що,,.

Отже, дев’ять компонент напружень (2.3), які визначають напружений стан в точці та її малому околі, залежать від напрямку нормалів цій точці.

2.3 Рівняння руху Коші

Для рівноваги довільно виділеного об’єму пружного середовища під дією систем поверхневих і об’ємних сил, включаючи сили інерції, вимагається, щоб результуючі сили і момент, діючих на цей об’єм, дорівнювали нулю.

Виділимо в пружному тілі елемент об’єму . Компоненти сил інерції, діючих на елементарний об’єм, будуть:

; ; ,(2.4)

де: - густина тіла;- компоненти переміщення;- час.

Проекції прискорення в (2.4) можна визначити з формул (1.5), диференціюючи які, отримаємо

Для об’єму пружного тіла компоненти сил інерції будуть:

. (2.5)

В якості зовнішніх сил, діючих на об’єм (рисунок 2.1), маємо об’ємні сили, наприклад, силу тяжіння, з компонентами, і сили пружних напружень, прикладених до поверхніоб’ємуV, з компонентами ,,.

Для об’єму V пружного тіла компоненти сили тяжіння будуть:

; ;.(2.6)

Компоненти сил пружних напружень, прикладених до поверхні об’ємуV

; ;.(2.7)

Враховуючи (2.5), (2.6) і (2.7), запишемо умову рівноваги довільного об’єму V пружного середовища під дією проекцій сил на вісь :

.(2.8)

Підставимо в (2.8) значення з (2.2) і за допомогою теореми Гауса-Остроградського перейдемо від інтегралу по поверхні до інтегралу по об’єму:

. (2.9)

В силу довільності об’єму V:

.(2.10)

Аналогічно, співставляючи умови рівноваги довільного об’єму пружного середовища під дією компонент сили на осіі, отримаємо

,(2.11)

.(2.12)

Вирази (2.10) і (2.12) – рівняння руху деформованого тіла.

Якщо пружне тіло знаходиться в рівновазі під дією заданих сил, то компоненти сил інерції дорівнюють нулю, і рівняння рівноваги набувають вигляду:

(2.13)

Для рівноваги довільного об’єму V пружного середовища крім того необхідно, щоб результуючий момент сил, діючих на цей об’єм, дорівнював нулю.

Наприклад, умова рівноваги моментів сил, діючих на елементарний об’єм, відносно осі, паралельній х (рис.2.3), необхідно виконання рівності

,

звідки

При отримаємо співвідношення

.

Аналогічні вирази можна отримати для моментів сил відносно вісей у та z:

Таким чином, в загальному випадку справедливе співвідношення

, (2.14)

яке показує, що тензор напружень є симетричним.

Якщо врахувати рівність (2.14), напружений стан в будь-якій точці деформованого тіла визначається шістьма компонентами напруження: ,,,,,.

Рівняння (2.10-2.14) вперше були отримані Коші. Вони відіграють важливу роль у теорії пружності.

Рисунок 2.3. - До рівняння рівноваги моментів сил, діючих на гранях елементарного об’єму.