Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta
.pdfПідставимо y* , y′* і |
y′′* |
у вихідне рівняння: |
|
||||||||
|
|
e x (2B + 2(B |
0 |
+ 2B x) + (B |
0 |
x + B x2 )) − |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
||
− 7e x (B |
0 |
+ 2B x + (B |
0 |
x + B x |
2 )) + 6(B |
0 |
x + B x2 )e x |
= (x − 2)e x . |
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
Після скорочень дістанемо рівняння:
−10B1x + 2B1 − 5B0 = x − 2.
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x :
x1 : −10B1 = 1, |
звідси B1 |
= − |
1 |
, |
B0 |
= |
9 |
. |
|||||||||||
|
|
|
2B |
− 5B = −2, |
|
|
|
||||||||||||
x |
0 |
: |
10 |
25 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Загальний розв’язок вихідного рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = C1ex + C2e6x + |
x − |
|
|
ex . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. Розв’яжіть задачу Коші |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y′′ − 5y′ + 6y = 13sin 3x, |
y(0) = 1, |
|
y′(0) = 0 . |
|
||||||||||||
Розв’язання. |
Характеристичне |
рівняння |
|
k 2 − 5k + 6 = 0 має корені |
k1 = 2, k2 = 3 . Тоді e2x , e3x — фундаментальна система. |
||
Загальний розв’язок однорідного рівняння y′′ − 5y′ + 6y = 0 такий: |
||
y = C e2x + C |
2 |
e3x . |
1 |
|
|
Праву частину даного рівняння можна записати у вигляді |
||
13sin 3x = e0 x (0 cos 3x + 13sin 3x), |
||
тобто контрольне число правої частини |
z = 0 +3i = 3i, крім того, для да- |
|
ного випадку у формулі (3.29) Pn (x) = 0, |
Qm (x) =13. Оскільки z = 3i не є |
коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукаємо у вигляді
|
y* = A cos 3x + B |
0 |
sin 3x . |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Знаходимо похідні: |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′* = −3A |
sin 3x + 3B |
0 |
cos 3x, |
y′′* = −9A cos 3x − 9B |
0 |
sin 3x. |
||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
251
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Підставивши значення y* , y′* і y′′* у вихідне рівняння, дістанемо після належних перетворень співвідношення
−3(A0 + 5B0 ) cos 3x + 3(5A0 − B0 ) sin 3x = 13sin 3x.
Прирівняємо коефіцієнти при sin 3x |
і cos 3x : |
|
|
|
||||||||
−3(A0 |
+ 5B0 ) = 0 |
A0 = |
5 |
, B0 |
= − |
1 |
. |
|||||
|
− B0 ) = 13 |
|
|
|||||||||
6 |
6 |
|||||||||||
3(5A0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Отже, |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y* = |
cos 3x − |
sin 3x — |
|
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
|
||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Загальний розв’язок даного рівняння запишеться так:
y = y + y* = C1e2x + C2e3x + 16 (5 cos 3x − sin 3x).
Переходимо до конкретизації сталих C1 і C2 . Умова y(0) =1 набуває вигляду
|
1 = C |
+C |
2 |
+ |
5 |
. |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
6 |
|
||||
Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
y |
′ = 2C e2x + |
3C |
e3x − |
(5sin 3x +cos 3x), |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то умова y ′(0) = 0 |
рівносильна рівнянню 0 = 2C1 +3C2 −0,5. |
|||||||||||
Розв’язавши лінійну систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C1 |
+ |
6 |
=1, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
−0,5 = 0, |
|||||||
|
2C +3C |
|||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
дістанемо C1 = 0, C2 = 16 .
Таким чином, розв’язок задачі Коші має вигляд:
y= 16 e3x + 16 (5cos 3x − sin 3x).
13.Запишіть загальний вигляд частинного розв’язку рівняння
y′′ − 4 y′ + 20y = xe2x sin 4x.
252
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Розв’язання. Характеристичне рівняння k2 − 4k + 20 = 0 має пару ком- плексно-спряжених коренів k1,2 = 2 ± 4i . Контрольне число правої части-
ни — значення z = 2 + 4i (α = 2, β = 4), яке збігається з коренем характе-
ристичного рівняння. Тому |
r = 1 |
і частинний |
розв’язок слід шукати у |
вигляді |
|
|
|
y* = xe2x ((A x + B ) cos 4x + (A x + B )sin 4x). |
|||
1 |
1 |
2 |
2 |
14. Запишіть загальний вигляд частинного розв’язку рівняння
y′′ − 2y′ + 5y = e x cos 2x + sin 2x + x .
