2.3 Рішення прямих задач для геологічних схем

Геологічна схема (схема геологічної будови) розрізу складається з певної комбінації елементарних тіл ([1], стор. 13, 15). Елементарних тіл має бути відносно небагато (наприклад, 100500). Гравітаційне або магнітне аномальне поле від таких моделей можна записати в аналітичному вигляді як суму теоретичних ефектів , що розраховуються за тими чи іншими формулами, наведеними у параграфах 3 і 4:

; (2.43)

де М – кількість елементарних тіл у геологічній схемі.

Розрізи структурного типу можна описати комбінацією уступів малої амплітуди. Розрізи блокового типу - уступами, призмами, вертикальними або нахиленими пластами. Геологічні схеми допомагають конкретизувати уяви інтерпретатора щодо будови розрізу.

Достовірність і точністьпобудов у геологічних схемах оцінюють за результатами співставлення аномального спостереженого поля з теоретично розрахованим полем від таких моделей.

За умов достовірності основних елементів схеми її параметри можна уточнити за відомими методами рішення обернених задач. Тим самим уточнити відомості про будову геологічного розрізу. Методи уточнення апріорі побудованих геологічних схем за аномальним спостереженим полем називаються методами підбору.

Серед методів підбору найбільш поширеними в практиці кількісної інтерпретації потенціальних полів є методи Є.Г.Булаха. Так, відома система автоматизованої інтерпретації [1] призначена для уточнення геологічних схем-гіпотез, елементами яких є тіла призматичного типу, наприклад, уступи. Кількість параметрів (тіл) у геологічних схемах обмежена математичними проблемами. Обернена задача в методах підбору зведена до мінімізації багатопараметричного функціонала. Стійкість (можна казати, геологічна змістовність) мінімізації принципово можлива, коли кількість параметрів схеми не дуже велика.

Критерієм підбору параметрів геологічної схеми є якість узгодженості розрахованого поля уточненої схеми зі спостереженим полем. Таким чином способи рішення прямих задач для геологічних схем займають чинне місце в методах кількісної інтерпретації потенціальних полів.

Питання для самоперевірки

1) Поняття геологічної схеми.

2) Порядок розрахунків (алгоритм) аномального поля геологічної схеми.

Література

1. Е.Г.Булах, М.Н.Маркова и др. Математическое обеспечение автоматизированной системы интерпретации гравитационных аномалий. – К.: Наукова Думка, 1984, – 112с.

2. Миронов В.С. Курс гравиразведки. – Л.: Недра, 1972, – 512с.

3. Магниторазведка. Справочник геофизика. -М.: Недра, 1990, – 470с.

2.4 Апроксимаційні конструкції складних моделей геологічного розрізу

Важливим етапом інтерпретації геолого-геофізичних даних є узагальнення їх у вигляді параметричних моделей геологічного розрізу, оцінка достовірності та формальної точності моделей будови розрізу за степенем узгодження спостереженого й модельного полів. Зростання складності геологічних задач обумовило необхідність більш детального й точного опису будови геологічного розрізу. Необмежені за детальністю моделі геологічного розрізу фактично є неперервними функціями розподілу петрофізичних параметрів та геометрії геологічних границь. Однак, будь-які чисельні розрахунки є можливими тільки для дискретних функцій. Тому насамперед необхідно вирішити проблему дискретизації складних моделей.

При рішенні прямих (і обернених) задач для складних моделей чисельні способи інтегрування виділяються у два напрямки: методи квадратур і апроксимацій [1]. Використання квадратурних формул переводить питання про фізичний зміст підінтегральних функцій до другорядного плану. Напрямок апроксимацій пов’язаний з використанням фізичного змісту цих функцій. За цим напрямком модельне поле є сумою полів точкових мас, пластинок, дисків і так далі. Різниця між цими двома підходами чисто умовна, оскільки будь-яку квадратурну формулу можна тотожно описати фізично змістовною апроксимаційною конструкцією з елементарних тіл.

