Л.р. №8 Движение заряженных частиц в магнитном поле

Лабораторная	СМК КГУ	Редакция
работа №	Движение заряженных частиц в магнитном поле	1
	Инженерно-технический институт КГУ, кафедра физики.	стр. 1 из
	Утверждена на заседании кафедры физики января 2010, протокол №1	13

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Учебная цель занятия

Применение движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях получило широкое распространение в науке и технике. К приборам подобного рода относятся электронно-лучевые трубки, ускорители элементарных частиц, массспектрометры и многие другие.

Содержание лабораторной работы

В данной лабораторной работе необходимо изучить движение заряженной частицы в магнитном поле. Задавая такие параметры, как проекции вектора скорости и индукцию магнитного поля, можно в видеть как изменяется траектория движения заряженной частицы, каков радиус её вращения, можно вычислить период обращения. Необходимо построить графики следующих зависимостей: гироскопического радиуса и периода обращения частицы от проекции скорости на ос х; циклотронной частоты и периода обращения от значения индукции магнитного поля; длины шага от значении проекции вектора скорости на ось х. Все зависимости строятся при условии, что третий параметр, задаваемый в модели остаётся постоянным или равен нулю.

Базовый материал

Повторить, а при необходимости изучить теоретические вопросы базового материала:

1.Савельев Курс физики, т.2

2.Сивухин Общий курс физики, т.3

3.Матвеев Курс физики, т.3

4.Грабовский Курс физики

5.Лекционный материал

Подготовка к занятию

Для успешного выполнения и сдачи работы необходимо подготовить бланк отчёта по работе, подготовить ответы на контрольные вопросы, знать понятия тока, магнитного пол, законы Био-Савара и Ампера, выражение для силы Лоренца.

Входной контроль

1. Какой величиной характеризуется магнитное поле? В чём она измеряется?

Лабораторная	СМК КГУ	Редакция
работа №	Движение заряженных частиц в магнитном поле	1
	Инженерно-технический институт КГУ, кафедра физики.	стр. 2 из
	Утверждена на заседании кафедры физики января 2010, протокол №1	13

2.Какая сила действует на движущийся заряд в магнитном поле? Как она называется?

3.Чему равна сила, действующая со стороны магнитного поля, на покоящуюся заряженную частицу?

4.Записать закон Био-Савара.

5.Как направлена сила, действующая на движущуюся заряженную частицу? Сформулируйте правило буравчика.

6.Какую работу совершает сила Лоренца при движении заряда?

7.Какая сила действует на проводник с током в магнитном поле?

8.Изобразите силовые линии прямолинейного проводника с током.

9.Как взаимодействуют два параллельных бесконечно длинных проводника с

током?

10.Какие величины задаются в модели? Вычисляются?

Теоретическое введение и исходные данные

Уравнение движения частицы, меющей массу ь и заряд й, движущегося со скоростью вв постоянном магнитном поле с индукцией В, имеет следующий вид:

			(1)
где	- сила, действующая на движущуюся частицу в магнитном поле,

называемая силой Лоренца. Это векторное уравнение необходимо спроектировать на оси прямоугольной декартовой системы координат. Получим три скалярных уравнения.

Пусть вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси :

Отсюда, согласно правилу определения составляющих векторного произведения, следует:

,

,

Таким образом, уравнение (1) приводится к системе дифференциальных уравнений:

,

Лабораторная	СМК КГУ	Редакция
работа №	Движение заряженных частиц в магнитном поле	1
	Инженерно-технический институт КГУ, кафедра физики.	стр. 3 из
	Утверждена на заседании кафедры физики января 2010, протокол №1	13

,

Эту систему также можно записать в виде:

,

,

(2)

Отсюда видно, что остаётся постоянной составляющая скорости, параллельная оси , т.е. вдоль которой направлено магнитное поле.

