62 Глава 4. КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Из определения следует, что для такой функции никакое подмножество m переменных не обладает особенностями, позволяющими сузить множество их возможных значений, исходя из распределения c(m,a, I ).

Оказывается, что	функция	f (x1,K, xn )	является корреляционно
иммунной порядка m тогда и только тогда, когда			ее коэффициенты Уолша-
Адамара удовлетворяют	условию	a GF n : 1	≤ wt(a)≤ m, W	f	(a)= 0 .
		2

Следовательно, свойство корреляционной иммунности инвариантно при аффинных преобразованиях координат.

Для построения булевых функций, удовлетворяющих тем или иным

критериям нелинейности, существуют различные методы.

Например, в

[37]

показано,

что

если

функции

f1(x1, x2 ,Kxn ) и

f2 (x1, x2 ,Kxn )

-

корреляционно

иммунные

порядка

k,

то

функция

f (u, x1, x2 ,Kxn )= (u 1)f1(x1, x2 ,Kxn ) uf2 (x1, x2 ,Kxn )

от

n +1

переменной также корреляционно иммунная порядка k.

В качестве другого примера можно привести функцию g от

n = 2k +1

переменных вида

g(x1, x2 ,Kx2k +1 )= x1 f (x1 x2 ,K, x1 x2k +1 ),

где f (x)

- максимально нелинейная функция от n переменных [11].

Заданная таким образом функция g удовлетворяет критерию

распространения PC(2k ) и обладает высокой нелинейностью: Ng

≥ 22k −2k .

В качестве обобщения корреляционно иммунных функций можно указать

т.н. устойчивые булевы отображения.

4.3. Устойчивые булевы отображения

Отображение

f: GFn →GF k ,

f =

(f , f

2

,K f

k

), называется

(n,k,d )-

2

2

1

устойчивым, если для любых наборов I ={i1,i2 ,K,id }, 1≤ i1 < i2 <K< id ≤ n ,

Nh ≥ 2n−k Ng .

h = gf

Устойчивые булевы отображения 63

a = (a ,a	,Ka	) GF d производное отображение	f a: GF n−d →GF k			вида
1 2	d	2	I	2	2

fIa (x)= (f1aI (x),K, fkIa (x))является равновероятным.

Устойчивое отображение f = (f1, f2 ,K fk ) называется линейным, если линейны все его функции-компоненты.

Согласно определению равновероятности булевого отображения, область значений вектор-функции fIa (x) совпадает с GF2k и мощности прообразов элементов из GF2k одинаковы. Поскольку мощность области определения fIa (x) равна 2n−d , то мощность каждого прообраза равна 2n−d −k ,

следовательно, необходимо n −k ≥ d .

Можно показать, что отображение

f: GFn →GF k ,

f =

(f

, f

2

,K f

k

),

2

2

1

1≤ k ≤ n является (n,k,d )-устойчивым тогда

и только

тогда,

когда

для

любого набора b = (b ,b ,Kb ) GF k

функция

ϕ = b f b f

2

K b

f

k

1 2

k

2

1 1

2

k

является (n,1,d )-устойчивой, т.е. равновероятной, корреляционно иммунной функцией порядка d.

Для построения устойчивых отображений существует ряд подходов, позволяющих строить их, например, из устойчивых отображений меньшей размерности [38, 39].

Кроме того, практическое значение имеет подход, позволяющий строить устойчивые отображения из линейных устойчивых отображений, основанный на следующем утверждении [40].

Пусть f: GF2n →GF2k является (n,k,d )-устойчивым, а g: GF2k →GF2k -

отображение, осуществляющее перестановку своих агрументов, то отображение также (n,k,d )-устойчиво. Кроме того, нелинейность h

удовлетворяет условию

Приведем примеры (n,k,d )-устойчивых линейных отображений [11].

64 Глава 4. КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

1. k = n −1, d =1, f = (f1, f2 ,K fn−1 ), fi (x)= xi xi+1 , i =1,K, n −1. 2. n =3h, k = 2, d = 2h −1,

f=(f1, f2 ), f1(x)= x1 K x2h , f2 (x)= x2h+1 K x3h .

Взаключение, отметим значение инвариантности ряда свойств булевых

функций относительно множества G аффинных преобразований координат

x = g(x′).

Поскольку эти преобразования образуют группу, то на множестве булевых функций можно ввести т.н. отношение G-эквивалентности.

Функции f (x) и h(x) эквивалентны, если одна из другой получается аффинным преобразованием координат: g G : h(x′)= f (g(x′)).

При этом булевы функции разбиваются на непересекающиеся классы, каждый из которых содержит все функции, эквивалентные некоторой одной функции, называемой образующей класса эквивалентности.

Любые свойства образующей класса эквивалентности, инвариантные относительно аффинных преобразований координат, переносятся на любую функцию из этого класса. Поэтому при изучении совокупности функций ряд параметров можно получить, рассматривая лишь образующие классов.

Для примера рассмотрим множество B равновероятных булевых функций от четырех переменных.

Это множество разбивается на четыре класса эквивалентности [12] с образующими:

f (1)(x)= x1 , f (2)(x)= x1 x2 x3 , f (3)(x)= x1 x2 x3 x4 ,

f (4)(x)= x1 x2 x3 x1 x4 x2 .

Устойчивые булевы отображения 65

Табличный вид образующих представлен в следующей таблице.

Таблица 2. Образующие классов аффинной эквивалентности функций

x1	x2	x3	x4	f (1)	f (2)	f (3)	f (4)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	0	1	0
0	0	1	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	1	1	0
0	1	0	0	0	0	0	1
0	1	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	0	1
0	1	1	1	0	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0	0
1	0	0	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	0	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	0	1
1	1	0	1	1	1	1	0
1	1	1	0	1	0	1	0
1	1	1	1	1	0	0	1

Покажем, что для каждой функции f B существует аффинный статистический аналог, совпадающий с f c вероятностью не менее 3/4.

Значения преобразования вида (−1)a,x линейных функций la = a, x , для a =1,2,4,8 , представлены ниже (тетрады аргументов и коэффициентов функции

записаны в виде шестнадцатиричных чисел).

Таблица 3. Последовательности значений функций (−1)a,x , a =1,2,4,8 .

a	Значения аргумента x = 0,1,K, E, F
1=0001	+1,-1,+1,-1,+1,-1,+1,-1,+1,-1,+1,-1,+1,-1,+1,-1
2=0010	+1,+1,-1,-1,+1,+1,-1,-1,+1,+1,-1,-1,+1,+1,-1,-1
4=0100	+1,+1,+1,+1,-1,-1,-1,-1,+1,+1,+1,+1,-1,-1,-1,-1
8=1000	+1,+1,+1,+1, +1,+1,+1,+1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1

При вычислении статистической структуры получаем большие коэффициенты: Wf (1) (8)=16 , Wf (2 ) (2)=8 , Wf (3) (1)=12 , Wf (4 ) (4)=8 .

66 Глава 4. КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Следовательно, исходя из минимального значения Wf (a)=8, вероятность совпадения значений любой образующей со значениями соответствующей аффинной функции не ниже n+ 16 =3 4 . Значит, тем же свойством обладают все функции f B .

Рассмотренные примеры понадобятся нам при рассмотрении подхода к построению долговременных ключей алгоритма ГОСТ 28147-89.