УДК 548.12-071.1

А.В. Сабуть

Модели фуллерено-подобных структур. I. Сетки пенроуза

Статья является первой частью работы, посвященной описанию симметрии и разработке алгоритмов построения моделей фуллерено-подобных структур. Эти алгоритмы основываются на понятии ℤ-решеток, где – «золотое отношение».ℤ-решетки могут иметь элементы пента- и декагональной точечной симметрии в евклидовом пространстве с размерностью 2 и выше. В статье приводятся основные понятия и свойства для чисел из множества ℤ, которые будут применятся в дальнейших работах. Доказывается теорема о единственности двумерной ℤ-решетки , имеющей элемент симметрии 5-го и 10-го порядков. При доказательстве использовались некоторые сведения о представлении чисел квадратичными формами надℤ. Описывается алгоритм построения сеток Пенроуза как дискретных подструктур, содержащихся во всюду плотной решетке .

Группа точечной симметрии ℤ-решетки в n-мерном евклидовом пространстве ℝⁿ изоморфна группе (ℤ, G) целочисленных -матриц, удовлетворяющих равенству

,

где – матрица Грама базисных векторов решетки [1, с. 18-30]. Каждая матрица(ℤ, G) порождает конечную циклическую подгруппу, соответствующую некоторому элементу симметрии решетки. Структура этого элемента симметрии полностью определяется корнями характеристического многочлена , который можно представить в виде произведения многочленов деления круга [2-5]:

,

где – размерность евклидова пространства,– функция Эйлера [6, с.92-95]. Порядок элемента симметрии (порядок соответствующей циклической подгруппы в(ℤ, G) ) равен наименьшему общему кратному чисел .

Для элементов симметрии 5-го и 10-го порядков многочлены деления круга равны соответственно и. Эти многочлены имеют четвертую степень и не раскладываются в произведение целочисленных множителей меньших степеней [5, с. 202-204]. Поэтому,ℤ-решетки с элементами симметрии 5-го и 10-го порядков могут существовать только в евклидовых пространствах с размерностью 4 и выше. Однако многочлены иможно разложить на множители, коэффициенты которых – суть числа вида, гдеℤ, – «золотое отношение»:

, .

Значит, элементы симметрии 5-го и 10-го порядков можно получить в двух- и трехмерном евклидовых пространствах, если обобщить понятие решетки следующим образом: ℤ-решеткой назовем множество точек евклидова пространства ℝⁿ, кристаллографические координаты которых являются числами из множества ℤℤ, .

1. Некоторые сведения о множестве ℤ

Множество ℤ как алгебраическая структура является коммутативным кольцом с единицей относительно обычных операций сложения и умножения. -нормой числаℤ, где ℤ, назовем число ℤ. -сопряженным к числуℤ, где ℤ, назовем число ℤ. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что для произвольных ℤимеют место следующие свойства:

1). ; 2).; 3).; 4).; 5).; 6).тогда и только тогда, когда.

Методом математической индукции можно доказать формулу

,ℤ, (1)

где – это числа Фибоначчи [7], которые определяются рекуррентным соотношением

, ℤ, ,.

Здесь значения могут быть как положительные, так и отрицательные, так что ряд Фибоначчи [7] бесконечен в обе стороны:

.

Определим множество обратимых элементов кольца ℤ. Пусть , где ℤ, – произвольное ненулевое число из ℤ. Тогда . Отсюда следует, чтобудет принадлежать множествуℤ, если является общим делителем чисели. С другой стороны,делится на квадрат наибольшего общего делителя чисели. Поэтому, может быть только. Таким образом, для определения обратимых элементов кольцаℤ необходимо найти все целочисленные решения уравнения

. (2)

Нетрудно проверить, что если – какое-нибудь целочисленное решение этого уравнения, то оно порождает бесконечную серию целочисленных решений

,,ℤ, (3)

где – числа Фибоначчи. Отметим, что в качестве порождающего вместоможет выступать любое решение этой серии.

Пусть – произвольное решение из серии (3). Подставив его в уравнение (2), получим равенство

. (4)

Учитывая это равенство, рассмотрим следующие возможные случаи:

a). Если , то. Тогда предыдущее решение в серии (3),удовлетворяет неравенствами.

b). Если , то. Тогда предыдущее решение в серии (3),удовлетворяет неравенствами.

c).Если или, тои.Поэтому, этот случай исключен.

d). Если и, то, а такжеи, значит,. Тогда последующее решение в серии (3),удовлетворяет неравенствами.

e). Если и, то, а такжеи, значит,. Тогда последующее решение в серии (3),удовлетворяет неравенствами.

f). Если , то из (4) следует, что.