Розв’язання. Характеристичне рівняння k2 −2k +5 = 0 має пару ком- плексно-спряжених коренів k1,2 =1± 2i . Частинний розв’язок даного рівнян-
ня шукають у вигляді y* = y* + y* |
+ y* , де y* |
|
= xex (A cos 2x + B sin 2x) — |
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
частинний розв’язок рівняння |
y′′ − 2 y′ + 5y = ex cos 2x (контрольне число |
|||||||||
z =1+2i |
є коренем характеристичного рівняння), y2* = C cos 2x + D sin 2x — |
|||||||||
частинний розв’язок рівняння |
y′′ − 2y′ + 5y = sin 2x (контрольне число |
|||||||||
z = 2i не є коренем характеристичного рівняння), y3* = Mx + N |
— частин- |
|||||||||
ний розв’язок рівняння y′′ − 2y′ + 5y = x |
(контрольне число z = 0 не є ко- |
|||||||||
ренем характеристичного рівняння), де A, B, C, D, M , N — невідомі сталі. |
||||||||||
12. Знайдіть загальний розв’язок рівняння |
|
|
|
|||||||
|
|
y′′ + 5y′ + 6 y = |
|
|
1 |
|
. |
|
||
|
|
1+ e2x |
|
|||||||
Розв’язання. Характеристичне рівняння |
k 2 + 5k + 6 = 0 |
має корені |
||||||||
k1 = −2 |
і |
k2 = −3 . Отже, загальний |
розв’язок однорідного рівняння |
|||||||
y′′ + 5y′ + 6y = 0 має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y = C e−2x + C |
2 |
e−3x . |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Функція |
f (x) = 1/(1 + e2x ) не належить до вигляду (3.29). Тому застосу- |
ємо метод Лагранжа, згідно з яким розв’язок рівняння шукаємо у вигляді
(3.31):
y = C1 (x)e−2x + C2 (x)e−3x .
253
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Оскільки |
y |
|
|
= e−2x , y |
2 |
|
= e−3x , |
|
y′ |
= −2e−2x |
, y |
′ |
|
= −3e−3x , |
то для відшу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
кання функцій C1 (x) і C2 (x) |
|
складаємо і розв’язуємо систему рівнянь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вигляду (3.32): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2x |
|
|
|
|
|
−3x |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ′e |
|
|
+C ′e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ′(−2e−2x ) +C |
′ |
(−3e−3x ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= |
|
e−2x |
|
|
|
|
|
e−3x |
|
|
= −e−5x , |
|
|
|
1 = |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e−3x |
|
|
= − |
|
|
e−3x |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−3e−3x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−2e−2x −3e−3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ e2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e−2x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
e |
−2x |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
− 2e |
−2x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
C′ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
C |
′ = − |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ e |
2x |
|
|
|
1 |
|
|
1+ e |
2x |
|
|
|
|
2 |
1+ e |
2x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C1 |
|
= ∫ |
|
|
|
|
e2x |
dx = |
1 |
|
∫ |
d(e2x + 1) |
= |
|
1 |
|
ln(1 |
+ e |
2x |
) |
|
+ C3; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
+ e |
2x |
2 |
|
|
|
e |
2x |
+ 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
C = − |
|
e3xdx |
= |
|
|
|
ex |
|
= t |
|
= − |
|
t2dt |
= −(t − arctgt) + C |
|
= − (ex − arctg ex ) + C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
∫1+ e2x |
|
|
|
|
exdx = dt |
|
|
∫1+ t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y = e−2x |
1 |
ln(1+e2x ) +C |
|
−e−3x |
ex |
|
−arctg ex +C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
загальний розв’язок даного рівняння, де C3 ,C4 |
|
— довільні сталі. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.3 |
ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І |
САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Знайдіть загальні розв’язки однорідних рівнянь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. y′′ − 3y′ + 2 y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. y′′ − 6 y′ + 8y = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. y′′ − 2y′ + y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y′′ + 4y′ + 4y = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
y′′ − 2y′ + 2y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
y′′′ − y′′ − y′ + y = 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
y′′ + y′ + y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
y′′′ + y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
y (4) |
|
+ y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
254 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
11. |
y (4) |
+ 5y′′ + 4 y = 0 . |
12. y (5) + 8y′′′ + 16 y′ = 0 . |
13. |
y (5) |
− 5y (4) + 12 y′′′ − 16 y′′ + 12 y′ − 4 y = 0 . |
Знайдіть загальні розв’язки неоднорідних рівнянь.