Поняття апроксимаційної конструкції для необмежених за складністю геологічних моделей має інший зміст, ніж для геологічних схем. Геологічна схема – це комбінація відносно невеликої кількості елементарних тіл певної форми та розмірів, яка і є апроксимаційною конструкцією будови геологічного розрізу. Для складних моделей визначення апроксимаційної конструкції обумовлено, як уже сказано, необхідністю дискретизації підінтегральних виразів, які є функціями координат. Дискретизацію моделей можна представити як процес проектування складних моделей на обрану апроксимаційну конструкцію. В межах кроку дискретизації, як правило, приймають, що ці функції є сталими. Таке наближення є найбільш простим і достатньо точним при малому кроці дискретизації. Так область геологічного розрізу розбивається на щільну сукупність маленьких елементарних тіл стандартної форми. На відміну від геологічних схем тут кількість елементарних тіл має бути великою, або дуже великою, до сотень тисяч і більше.

Прості методи інтегрування (заміна інтеграла прямої задачі сумою) приводять до неякісної апроксимації області розрізу:

Моделі розподілу густини (намагніченості)будуть наближені сукупністю точкових джерел-кульок (тривимірні моделі) або горизонтальних циліндрів (двовимірні моделі) із масою (магнітним моментом):

М(,)=(,), (2.44)

де (,)– значення густини (намагніченості) у точках(,), визначених дискретизацією моделі;

 – крок дискретизації по вісі х;

 – крок дискретизації по вісі z, на який накладається фізично змістовне обмеження: 0.8.

Моделі розподілу геометрії геологічних границь (структурні моделі), у яких густина (намагніченість) товщ, як правило, є сталою вздовж вісі z, будуть наближені сукупністю вертикальних циліндрів (тривимірні моделі) або вертикальних пластин (двовимірний варіант) із масою (магнітним моментом):

М_n()=_n()h_n(), (2.45)

де _n() – середньозважене значення густини (намагніченості) n-ої товщівздовж вісі z, визначене у точках  (по вісі х);

h_n()=f_n+1()–f_n() – товщина n-ої товщі;

f_n+1() – глибина залягання підошви товщі;

f_n() – глибина залягання покрівлі товщі.

Найбільш оптимальною та ефективною апроксимаційною конструкцією є щільна упаковка області середовища малими елементарними комірками призматичного типу. Вона є і найбільш простою серед фізично змістовних "конфігураційних розподілів джерел полів", які за визначенням В.М.Страхова [2] лежать в основі перспективного кінцево-елементного підходу до опису геологічних середовищ.

Перепоною у використанні таких конструкцій була проблема часу розрахунків трансцендентних функцій (див. формули 2.15, 2.19, 2.35, 2.39), що обмежувало збільшення кількості комірок до тисяч і тим більше, до сотень тисяч. Актуальність цієї проблеми підкреслював В.М.Страхов [3]. Проблема часу вирішується досить ефективно, якщо пряму (і обернену) задачу представити у вигляді швидкої згортки [4, 5].

Апроксимаційну конструкцію, яка використовується для дискретизації неперервних функцій розподілу густини (намагніченості) будемо називати лінійною. Апроксимаційну конструкцію для дискретизації неперервних функцій геометрії границь - структурною (нелінійною).

Лінійна апроксимаційна конструкціяобласті геологічного середовища представляє собою суму кусочно-постійних функцій, яка у тривимірному випадку описує щільну упаковку малих паралелепіпедів [6]:

(2.46)

де ℓ = 1,2,3....L; m = 1,2,3...M; n = 1,2,3...N – кількість елементарних комірок конструкції по вісі x, y і z відповідно;

boxcar() – функції прямокутного імпульсу [7]:

(2.47)

Для двовимірного випадку (щільна упаковка горизонтальних призм):

. (2.48)

А неперервний розподіл густини (намагніченості), наприклад, у тривимірному випадку, проектується на апроксимаційну конструкцію так:

(2.49)

де - значення густини (намагніченості) паралелепіпедів розмірами_n.

Структурна апроксимаційна конструкція представляється подібним чином, але тут _n → h_n(,), тобто дискретизація структурних моделей по вісі z визначається суто товщиною шарів, яка в плані, звісно, не є сталою.

