Введение.
Общий курс высшей математики, изучаемой студентами-заочниками инженерно-технических и технологических специальностей, состоит из аналитической геометрии с элементами линейной алгебры, математического анализа, элементов теории вероятности и математической статистики.
Этот курс ставит основной своей задачей сообщить студенту сведения о высшей математике, необходимые для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, и также развить навыки логического мышления.
Учебный материал по курсу высшей математики распределен на пять первых семестров. В конце каждого семестра предусмотрен зачет или экзамен по изученным разделам математики. Соответственно этим разделам студенты выполняют контрольные работы согласно учебному плану своей специальности.
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Лекции, практические, индивидуальные межсессионные занятия призваны помочь им в самостоятельной работе и выполнении контрольных работ.
Работа студента-заочника над учебным материалом по математики состоит из следующих элементов: слушание лекций, участие в практических занятиях, участие в межсессионных индивидуальных занятиях, изучение материала по учебникам, решение задач, ответы на вопросы для самоконтроля, выполнение контрольных работ (1-5 в семестр), сдача зачетов и экзаменов.
Настоящий сборник содержит все задания для выполнения контрольных работ по высшей математике а также ставит цель помочь студенту-заочнику самостоятельно работать над учебным материалом по высшей математике, в нем перечислена литература, рекомендованная для самостоятельного изучения материала, содержится программа по всему курсу, методика изучения и решения типовых вариантов контрольных работ.
Контрольная работа №1
Линейная алгебра. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Введение в анализ. Производная.
Решение типового варианта.
Задача 1. Вычислить определитель.
Решение: Разложим определитель по первой строке.
Для вычисления определителя пятого порядка разложить его по элементам первой строки, получим два определителя четвертого порядка, которые вычисляются аналогично.
Задача 2. Найдите сумму , разность , произведения матриц и , если это возможно
Воспользоваться формулами
При сложении (вычитании) матриц соответствующие компоненты суммируются (вычитаются).
Задача 3. Даны векторы
Проверить, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе . Вычислить скалярное и векторное произведение векторов .
Решение: Поскольку смешанное произведение
то векторы образуют базис.
Вектор можно представить в виде .
Это равенство равносильно следующим равенствам:
т.к. равные векторы имеют равные координаты и координаты линейной координации векторов равны соответствующим линейным комбинациям одноименных координат.
Решив данную систему методом Гаусса, имеем
Итак, в данном базисе имеет координаты
Скалярное произведение:
Векторное произведение:
Задача 4.
Решить систему
а) методом Крамера
б) матричным методом
Решение:
а) Вычислим определители
По формулам Крамера, имеем
б) Найдем алгебраические дополнения
Обратная матрица
Находим
таким образом
Задача 5. Исследовать систему на совместность методом Гаусса, если система совместна – найти ее решение.
Решение: Составим расширенную матрицу системы:
Ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, поэтому на основании теоремы Кронекера-Капелли заключаем, что система совместна. Найдем ее решение.
Исходная система равносильна следующей:
Пусть - свободная переменная, а - базисные переменные, тогда
Полагая получаем
Итак, система имеет бесконечное множество решений:
Задача 6. Даны координаты вершин . Найдите
а) длину стороны АВ
б) уравнение высоты СD и ее длину
в) уравнение медианы АМ
г) точку пересечения высоты СD и медианы АМ
д) угол С в
А(3,4) В(8,10) С(5,-4)