14. y′′ − 7 y′ + 12 y = 5 . |
15. y′′ − 7 y′ + 6y = sin x . |
16. y′′ + y′ + y = 3e2x . |
17. y′′ + 2 y′ − 3y = 4e− x . |
18. y′′ − 8y′ + 7 y = 3x2 + 7x + 8 . |
19. y′′ − 2y′ + 4 y = (x + 2) e3x . |
20.y′′ − 2y′ = x3 + 2x − 1 .
21.y′′ − 6 y′ + 25y = 2 sin x + 3 cos x .
22.y′′ + 2y′ + 5y = 4 sin x + 22 cos x .
23.y′′ + y = (3x + 2) sin 2x + (x 2 + x + 2) cos 2x .
|
|
24. |
y′′ + 4 y = sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
|
y′′′ − y′′ = −3x + 1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
26. |
y′′ − 2y′ + y = 4e x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
|
y′′ + y = xe x |
+ 2e− x . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Знайдіть загальні розв’язки неоднорідних рівнянь методом варіації до- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вільних сталих. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
28. |
y′′ + y = |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
y′′ − y′ = |
2 − x |
e x . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Розв’яжіть задачі Коші. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
30. |
y′′+ 4 y′+ 4 y = 3e−x , y(0) = y′(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
31. |
y ′′+ 4 y = sin 2x , |
y(0) = y′(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповіді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1. y = C1ex + C2e2x . 2. y = C1e2x + C2e4x . 3. y = C1ex + C2xex . 4. y = (C1 + C2x)e−2x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
6. |
|
|
x |
x |
|
−x |
. 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
− 12 x |
||||||||
|
y = (C1 cosx+C2 sinx)e |
|
. |
y = C1e |
+ C2xe |
+ C3e |
|
|
y = C1 cos |
|
|
|
|
x + C2 sin |
|
x e . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y = C1ex + C2 xex + C3x2ex . |
9. y = C1e−x + |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
x |
|
||||||||||||||||||
8. |
|
C2 cos |
|
|
|
x + C3 sin |
|
|
|
|
x |
e2 . |
10. y = e 2 |
× |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
× |
|
C cos |
|
|
x + C |
2 |
sin |
|
|
|
|
x |
|
+ e |
|
|
|
C cos |
|
|
x |
+ C |
4 |
sin |
|
x . |
|
|
11. |
y = C sin x + |
|||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
255 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
+ C2 cos x + C3 sin 2x + C4 cos 2x . |
|
|
12. |
|
y = C1 + (C2 + C3x) cos 2x + (C4 + C5x)sin 2x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
y = C1ex + C2ex cos x + C3ex sin x + C4xex cos x + C5xex sin x . 14. y = C1e3x + C2e4x + |
5 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|||
15. |
y = C1ex + C2e6x + |
7 |
|
|
5 |
|
|
|
16. y = e− |
1 |
x (C cos |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
e2x . |
|||||||||||||
cos x + |
|
sin x . |
2 |
|
x + C |
sin |
|
|
x) + |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
74 |
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
17. |
y = C e x + C |
2 |
e−3x − e − x . |
|
|
|
|
|
|
18. |
y = C1ex + C2e7 x + |
3 |
x2 + |
97 |
x + |
1126 |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
343 |
|
|
|
||||||||
|
y = (C1 cos 3x + C2 sin |
3x)e |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
19. |
x |
+ e |
3x |
1 |
x + |
. 20. y = C1 |
+ C2e |
2x |
− |
1 |
x |
4 |
− |
|
1 |
|
x |
3 |
− |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
2 |
3 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
14cos x + 5sin x |
|
|
y = 3sin x + 4cos x + |
||||||||||||||||||
− |
|
x |
|
− |
|
x . 21. y = e |
|
(C1 cos 4x + C2 sin 4x) + |
|
|
|
|
. 22. |
||||||||||||||||||||
8 |
|
8 |
|
102 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
+(C cos2x + C sin 2x)e− x . |
23. y = C cos x + C sin x − |
9x2 + 9x + 28 |
cos2x − |
x + 2 |
sin 2x . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
24. y = C1 cos 2x + C2 sin 2x − |
x cos 2x . |
25. |
y = C ex + C |
+ C x + |
x3 + x2 . 26. y = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= (C1 + C2x)ex + 2x2ex. |
27. |
y = C1 cos x + C2 sin x + e− x + |
(x −1)ex . 28. |
y = (C1 + ln |
|
sin x |
|
)× |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
+ C1 + C2ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
×sin x + (C2 − x)cos x . |
29. |
y = |
30. y =1,5x2e−2x . 31. |
y = − |
cos 2x + |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
+ 18 sin 2x .
