1 (1)
.docx11. дифференциалые уравнения высших порядков .начальные условия.
F (x; y; y’;…; y(n)) – дифференциальное уравнение n – порядка или y(n) = f(x; y; y’; …; y(n-1)) Общим решением этого уравнения является: y = j(x; c1; c2;…; cn)Для дифференциального уравнения n – порядка имеет место теорема Коши о существовании и единственности частного решения уравнения при данных n – начальных условиях. Например для дифференциального уравнения второго порядка. Теорема Коши: y``=f(x,y,y`)начальные условия: x=y()=y0, y`(x0)=y`0. Если f(x,y,y`)непрерывна в точке (x0,y0,y`0)и в этой точке непрерывна частная производная f`y`, то существует, причём единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям .y*= φ (x,C*1,C*2)
12.теорема существования и единствености решения дифференциалые уравнения высших порядков .
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Задачей Коши для ДУ n -го порядка называется задача отыскания его частного решения у = у(х), которое удовлетворяет начальным условиям:y(x0)=y0;y`(x0)=y`0;y``(x0)=y``0;…;y(n-1)0(x0)=y(n-1), где x0, y`0.y``0….. y(n-10 заданные числаТаким образом, решение задачи Коши для ДУ n -го порядка сводится к нахождению интегральной кривой, проходящей через точку M0(x0, y0,y`0.y``0….. y(n-10 ) из области определения (D ) функции f(x,y,y`0,y``,..,y(n-1))
Теорема. Задача Коши для ДУ n -го порядка имеет единственное решение, если:
-
f(x,y,y`0,y``,..,y(n-1)) непрерывна в области D ;
, ,,…, непрерывны в области D .
В этом случае решение ДУ n -го порядка проходит через заданную точку M0(x0, y0,y`0.y``0….. y(n-10 )
13. методы понижения порядка уравнения
1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.Рассмотрим уравнения вида F(x,y(k),y(k-1),…,y(n))=0 (1≤k≤n).С помощью замены y(k)=u(x), где u - новая неизвестная функция, уравнение приводится к уравнению (n-k) -го порядка:F(x,u,u`,…,u(n-k))=0
2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Рассмотрим уравнения вида F(y,y`,..,y(n))=0 С помощью замены y`=p,(где p=p(y) - новая искомая функция независимая переменная) порядок уравнения понижается на единицу, так как
Y``===pp`
y```===(p``p+p`2)p
Данная подстановка дает уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции p:F1(y,p,p`,..,p(n-1))=0 При осуществлении такой замены возможна потеря решения y=const. Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения решений такого вида.
14. понятие первого интеграла. Задача каши. нормальные системы дифференциальных уравнений
Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям .Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t=0, а решение отыскивается при t>0.От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:
-
Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?
-
Если решение существует, то какова область его существования?
-
Является ли решение единственным?
-
Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?
Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y=f(t)и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0)имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y=f(t). Точка (x0,y0)задаёт начальные условия.
15 Линейные однородные с частными. ур-ие ( - данные функции аргументов , определены в , - искомая функция) – линейное однородное с частными. Решением будет дифференцируемая по , которая при подстановке в исходное превращает его в тождество. Геометрически решение: поверхность в пр-ве переменных x, u (интегральная п-ть). Систему обычных диффуров, соответствующую ур-ию (1) (2) - называют системой в симметричной форме. (2) в силу условий, наложенных на коэффициенты (1), можно записать в нормальной форме (3). Рассм. в области единственности общее решение этой системы: если удаётся разрешить эти ур-ия отн-но . Получим (4) – каждое из этих ур-ий называется первым интегралом системы (3), а каждая из функций - интегралом этой же системы. Интегральные кривые системы ур-ий (2) или (3) называют х-ми ур-ия с частными производными (1). Связь между решениями ур-ия (1) и интегралами соответствующей системы обычных диффуров (3) или (2): Т1. Если - интеграл системы (2) или (3), то - решение (1). Т2. Если - решение (1), то - интеграл (3). Т3. Общим решением (1), т.е. решением, которое вмещает все без исключения решения этого ур-ия, является - произвольная дифференцируемая функция. Задачей Коши для (1) наз-ся задача о нахождении решения , этого ур-ия, которое удовлетворяет условию , где - гладкая гиперповерхность, а - начальное условие. Построение решения (1) с нач. условием : 1. находим базис первых интегралов системы в симметричной форме (2), соответствующей исходному (1). 2. Составляем систему функциональных ур-ий которую разрешаем относительно : 3. строим функцию 4. Выписываем искомое решение по формуле и если возможно проводим аналитическое упрощение.
.
.