Рассмотренные случаи показывают, что уменьшая (случаи a и b) или увеличивая (случаи d и e) номер k, мы в пределах серии (3) последовательно можем придти к решению уравнения (2), которое удовлетворяет хотя бы одному из неравенств:или. Непосредственно убеждаемся, что такое условие выполнено только для 12-ти решений:,,,,,,,,,,,. Объединив серии, порождаемые этими решениями, мы получим все целочисленные решения уравнения (2):ℤ. Учитывая равенство (1), заключаем, что ℤ– множество всевозможных обратимых элементов кольцаℤ.

В кольце ℤ имеет место деление чисел с остатком, т.е. для двух произвольных чисел ℤ, , существуютℤ, такие, что , причем . Запишем дробь

,

где обозначено ,(здесьℤ). Так как , то. Числаиможем представить в видеи, гдеℤ, причем выполняется условие

,. (5)

Тогда . Обозначими. Ясно, чтоℤ, и

.

В области (5) функция ограничена:. Следовательно,, что и требовалось доказать.

Теперь для произвольных чисел ℤ, , можем записать алгоритм Евклида последовательного деления с остатком [5, с. 72-75]:

,, .....,,, (6)

причем – убывающая последовательность целых неотрицательных чисел. Эта последовательность не может быть бесконечной, поэтому, алгоритм Евклида обязательно закончится на каком-то-ом шаге. Из (6) следует, что– последний, отличный от нуля член последовательности, является общим делителем чисели. Кроме того,делится на любой общий делитель чисели. Общий делитель, обладающий таким свойством, назовем наибольшим общим делителем чисел из множестваℤ.

2. Представление чисел квадратичными формами над ℤ

Пусть квадратичная форма с матрицей, где– целочисленные матрицы. Обозначим черезматрицу, элементы которой являются-сопряженными соответствующим элементам матрицы, т.е.. Квадратичную формус матрицейназовем-сопряженной форме. Из свойств 1 и 2 предыдущего пункта следует:

1). ;

2). .

Пусть – произвольный столбец с элементами изℤ. Тогда ℤ, где ℤ. Если представить в виде, где– целочисленные столбцы, то можем записать:

, , где,.

Таким образом, вопрос о представлении числа ℤ -арнойквадратичной формой надℤ сводится к одновременному представлению целых чисел ицелочисленными-арными квадратичными формамиис матрицамиисоответственно. Рассмотрим следующие случаи для:

a). Формы и– положительно определенные. Тогдаи. Отсюда получаем

, (7a)

что возможно только в случае . Следовательно, квадратичная форма– положительно определенная.

b). Формы и– отрицательно определенные. Аналогично случаю a) доказываем, что– отрицательно определенная квадратичная форма.

c). Форма – положительно определенная, а– отрицательно определенная. Тогдаи. Отсюда получаем

, (7b)

что возможно только в случае . Следовательно, квадратичная форма– положительно определенная.

d). Форма – отрицательно определенная, а– положительно определенная. Аналогично случаюc) доказываем, что – отрицательно определенная квадратичная форма.

В заключение этого пункта отметим еще одно важное свойство:

3). Если , гдеℤ, то . Справедливость этого свойства можно установить непосредственной проверкой. Далее, методом математической индукции доказывается равенстводля каждогоℤ, где – числа Фибоначчи.

3. Двумерные ℤ-решетки с пентагональной симметрией

Для многочлена составим сопровождающую матрицу [8, с. 141-142]:

. (8)

В работе [9] установлено, что множество симметрических матриц , для которых выполняется равенство, определяется формулой:

,

где ,– корни многочлена;. Для того, чтобыбыла матрицей Грама некоторой системы базисных векторов пространстваℝ², необходимо и достаточно выполнения условия [9]. Обозначим, тогда

. (9)

Таким образом, с точностью до масштабного множителя существует единственная матрица Грама, для которой.