Т.3 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
3.1. Знайдіть загальні розв’язки лінійних однорідних рівнянь.
3.1.1.а) y′′ + y′ − 2y = 0 ;
3.1.2.а) y′′ − 4 y′ = 0 ;
3.1.3.а) 2y′′ − y′ − y = 0 ;
3.1.4.а) y′′ + 6 y′ + 13y = 0 ;
3.1.5.а) 2y′′ − 3y′ − 5y = 0 ;
3.1.6.а) y′′ − 9y = 0 ;
3.1.7.а) y′′ − 2y′ − 3y = 0 ;
3.1.8.а) 4y′′ + 4 y′ + 5y = 0 ;
3.1.9.а) 4y′′ − 8y′ + 5y = 0 ;
3.1.10.а) y′′ − 4y′ + 5y = 0 ;
3.1.11.а) y′′ − 4y′ + 29 y = 0 ;
б) y′′ − 2y′ + 5y = 0 . б) y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 . б) y′′ − 2y′ + 10 y = 0 . б) y′′ − 4y′ + 4y = 0 . б) y′′ + 2y′ + 10y = 0 .
б) 3y′′ + 12 y′ + 15y = 0 .
б) 3y′′ − 4y′ + 4 y = 0 . б) y′′ + 8y′ + 16 y = 0 . б) y′′ − 8y′ + 20 y = 0 . б) y′′ − 6 y′ + 8y = 0 .
б) y′′ − 7 y′ + 10y = 0 .
256
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.1.12.а) 4y′′ − 4 y′ + y = 0 ;
3.1.13.а) y′′ + 7 y′ + 12y = 0 ;
3.1.14.а) y′′ + 2y′ − 8y = 0 ;
3.1.15.а) 4y′′ − 12y′ + 9y = 0 ;
3.1.16.а) y′′ + y′ + y = 0 ;
3.1.17.а) y′′ + 3y′ + 2y = 0 ;
3.1.18.а) y′′ + 5y′ + 4y = 0 ;
3.1.19.а) y′′ − 7 y′ + 6 y = 0 ;
3.1.20.а) y′′ + 9 y′ + 8y = 0 ;
3.1.21.а) y′′ − 5y′ + 4y = 0 ;
3.1.22.а) y′′ + 4y′ + 13y = 0 ;
3.1.23.а) y′′ − 2y′ + 10 y = 0 ;
3.1.24.а) y′′ − 10 y′ + 9 y = 0 ;
3.1.25.а) y′′ − 12 y′ + 11y = 0 ;
3.1.26.а) 2y′′ − 3y′ + y = 0 ;
3.1.27.а) y′′ − 6y′ + 5y = 0 ;
3.1.28.а) y′′ + 7 y′ − 8y = 0 ;
3.1.29.а) 5y′′ + 2 y′ − 7 y = 0 ;
3.1.30.а) 3y′′ − 5y′ − 8y = 0 ;
б) y′′ + 2y′ + 5y = 0 . б) 4y′′ + 4 y′ + y = 0 . б) 9y′′ − 12y′ + 4y = 0 . б) 5y′′ − 6y′ + 5y = 0 . б) y′′ − 4y′ = 0 .
б) y′′ − 4y′ + 4y = 0 .
б) 9y − 12 y′ + 4y = 0 .
б) y′′ − 6y′ + 9y = 0 . б) y′′ − 10y′ + 25y = 0 . б) y′′ + 4y = 0 .
б) y′′ − 6y′ + 9y = 0 .
б) y′′ − 12y′ + 36 y = 0 . б) y′′ + 4 y′ + 13y = 0 . б) y′′ − 2y′ + y = 0 .
