Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta
.pdfТ.1 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ
I. Знайдіть інтеграли, використовуючи метод безпосереднього інте-
грування
1. ∫(2x3 + 1x − 1)dx .
Розв’язання.
|
∫(2x3 + |
1 |
− 1)dx = 2∫ x3dx + ∫ |
1 |
dx − ∫ dx = |
|||||
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
= 2( |
x3+1 |
+C ) +ln | x | +C |
−x +C = |
x4 |
+ln | x | −x +C. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
3+1 |
1 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
При кожному інтегруванні виникають проміжні довільні сталі: C1, C2 , C3 , але тоді 2C1 + C2 + C3 = C — також є довільною сталою. Тому надалі стала C означатиме суму всіх проміжних сталих.
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫ |
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Розв’язання. Нагадаємо формули m x n |
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= x m , |
|
= x |
m . Тоді |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m x n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∫ |
− |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx − |
x dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
2 |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x− |
2 |
+1 |
|
|
|
|
x− |
3 |
+1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ C = 33 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C = 3x 3 |
+ |
2x |
2 |
|
x + |
|
+ C . |
|||||||||||||
|
|
|
− |
2 / 3 + |
1 |
|
− 3 / 2 + |
1 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ∫3x e x dx .
Розв’язання. Оскільки a x b x |
= (ab) x , то |
|
|
|||||
|
|
|
∫3x e x dx = ∫(3e) x dx = |
(3e) x |
+ C . |
|||
|
|
|
ln(3e) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. а) ∫ |
|
dx |
; б) ∫ |
|
dx |
. |
|
|
|
+ 2x2 |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
9 |
− 4x 2 |
|
|
81
Розв’язання:
а) ∫ |
|
|
dx |
|
|
= 1 |
|
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
ln | x + 1+ x2 | +C ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ 2x2 |
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б) |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
= |
1 |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
1 |
arcsin |
+ C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 − 4x 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
9 / 4 − x 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 + cos 2x |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Розв’язання. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
tg x |
+ C . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 + cos 2x |
|
|
|
2 |
cos |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
− 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розв’язання. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ln |
|
x − |
5 |
|
+ C . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
− 5 |
|
x |
2 |
|
− ( 5) |
2 |
|
|
|
2 5 |
|
|
x + |
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin |
2 |
x cos |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Розв’язання. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
(sin 2 x + cos2 x)dx |
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
2 |
|
x cos |
2 |
x |
|
|
|
|
sin |
2 |
|
x cos |
2 |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
dx |
|
|
|
+ |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= tg x − ctg x + C . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8. |
∫ |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розв’язання. ∫ |
|
x3 + 1 |
dx = ∫ |
(x + 1)(x 2 − x + 1) |
dx = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ (x 2 − x + 1)dx = |
|
|
x3 |
− |
x 2 |
+ x + C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
9. ∫ cos 2 2x dx .
Розв’язання. |
∫ cos2 |
x |
dx = |
1 |
∫ (1+ cos x)dx = |
|
1 |
(x + sin x) + C . |
|||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
4 x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. ∫ |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розв’язання. |
|
|
(2 x − 2)(2 x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
4 x − 4 |
dx = ∫ |
|
dx = |
∫ (2 |
x |
− 2)dx = |
2 x |
− 2x + C . |
||||||||||||
2 |
x |
+ 2 |
|
2 |
x |
+ 2 |
|
|
ln 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82
11. |
∫ |
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1+ 9x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Розв’язання. |
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
= |
|
1 |
|
∫ |
|
|
= |
1 |
∫ |
|
|
= |
1 |
arctg 3x + C . |
|||||||
1 |
+ 9x |
2 |
9 |
|
1/ 9 |
+ x |
2 |
9 |
(1/ 3) |
2 |
+ x |
2 |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12. |
∫ |
x 2 dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Підінтегральний вираз є неправильним дробом, тому потрібно виділити цілу частину дробу. Маємо
|
x 2 dx |
|
|
(x 2 + 1) − 1 |
dx = |
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
dx = |
|
∫ |
x 2 |
+ 1 |
∫ x 2 + 1 |
∫ |
x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ dx − ∫ |
|
|
dx |
= x − arctg x + C . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
У прикладах 13—16 використовуємо формулу (2.1). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13. |
∫ |
dx |
|
|
= |
|
1 |
ln | 5x + 3 | +C. |
|
|
|
|
14. ∫ cos 3xdx = |
1 |
sin 3x + C . |
||||||||||||||
5x + |
3 |
5 |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. |
∫ (2x − 1) |
5 dx = |
1 |
|
(2x − 1)6 |
|
+ C = |
|
(2x − 1)6 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16. |
∫ |
xdx |
|
= |
|
∫ |
(x + 2) − 2 |
dx = |
|
∫ dx − |
2∫ |
dx |
|
= x −2 ln |
|
x +2 |
|
+C . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x + 2 |
|
|
|
x + 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ. Знайдіть інтеграли, використовуючи метод заміни змінної або внесення функції під знак диференціала
17. ∫ x 2 − xdx .