Рішення прямої (і оберненої) задачі за допомогою швидкої згортки накладає жорсткі вимоги до дискретизації області геологічного середовища у плані: крок уздовж осей х і у має бути рівномірним та співпадати з кроком розрахунків (спостереження) полів: =x, =y.

Кроки дискретизації x і y, які задають розташування розрахункових точок (або спостереження) поля у плані (по профілю), повинні відповідати вимогам щодо масштабу досліджень і точності опису складних моделей, а також залежати від довжини профілю (бажано, щоб таких точок було не менше 100).

Параметри лінійної апроксимаційної конструкції. Для моделей розподілу петрофізичних параметрів задається крок їхньої дискретизації у плані і по вісі z, який залежить від ступеня складності моделі на різних глибинах. Ускладнення будови моделі на певних глибинах може обумовлювати зменшення кроку дискретизації z. Він задається послідовністю рівнів глибин D(i) (рисунок 2.16).

Параметри структурної апроксимаційної конструкції відрізняються правилами дискретизації по вісі z. Масив D(i) інтерпретатором не формується. Дискретизація моделі по вісі z встановлюється виключно глибинами границь і тому не є сталим уздовж вісі х і y. Така конструкція відображає структурну будову геологічної моделі (рисунок 2.17).

Кожна призма (комірка) апроксимаційної конструкції має густину (намагніченість) тієї товщі, в яку попадає її геометричний центр.

x

D(1)

D(2)

D(3)

D(4)

геометрія границь

D(5)

D(6)

...комірка

Рисунок 2.16 –Лінійна апроксимаційна конструкція

Якість апроксимаційних конструкцій впливає не тільки на точність рішення прямих задач. Геологічна достовірність результатів ітеративного рішення обернених задач залежить від адекватності конструкцій, що використовуються в алгоритмах оберненої і прямої задач та послідовно застосовуються на кожній ітерації. Достовірність інтерпретації залежить і від адекватності лінійної та структурної конструкцій, якщо сформульована комплексна задача: вивчення розподілу густини (намагніченості) й геометрії границь.

x

дискретизація геометрії

границь

h_n()

Рисунок 2.17 – Структурна апроксимаційна конструкція

Питання для самоперевірки

1) Лінійна апроксимаційна конструкція.

2) Структурна апроксимаційна конструкція.

3) Параметри апроксимаційних конструкцій.

4) Апроксимаційні конструкції при простих способах чисельного інтегрування.

5) Аналітичне представлення проектування неперервних функцій розподілу петрофізичних параметрів на апроксимаційні конструкції.

Література

1. Голиздра Г.Я. Комплексная интерпретация геофизических полей при изучении глубинного строения земной коры. -М.: Недра, 1988.- 212с.

2. Страхов В.Н. Современное состояние и перспективы развития теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий// Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Труды международной конференции. -Воронеж, -1998.-С.4-35.

3. Страхов В.Н. Аналогия аналитических выражений элементов гравитационного и магнитного полей двухмерных и трехмерных многоугольных тел и оптимальные вычислительные процессы решения прямых задач для этих тел// Теория и практика интерпретации гравитационных аномалий. М., 1982. С. 59-68.

4. Анікеєв С.Г. Комп’ютерна система рішення прямих та обернених задач гравірозвідки для 2D/3D моделей складнопобудованих середовищ// Розвідка і розробка нафтових та газових родовищ: Збірник Наукових Праць ІФДТУНГ -Івано-Франківськ, -1997. -Вип.34. -С. 57-63.

5. Анікеєв С.Г. Методика інтерпретації гравіметричних матеріалів при довільній будові геологічних середовищ. Автореф. диc....канд. геол. наук: 04.00.22 / ІФДТУНГ- Київ, 1999. -242c.

6. Аникеев C.Г. Преобразование Фурье функции плотности, аппроксимированной функцией прямоугольных импульсов// Разведка и разработка нефтяных и газовых месторождений. - Львов: Выща школа, 1987. -Вып.24. -C. 38-41.

7. Телфорд В.М. Прикладная геофизика. М.: Недра, 1980. - 222с.