Можно также непосредственно обнаружить и другую особенность данного движения: остаётся также постоянной кинетическая энергия

Так как

Потому что векторное произведение перпендикулярно к вектору скорости. Следовательно, магнитное поле не изменяет кинетическую энергию свободной частицы. Из постоянства кинетической энергии мы делаем вывод, что величина также постоянна. Этот результат наводит на мысль искать решение выражающее равномерное круговое движение, при котором составляющие скорости по осям x и y

изменяются по синусоидальному закону с разностью фаз	.
Решение системы уравнений движения (2) будем искать в следующем виде:
,
,	(3)

Это – уравнения кругового движения. Из них следует:

,

,

Лабораторная	СМК КГУ	Редакция
работа №	Движение заряженных частиц в магнитном поле	1
	Инженерно-технический институт КГУ, кафедра физики.	стр. 4 из
	Утверждена на заседании кафедры физики января 2010, протокол №1	13

И после подстановки решений (3) система уравнений принимает вид:

,

(4)

Эти уравнения тождественно выполняются при условии, что:

,

(5)

А этим соотношенем определяется так называемая циклортронная (гироскопическая, ларморовская) частота, т.е. частота движения заряженной частицы в магнитном поле. Уравнения (4) удовлетворяются при любом значении .

Рисунок 1. Положительный заряд q, движущийся с начальной скоростью v, перпендикулярной к индукции В однородного магнитного поля, описывает

окружность радиусом		с постоянной по абсолютной величине

скоростью V

Уравнение для циклотронной частоты можно получить и элементарным способом. Направленная внутрь траектории частицы магнитная сила создаёт центростремительное (направленное внутрь) ускорение, необходимое для кругового

движения этой частицы. Величина центростремительного ускорения равна		или
. Следовательно,

Лабораторная	СМК КГУ	Редакция
работа №	Движение заряженных частиц в магнитном поле	1
	Инженерно-технический институт КГУ, кафедра физики.	стр. 5 из
	Утверждена на заседании кафедры физики января 2010, протокол №1	13

,

Или

Откуда получаем

Найдём уравнение траектории частицы в магнитном поле. Изменние положения частицы в заивисимости от времени можно определить, интегрируя уравнения движения (3), положив в них равным :

Отсюда видно, что проекция траектории частицы на плоскость xy представляет собой

окружность с центром в точке	. Радиус этой окружности равен
					.
Этот радиус называется	гироскопическим радиусом или циклотронным
(ларморовским)радиусом.

Рисунок 2. Положительный заряд q описывает в однородном магнитном поле с индукцией В спираль с постоянным шагом. При этом параллельная вектору В составляющая скорости заряда, остается постоянной

Лабораторная	СМК КГУ	Редакция
работа №	Движение заряженных частиц в магнитном поле	1
	Инженерно-технический институт КГУ, кафедра физики.	стр. 6 из
	Утверждена на заседании кафедры физики января 2010, протокол №1	13

Траектория частицы представляет собой спираль, ось которой направлена параллельно магнитной идукции; составляющая скорости частицы, параллельная вектору В, остаётся постоянной.

Заметим следующее

			,
Где	- импульс частицы в плоскости, перпендикулярной к . Это важное

соотношение; выполняется и в релятивистской области скоростей, если вместо подставить в него релятивистский импульс. Поэтому можно применять это соотношение для определния импульсов частиц с очень высокой энергией. Рассмотрим примеры

1.Гироскопическая частота Какова гироскопическая частота электрона в магнитном поле с индукцией 1,1 Тл

(величина поля 10-15 Тл типична для магнитных полей обычных электромагнитов с железным сердечником)? Согласно формуле для циклотрнонной частоты, имеем:

Частотак периодического движения, равна:

Соответствующая длина электромагнитной волны в свободном пространстве равна:

ц				м
	ц

Гироскопическая частота протона относится к гироскопической частоте электрона в том же самом магнитном поле так же, как масса элетрона к массе протона (1836 раз):

Направление круговогодвижения электрона в магнитном поле противоположно направлению движения протона, потому чт их заряды имеют противоположнве знаки.

Лабораторная	СМК КГУ	Редакция
работа №	Движение заряженных частиц в магнитном поле	1
	Инженерно-технический институт КГУ, кафедра физики.	стр. 7 из
	Утверждена на заседании кафедры физики января 2010, протокол №1	13

2.Гироскопический радиус Каков равдиус траектории электрона, движущегося в циклотроне со скоростью

м/с в плоскости, перпендиуклярной к вектору магнитной индукции В, величина которого равна 1,1 Тл?