Пусть теперь – произвольная-матрица над кольцомℤс характеристическим многочленом . Тогда

, (10)

где ,– произвольные числа изℤ. Матрица Грама , для которой выполняется равенство, связана ссоотношением [9]:

.

Если – обратимый элемент кольцаℤ, то и– сопряженные элементы группы(ℤ). В этом случае матрицы Грама иопределяют одну и ту жеℤ-решетку [10]. Следующая теорема по существу доказывает единственность ℤ-решетки с элементом симметрии, соответствующим характеристическому многочлену .

Теорема. В группе (ℤ) существует единственный класс сопряженных матриц с характеристическим многочленом .

Доказательство. Пусть – произвольная-матрица над кольцомℤс характеристическим многочленом . Тогда элементы матрицыудовлетворяют равенствам:

, . (11)

Докажем, существование чисел ℤ, таких, что определитель матрицы

(12)

– суть обратимый элемент кольца ℤ. Определим бинарную квадратичную форму

.

Матрица этой формы равна

.

Учитывая равенства (11), находим

.

Из тех же равенств (11) следует, что

,

откуда получаем , т.е. числаи– имеют различный знак. Согласно критерию Сильвестра форма– определенная (положительно определенная, если,; или отрицательно определенная, если,) [8, с. 259-262]. Формас матрицейтакже будет определенной, так каки. Представимв виде, где– целочисленные матрицы, и определим квадратичные формыис матрицамии; здесь– столбец, элементы которого принимают целочисленные значения. Согласно свойству 3) предыдущего пункта имеем. Таким образом,иявляются четными целочисленными квадратичными формами, для которых выполняется один из четырех перечисленных в предыдущем пункте случаевa) – d). В соответствии с этими случаями получаем:

а). – положительно определенная тетранарная четная целочисленная форма с детерминантом 5. Существует единственный класс целочисленной эквивалентности таких форм [1, с. 445-507]. Формапринимает значениев 20-ти различных точках [1, с. 142-144]. Пусть– одна из этих точек. Тогда при,получаем. Из неравенства (7a) следует, что четное значение , которое принимает форма, может быть только 0 или 2. Следовательно,будет равным 2 или, а определитель матрицы (12) равен либо 1, либо. В обоих случаях,– обратимый элемент кольцаℤ.

b). – отрицательно определенная тетранарная четная целочисленная форма с детерминантом 5. Аналогично случаюa) устанавливаем, что существуют числа ℤ, для которых определитель матрицы (12) равен либо , либо. Здесь также получается, что– обратимый элемент кольцаℤ.

с). – положительно определенная тетранарная четная целочисленная форма с детерминантом 5. Поэтому, формапринимает значениев 20-ти различных точках [1, с. 142-144]. Пусть– одна из этих точек. Тогда при,получаем. Из неравенства (7b) следует, что четное значение , которое принимает форма, может быть толькоили 0. Следовательно,будет равнымили, а определитель матрицы (12) равен либо, либо. В обоих случаях,– обратимый элемент кольцаℤ.

d). – отрицательно определенная тетранарная четная целочисленная форма с детерминантом 5. Аналогично случаюc) устанавливаем, что существуют числа ℤ, для которых определитель матрицы (12) равен либо , либо. Здесь также получается, что– обратимый элемент кольцаℤ.

Таким образом, для произвольной матрицы (ℤ) с характеристическим многочленом существуют числаℤ, для которых определитель матрицы (12) является обратимым элементом кольца ℤ, т.е. (ℤ). Тогда равенство (10) показывает, что матрица сопряжена в группе(ℤ) с матрицей (8) . Теорема доказана. ■

Из доказанной теоремы следует, что существует единственная двумерная ℤ-решетка с элементом симметрии, соответствующим характеристическому многочлену . Эта решетка может быть задана матрицей Грама (9), где масштабный множитель. Для характеристических многочленов,иможно доказать аналогичную теорему и найти единственные двумерныеℤ-решетки с соответствующими элементами симметрии. Матрицы Грама этих решеток равны

,и. (13)

Однако имеем

;

;

.

Определители матриц ,,– обратимые элементы кольцаℤ. Поэтому, матрицы Грама (13) задают одну и ту же решетку, что и матрица (9) [10].

Таким образом, в двумерном евклидовом пространстве существует единственная ℤ-решетка, имеющая элемент симметрии 5-го (или 10-го) порядка. Условно обозначим эту решетку символом .