Розв’язання. Виконаємо підстановку 2 − x = t . Тоді
2 − x = t 2 , |
x = 2 − t 2 , |
dx = −2tdt , |
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ x 2 − xdx = ∫ (2 − t2 ) t (−2t) dt = 2∫ (t4 − 2t2 ) dt = |
2 |
t5 |
− |
4 |
t3 |
+ C. |
|||||
5 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Після повернення до змінної x одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ x 2 − xdx = 2 |
(2 − x)5 − |
4 |
(2 − x)3 |
+ C . |
|
|
|
|
|||
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
83
18. ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
− e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розв’язання. Зробимо заміну 1− e x |
= t . Тут зручно знайти не dx , а dt : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt = −e x dx |
і, оскільки − e x = t − 1, то dt = (t − 1)dx , або dx = |
dt |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Далі маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t − 1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
t − (t − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
d(t − 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dx |
|
= |
|
|
dt |
|
= |
|
dt = |
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
− |
|
dt |
= |
|||||||||||||||||
∫ 1− ex |
|
|
∫ t |
(t − 1) |
|
|
∫ |
t(t − 1) |
∫ t − 1 |
|
|
t |
|
∫ |
|
t − 1 |
|
|
|
∫ |
t |
||||||||||||||||||||||
|
= ln | t − 1| − ln | t | +C = ln ex − ln |
|
1− ex |
|
+ C = x − ln |
|
1− e x |
|
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. ∫ |
|
|
4 − x 2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язання. Застосуємо заміну x = 2 sin t , |
|
dx = 2 cos tdt . При цьому |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − x 2 |
= |
4 − 4 sin 2 t = 2 |
1− sin 2 t = 2 cos t . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
4 − x 2 dx = ∫ 2 cos t 2 cos tdt = 4∫ cos 2 tdt = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2∫ (1+ cos 2t) dt = 2t + sin 2t + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Перейдемо до змінної x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t = |
x |
, t = arcsin |
x |
, |
|
sin 2t = 2 sin t cos t = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= 2 sin t |
|
1− sin 2 t = 2 x |
|
1− x 2 |
|
= x |
4 − x 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ 4 − x 2 dx = 2 arcsin |
|
x |
+ |
x |
|
4 − x 2 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вміючи достатньо диференціювати і знаючи таблиці інтегралів, змінну t у формулі (2.2) можна не вводити, а зразу вносити відповідну функцію під знак диференціала. При цьому часто використовують такі перетворення диференціала:
dx = d (x + b) , b — стала, |
|
|
dx = 1 d(ax + b) , а, b — сталі, |
||
a |
dx |
|
xdx = 1 d (x2 ) , |
= d (ln x) , |
|
2 |
x |
|
84
|
|
|
|
cos xdx = d (sin x) , |
|
sin xdx = −d (cos x) , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= d (tg x) , |
|
|
dx |
|
|
= −d (ctg x) . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
|
sin2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
20. ∫ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 + x 2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Розв’язання. Оскільки xdx = |
1 |
|
|
d(1 + x2 ) , запишемо інтеграл так: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∫ x 1 + x2 dx = 1 ∫ 1 + x2 d(1 + x 2 ) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Враховуючи табличний інтеграл ∫u |
|
dx = |
2 |
u |
|
|
|
+ C , дістанемо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∫ x 1 + x 2 dx = |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫(1 + x2 ) |
|
d (1 + x2 ) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
(1 + x2 ) |
2 |
|
+ C = |
(1 + x2 ) |
2 |
|
+ C . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. ∫ x3e− x4 dx . |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язання. Знайдемо диференціал |
d(− x4 ) = −4x3dx , звідси дістаємо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3dx = − |
|
1 |
d (− x 4 ) , тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− x4 d(− x 4 ) = − |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ x3e− x4 dx = − |
|
|
|
|
|
e− x4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ e |
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
22. ∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
1 − ln 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
Розв’язання. Враховуючи співвідношення d(ln x) = |
dx , подамо інтег- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рал у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
d ln x . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
= |
∫ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
− ln 2 x |
|
|
1 − ln 2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Дістали табличний інтеграл ∫ |
|
|
|
du |
|
= arcsin u + C . Отже, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx
∫ x 1− ln2 x = arcsin(ln x) + C .
85
23. ∫ arctg x dx .