б) 25y′′ − 10 y′ + y = 0 . б) 4y′′ − 12y′ + 9y = 0 . б) 36y′′ − 12y′ + y = 0 . б) 16y′′ − 8y′ + y = 0 .
б) 8y′′ − 4y′ + y = 0 .
3.2. Знайдіть загальні розв’язки лінійних однорідних рівнянь.
3.2.1. y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 . |
3.2.2. y(4) |
+ 16 y = 0 . |
|
3.2.3. y′′′ − 2y′′ + y′ − 2 y = 0 . |
3.2.4. y (4) |
+ 5y′′ + 4 y = 0 . |
|
3.2.5. y′′′ + 2y′′ + 4y′ + 8y = 0 . |
3.2.6. y(4) |
+ 8y′′ − 9y = 0 . |
|
3.2.7. y′′′ − 4y′′ + 5y′ − 2y = 0 . |
3.2.8. y (4) |
+ 4 y′′ + 4 y = 0 . |
|
3.2.9. y′′′ − 3y′′ − y′ + 3y = 0 . |
3.2.10. y′′′ + 5y′′ + 7 y′ + 3y = 0 . |
||
3.2.11. y (4) − 3y′′′ + 3y′′ − 3y′ + 2 y = 0 . |
3.2.12. y′′′ − y′′ − 4y′ + 4 y = 0 . |
||
3.2.13. y′′′ + 9y′′ + 27 y′ + 27 y = 0 . |
3.2.14. y(4) |
− 13y′′ + 36 y = 0 . |
|
3.2.15. y′′′ − 4y′′ + y′ + 6 y = 0 . |
3.2.16. y(4) |
+ 2 y′′′ − 2 y′ − y = 0 . |
|
3.2.17. y′′′ + 3y′′ − 9y′ − 27 y = 0 . |
3.2.18. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 . |
||
3.2.19. y′′′ + 2y′′ − 4y′ − 8y = 0 . |
3.2.20. y(4) |
|
+ 3y′′′ + 3y′′ + y′ = 0 . |
3.2.21. y′′′ − 6 y′′ + 12 y′ − 8y = 0 . |
3.2.22. y(4) |
|
− 3y′′′ − y′′ + 3y′ = 0 . |
257
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.2.23. |
y(4) |
− 2 y′′′ + 2 y′′ − 2 y′ + y = 0 . |
3.2.24. y (4) |
− 7 y′′′ + 6 y′′ = 0 . |
3.2.25. |
y′′′ + 3y′′ − 4y′ − 12y = 0 . |
3.2.26. y(4) |
− 2y′′′ + 2y′′ = 0 . |
|
3.2. 27. |
y(4) |
+ 2 y′′′ + 2y′′ + 2 y′ + y = 0 . |
3.2.28. y(4) |
− 3y′′ − 4y = 0 . |
3.2.29. |
y (4) |
− y′′′ − 3y′′ + y′ + 2 y = 0 . |
3.2.30. y′′′ − 2y′′ + 9y′ − 18y = 0 . |
3.3. Знайдіть загальні розв’язки лінійних неоднорідних рівнянь із правою частиною спеціального вигляду.
3.3.1. |
y′′ − 2 y′ + y = xe x . |
3.3.3. |
y′′ − 6 y′ + 9 y = e x sin x . |
3.3.5. |
y′′ − 6 y′ + 9 y = 2x2 − 2x + 3 . |
3.3.7. |
y′′ + 4 y′ + 5y = x2 + 3 . |
3.3.9. |
y′′ + 2 y′ = 2 + x − x2 . |
3.3.11. |
y′′ + 4y′ + 4 y = e−2x + e x . |
3.3.13. |
y′′ + y′ = e− x + x + 1 . |
3.3.15. |
y′′ + y′ − 2 y = e x cos x . |
3.3.17. |
y′′+ 4y = cos 2x . |
3.3.19. |
y′′ − 2 y′ + 2 y = e x sin 2x . |
3.3.21. |
y′′ − 2 y′ + y = e x . |
3.3.23. |
y′′ + 4 y′ − 5y = xe x . |
3.3.25. |
y′′ + 2 y′ + 2 y = (x + 1)e x . |
3.3.27. |
y′′ + 4 y′ + 3y = e− x + x2 . |
3.3.29. |
y′′ − 3y′ + 2 y = e2x . |
3.3.2. |
y′′ + y = x sin x . |
3.3.4. |
y ′′+ 2 y′+5y = ex sin 2x . |
3.3.6. |
y′′ − 2 y′ + 2 y = e x cos x . |
3.3.8. |
y′′ − 3y′ + 2y = 2xe x . |
3.3.10.4 y′′ − 16 y′ + 15y = e1,5x .