Применяя уравнение				, найдём:

Гироскопический радиус протона, движущегося с той же скоростью, больше в Мр/m раз:

Рисунок 3 Полученная в водородной пузырьковой камере фотография траектории электрона, движущегося с большой скоростью в магнитном поле. Электрон входит в поле зрения внизу слева. Теряя свою энергию на ионизацию водородных молекул, электрон замедляет движение. Когда уменьшается скорость электрона, уменьшается и радиус кривизны его траектории в магнитном поле. Поэтому траектория имеет форму спирали. (Радиа ионная

лабо ато ия и . Лоу ен а)

Рассмотрим случай, когда скорость частицы направлена под углом к магнитному полю. Представим скорость в виде , где - скорость вдоль поля, а - перпендикулярно к нему. Движения с этими скоростями независимы. Первое есть равномерное прямолинейное движение вдоль поля сос скоростью

Лабораторная		СМК КГУ	Редакция
работа №		Движение заряженных частиц в магнитном поле	1
		Инженерно-технический институт КГУ, кафедра физики.	стр. 8 из
		Утверждена на заседании кафедры физики января 2010, протокол №1	13
, второе – равномерное движение по окружности вокруг поля с угловой
частотой,		равное гироскопической. Радиус этой окружности равен			. В

результате сложение обоих движений возникает движежние по спирали, ось которой параллельна магнитному полю.

Порядок выполнения работы

Задание 1 1. Сделать описание модели в соответствие с таблицей 1

		Таблица 1
		Величины
	Задаваемые	Вычисляемые

Пределы

изменения

Единица

измерения

2.Получить формулу для гироскопического радиуса

3.Задать значение проекции вектора скорости на ось z равной нулю

4.Установить значение вектора магнитной индукции равной в соответствии с таблицей 2

Лабораторная	СМК КГУ	Редакция
работа №	Движение заряженных частиц в магнитном поле	1
	Инженерно-технический институт КГУ, кафедра физики.	стр. 9 из
	Утверждена на заседании кафедры физики января 2010, протокол №1	13

Таблица 2

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Индукция	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,5	1,7	1,8	2,0
магнитного
поля

5.Изменяя значение проекции вектора скорости на ось х, записывать значения гироскопического радиуса, число полных оборотов и времени (соответствующее полному количеству оборотов) в таблицу 3

							Таблица 3
№	Vz	Vx	Индук	Число	Время, t	Период,	Гир.
			ция, B	оборотов,		T	Радиус,
				N			R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

6.Вычислить период обращения частицы: T=t/N

7.Построить график зависимости гироскопического радиуса и периода обращения от начальной скорости (проекции на ось х)

8.Получить формулу для циклотронной частоты

9.Построить график зависимости циклотронной частоты и периода обращения от

скорости при определённом значении индукции поля 10.В какую сторону движется заряд при положительном и отрицательном значении

индукции поля 11.Сделать вывод о зависимости гироскопического радиуса, циклотронной частоты

и периода обращения от величины проекции скорости на ось х

Задание 2

Лабораторная	СМК КГУ	Редакция
работа №	Движение заряженных частиц в магнитном поле	1
	Инженерно-технический институт КГУ, кафедра физики.	стр. 10 из
	Утверждена на заседании кафедры физики января 2010, протокол №1	13

1.Задать значение проекции вектора скорости на ось z равной нулю

2.Установить значение проекции вектора скорости на ось х в соответствии с таблицей 4

Таблица 4

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Скорость	1,0	1,7	2,3	3,0	3,7	4,3	5,0	5,7	6,3	8
по оси x

3.Изменяя индукция магнитного поля В, записывать значения гироскопического радиуса, число полных оборотов и времени (соответствующее полному количеству оборотов) в таблицу 5

							Таблица 5
№	Vz	Индукция,	Vx	Число	Время, t	Период,	Гир.
		B		оборотов,		T	Радиус,
				N			R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

4.Вычислить период обращения частицы: T=t/N

5.Построить график зависимости гироскопического радиуса и периода обращения от величины вектора магнитной индукции

6.Построить график зависимости циклотронной частоты и периода обращения от вектора магнитной индукции при определённом значении скорости

7.Сделать вывод о зависимости гироскопического радиуса, циклотронной частоты и периода обращения от величины магнитного поля

8.Сделать вывод о траектории движения частицы в отсутствие составляющей вектора скорости по оси z

Задание 3