1+ x2
Розв’язання. |
∫ |
arctg x |
dx = ∫ arctg xd (arctg x) = |
arctg2 x |
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
24. ∫ |
|
|
e x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 − e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розв’язання. Знайдемо d(1 − e x ) = −e x dx , тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
e x |
|
dx = −∫ |
|
d (1 − e x ) |
|
= − ln |
|
1 − e |
x |
|
|
+ C . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
− e |
x |
|
|
1 − e |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
25. ∫ ctg xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Розв’язання. Оскільки ctg x = |
cos x |
|
і d sin x = cos xdx , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ctg xdx = ∫ |
cos x |
dx = ∫ |
d(sin x) |
|
= ln | sin x | |
+C . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
26. ∫ |
|
|
2xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Розв’язання. Знайдемо диференціал d(4 + x 2 ) = 2xdx , тоді |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
2xdx |
= ∫ |
d(4 + x 2 ) |
= |
ln(4 + x |
2 |
) + C . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + x |
2 |
|
|
4 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
27. ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x (1− |
x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язання. Враховуючи рівність d( |
x ) = |
1 |
|
|
dx , дістанемо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
= 2∫ |
d x = − 2∫ d ( x − 1) = − 2 ln x − 1 + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x (1− |
|
|
x ) |
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
28.∫ sin xdx .
cos x
Розв’язання. ∫ sin xdx = −∫ d cos x = −2 cos x + C . |
|
cos x |
cos x |
86
29. ∫sin 2x cos 4 xdx .
Розв’язання. Оскільки sin 2x = 2 sin x cos x і sin xdx = −d (cos x) , то
|
∫sin 2x cos 4 xdx = ∫ 2 sin x cos5 xdx = − 2∫ cos5 xd (cos x) = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= −2 |
cos6 x |
|
+ C = − |
cos6 x |
+ C . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
30. ∫ |
x3 dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розв’язання. Внесемо x3 |
під знак диференціала, тоді |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
x3 dx |
= |
1 |
∫ |
|
|
dx 4 |
= |
1 |
∫ |
|
|
|
|
dx 4 |
|
|
|
|
= |
1 |
arctg |
x4 |
+ C . |
|||||
|
8 |
|
|
|
8 |
4 |
2 |
2 |
|
+ (x |
4 |
) |
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
4 + x |
4 |
|
|
4 + x |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||
31. ∫ |
x 2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1− x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розв’язання. ∫ |
x 2 dx |
= |
1 |
∫ |
|
d(x3 ) |
|
|
= |
1 arcsin(x3 ) + C . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1− x |
6 |
|
|
3 |
|
1− (x |
3 |
) |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 − x + x2
32.dx .
(1 + x 2 )3
Розв’язання. Виконаємо перетворення
∫ |
1 − x + x2 |
dx = ∫ (1 + x 2 ) − x dx = ∫ |
1 + x 2 |
|
|
dx − |
|||||||||||||||||
|
|
(1 + x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
(1 + x2 )3 |
|
|
(1 + x 2 )3 |
|
||||||||||
− ∫ |
|
x |
2 |
|
3 |
|
dx = ∫ |
1 |
|
dx − |
1 ∫ |
d (x 2 + 1) = |
|||||||||||
|
|
|
|
(1+ x |
) |
|
|
|
|
1 + x |
2 |
|
2 |
(1+ x |
2 |
) |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= ln x + 1 + x 2 − |
1 |
∫(1 + x2 )− |
3 |
d(1 + x2 ) = ln x + 1 + x2 − |
|||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 (1 + x 2 )− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
− |
2 |
|
+ C = ln x + |
1 + x |
2 |
+ |
1 |
|
|
+ C . |
||||||||||||
|
2 |
|
− 1/ 2 |
|
|
|
|
|
1 + x |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
33. ∫ x + (arcsin 2x)3 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 − 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87
Розв’язання. Маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ x + (arcsin 2x)3 |
dx = ∫ |
|
|
x |
dx + ∫ (arcsin 2x)3 |
dx = |
|||||
1 − 4x2 |
|
|
|
1 − 4x2 |
1 − 4x2 |
|
|||||
= − 1 |
∫ d(1 − 4x2 ) dx + |
|
1 |
∫(arcsin 2x)3 d arcsin 2x = |
|||||||
2 |
|||||||||||
8 |
1 |
− 4x |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= − |
1 |
1 − 4x 2 |
+ |
1 |
(arcsin 2x)4 + C . |
|
||||
|
4 |
8 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ. Знайдіть інтеграли, використовуючи метод інтегрування час-
тинами
34. ∫ x ln(x + 1)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Розв’язання. Відзначимо, що (ln(x + 1))′ = |
|
1 |
|
|
|
— раціональний дріб. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Цей факт є вирішальним для подальших дій. |
Покладемо u = ln(x + 1) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dv = xdx , тоді |
du = |
|
|
dx |
|
, |
|
v = |
x 2 |
. Після застосування формули інтегру- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + |
1 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вання частинами дістанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∫ x ln(x + 1)dx = |
x 2 |
|
ln(x + 1) − |
1 |
|
∫ |
x 2 |
|
|
dx = |
x 2 |
|
ln(x + 1) − |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
− |
1 |
∫ |
x 2 − 1 + 1 |
|
dx = |
x 2 |
ln(x + 1) − |
|
1 |
∫(x − 1)dx − |
1 |
∫ |
1 |
|
|
dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
x + |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
x 2 |
|
ln(x + 1) − |
|
1 |
(x |
− 1) |
2 |
− |
1 |
ln |
|
x + 1 |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
35. ∫ arcsin xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язання. Покладемо u = arcsin x , dv = dx , тоді du = |
1 |
|
|
dx , v = x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Після цього дістанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ arcsin xdx = x arcsin x − ∫ |
|
|
|
|
x |
|
dx = x arcsin x + |
|
1 ∫ d(1 − x 2 ) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 − x |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x arcsin x + |
|
1 − x2 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
88
36. ∫ xe2x dx .