3.3.12.y′′ − y′ = 2x2 .
3.3.14.y′′ + 2y′ + 10 y = xe− x .
3.3.16.y′′ + 2 y′ + y = e− x + sin x .
3.3.18.y′′ + 9 y = xe3x .
3.3.20. |
y′′ + 9 y = e3x . |
3.3.22. |
y′′ − 3y′ = 1 − 2x − x2 . |
3.3.24. |
y′′ − 4 y′ + 4 y = e2x . |
3.3.26. |
y′′ + 2y′ + 5y = cos x . |
3.3.28. |
y′′ + 4y′ + 8y = cos 2x . |
3.3.30. |
y′′ − 8y′ = sin 4x + x . |
3.4. Розв’яжіть задачі Коші для рівнянь другого порядку.
3.4.1. |
y′′ + 4y′ + 8y = sin 4x , |
y(0) = 0 , |
y′(0) = 1. |
3.4.2. |
y′′ − 3y′ + 2y = e x , |
y(0) = 2 , |
y′(0) = 1. |
3.4.3. |
y′′ + y′ + y = cos 2x , |
y(0) = −1, |
y′(0) = 3 . |
3.4.4. |
y′′ − 4y′ + 3y = x2 − 3x , |
y(0) = 2 , |
y′(0) = 4 . |
3.4.5. |
y′′ + 2 y′ + 5y = e2x , |
y(0) = 0 , |
y′(0) = 0 . |
3.4.6. |
y′′ − 10 y′ + 9 y = xex , |
y(0) = 1 , |
y′(0) = 0 . |
3.4.7. |
y′′ − 4 y′ + 4 y = e2x , |
y(0) = 1 , |
y′(0) = 1. |
258
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.4.8.y′′ − 2y′ + 2 y = 3x − 2 ,
3.4.9.y′′ + 5y′ − 6y = e4x ,
3.4.10.y′′ + 2 y′ + 10 y = x2 − 4 ,
3.4.11.y′′ − 4 y′ = x2 − 5x + 2 ,
3.4.12.y′′ − 2 y′ + y = ex ,
3.4.13.y′′ + 9y = sin 3x ,
3.4.14.y′′ + 2 y′ + 2 y = e x sin 3x ,
3.4.15.y′′ + 2 y′ + y = e− x ,
3.4.16.y′′ + y′ − 2 y = e2x sin x ,
3.4.17.y′′ + 6y′ + 9 y = e−3x ,
3.4.18.y′′ + 4y′ + 5y = e2x ,
3.4.19.4 y′′ − 16 y′ + 15y = x2 − 1,
3.4.20.4 y′′ + 4 y′ + 5y = xe x ,
3.4.21.y′′ − 3y′ + 2 y = e2x ,
3.4.22.y′′ + 4y′ + 5y = x2 + 2x ,
3.4.23.y′′ − 2y′ + 2 y = e x cos x ,
3.4.24.y′′ − 6y′ + 9y = 2x2 + 5 ,
3.4.25.2y′′ − y′ − y = ex + x ,
3.4.26.y′′ − 2y′ + 10 y = cos x ,
3.4.27.4y′′ − 8y′ + 5y = xex ,
3.4.28.3y′′ − 12y′ + 4y = ex sin2x ,
3.4.29.y′′ − 4 y′ = 2x2 + 3x − 1 ,
3.4.30.y′′ − 8y′ + 16 y = e4x ,
y(0) = −2 , |
y′(0) = 2 . |
y(0) = 3 , |
y′(0) = 2 . |
y(0) = 0 , |
y′(0) = 4 . |
y(0) = 0 , |
y′(0) = −1 . |
y(0) = 3 , |
y′(0) = 5 . |
y(0) = 2 , |
y′(0) = −1 . |
y(0) = 1 , |
y′(0) = 3 . |
y(0) = 4 , |
y′(0) = 0 . |
y(0) = −5 , |
y′(0) = 1. |
y(0) = −3 , |
y′(0) = 2 . |
y(0) = 2 , |
y′(0) = 6 . |
y(0) = 3 , |
y′(0) = −1 . |
y(0) = 4 , |
y′(0) = −1 . |
y(0) = 1 , |
y′(0) = 0 . |
y(0) = 1 , |
y′(0) = 4 . |
y(0) = 2 , |
y′(0) = −5 . |
y(0) = 0 , |
y′(0) = 3 . |
y(0) = 0 , |
y′(0) = 0 . |
y(0) = −1, |
y′(0) = −3 . |
y(0) = 2 , |
y′(0) = −4 . |
y(0) = 1 , |
y′(0) = 5 . |
y(0) = 6 , |
y′(0) = −2 . |
y(0) = 3 , |
y′(0) = 8 . |
3.5. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод Лагранжа.