Розв’язання. Маємо:
|
u = x , dv = e2x dx , du = dx , v = |
1 |
e2x , |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
||
∫ xe |
2x dx = x |
e2x − |
∫ e2x dx = |
xe2x − |
e2x + C . |
||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|||||||
Зауваження 1. Іноді формулу інтегрування частинами доводиться |
|||||||||||||
застосовувати кілька разів. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
37. ∫(x 2 − 2x + 5)e− x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розв’язання. |
Покладемо |
u = x2 − 2x + 5, |
dv = e− x dx, тоді v = −e− x , |
||||||||||
du = (2x − 2)dx, |
після чого дістанемо |
|
|
|
|
|
|
∫(x 2 − 2x + 5)e− x dx = −(x 2 − 2x + 5)e− x + 2∫(x − 1)e− x dx .
Останній інтеграл знову інтегруємо частинами:
u = x − 1 , dv = e− x dx , du = dx , v = −e− x ,
∫ (x − 1)e− x dx = −(x − 1)e− x + ∫ e− x dx = −(x − 1)e− x − e− x + C1 == − xe− x + C1.
Отже,
∫ (x2 − 2x + 5)e− x dx = −(x2 − 2x + 5)e− x − 2xe− x + C = −(x2 + 5)e− x + C .
Зауваження 2. Якщо P(x) — многочлен, то
∫ P(x)eαx dx = Q(x)eαx + C ,
де Q(x) — многочлен того самого степеня, що й P(x) . Ця обстави-
на дає можливість застосовувати для знаходження інтегралів указа-
ного типу метод невизначених коефіцієнтів, суть якого стане зрозу-
мілою з наступного прикладу.
38. ∫(x3 + 18)e2x dx .
Розв’язання. ∫(x3 + 18)e2x dx = (Ax3 + Bx 2 + Cx + D)e2x + C1 ,
де A, B, C, D — невідомі коефіцієнти.
89
Продиференціюємо обидві частини рівності за змінною х:
(x3 + 18)e2x = (3Ax2 + 2Bx + C)e2x + 2(Ax3 + Bx2 + Cx + D)e2x ,
тоді
x3 + 18 = (3Ax2 + 2Bx + C) + 2(Ax3 + Bx2 + Cx + D) , x3 + 18 = 2Ax3 + (3A + 2B)x 2 + (2B + 2C)x + C + 2D ,
звідси, прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х, дістанемо систему рівнянь
1 = 2A, 0 = 3A + 2B, 0 = 2B + 2C, 18 = C + 2D,
її розв’язок A = 12 , B = − 34 , C = 34 , D = 698 .
Отже,
∫(x3 + 18)e2x dx = ( 12 x3 − 34 x 2 + 34 x + 698 )e2x + C1 .
Зауваження 3. При знаходженні деяких інтегралів після двократного застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла.
39. ∫cos ln xdx .
Розв’язання. Покладемо u = cos ln x , dv = dx . Тоді
du = − sin ln x dxx , v = x , ∫cos ln xdx = x cos ln x + ∫sin ln xdx .
Останній інтеграл знову інтегруємо частинами:
u = sin ln x , dv = dx , du = cos ln x dxx , v = x , ∫sin ln xdx = x sin ln x − ∫cos ln xdx .
Остаточно дістаємо
∫cos ln xdx = x cos ln x + x sin ln x − ∫cos ln xdx ,
тобто
∫cos ln xdx = 2x (cos ln x + sin ln x) + C .
90