3.5.1. y′′ − 2 y′ + y = |
|
ex |
|
|
3.5.2. |
y′′ − 2y′ |
+ y = |
|
ex |
|||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
. |
||||||
2x + 1 |
x2 |
+ 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.5.3. y′′ − 4y′ + 3y = ln(1+ e− x ) . |
3.5.4. y′′ + 4 y = tg2 2x . |
|||||||||||||
3.5.5. y′′ − 3y′ + 2y = |
e2x |
3.5.6. |
y′′ + y = |
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
. |
|
|
. |
|
|
||||||||
(1 + e x )2 |
|
cos3 x |
|
|
259
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.5.7. y′′ − 4 y′ + 4 y = e2x ln(x2 + 1) .
3.5.9. |
y′′ + 4 y = |
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
+ cos2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
2x |
|
|
|
|||||||||
3.5.11. |
y′′ + |
y = |
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
sin2 x + 2 |
|
|
|
|
|
||||||
3.5.13. y′′ − 2y′ + 2 y = ex tg x . |
|
||||||||||||||
3.5.15. |
y′′ − |
2y′ + |
2y = |
|
e x |
|
|
. |
|
|
|||||
|
sin x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.5.17. |
y′′ − 4 y′ + |
5y = |
|
e2x sin x |
|
. |
|||||||||
sin2 |
|
x + 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.5.19. y′′ − 4y′ + 5y = |
|
|
|
|
e |
2x |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + sin 2 x |
||||||
3.5.21. y′′ + |
2y′ + y = |
|
|
e |
− x |
|
|
. |
|
|
|||||
x2 |
− |
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5.23. y′′ + 3y′ + 2y = cos(e x ) .
3.5.25. y′′ + 5y′ + 6y = e− x ln(1 + e x ) .
3.5.27. y′′ + 2y′ + y = e− x ln x .
3.5.29. y′′ + 9y = cos 3x . sin2 3x + 1
3.5.8. y′′ + 2y′ + y = e− x ln(x2 + 4) .
3.5.10. y′′ + y = |
1 |
|
. |
|
|
sin 3 |
|
|
|||
|
|
x |
|||
3.5.12. y′′ − y = |
|
e3x |
|||
|
|
|
. |
||
|
|
|
|||
|
|
1− e2x |
|||
3.5.14. y′′ − 2y′ = |
e3x |
||||
. |
|||||
|
|
1 − e2x |
3.5.16. y′′ − 3y′ + 2y = sin(e− x ) .
3.5.18. y′′ − 4y′ + 4y = x +x1 e2x .
3.5.20. y′′ + 2 y′ + y = e− x arctg x .
3.5.22. y′′ − 3y′ + 2y = |
|
e x |
||||
|
|
|
. |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
e x + 1 |
|||
3.5. 24. |
y′′ + 4y′ + 3y = arctg(ex ) . |
|||||
3.5.26. |
y′′ + y = |
sin x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
cos2 x − 2 |
||||
3.5.28. y′′ + 2 y′ + y = 3 |
xe− x . |
|||||
3.5.30. y′′ − 2y′ + y = ex |
1− x . |
Тема 4. СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Нормальна система диференціальних рівнянь. Методи виключення та інтегровних комбінацій розв’язання систем диференціальних рівнянь у нормальній формі. Системи диференціальних рівняньзісталимикоефіцієнтами. Узагальненийметод Ейлера.
Література: [2, розділ 3, п. 3.3], [3, розділ 8, § 6], [4, розділ 8, § 26], [6, розділ11, п. 11.5], [7, розділ13, § 29—30], [8, 2 част., § 6].
260
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/