Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta
.pdf
|
|
|
∂u |
= |
|
|
∂u |
|
|
∂x1 |
+ |
|
|
|
∂u |
|
∂x2 |
+ …+ |
|
|
|
∂u |
|
|
∂xm |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂t |
∂x ∂t |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
m |
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂u |
= |
|
|
∂u |
|
|
∂x1 |
+ |
|
|
|
∂u |
∂x2 |
+ …+ |
|
∂u |
|
∂xm |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂t |
k |
|
∂x ∂t |
k |
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
∂t |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
m |
|
∂t |
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Зокрема, якщо z = f (u, v) , де u = u(x, y) , |
|
v = v(x, y) , то |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂z |
= |
|
∂z |
|
|
∂u |
+ |
|
∂z |
|
|
∂v |
, |
|
|
∂z |
= |
|
∂z |
|
|
∂u + |
|
∂z |
|
|
∂v |
. |
|
(1.2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
∂u ∂x |
|
|
|
|
|
∂v ∂x |
|
|
|
∂y |
|
∂u ∂y |
|
∂v ∂y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для функції z = f (u, v) , де u = u(x) , |
v = v(x) , |
маємо тільки похідну за |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
змінною x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
= |
∂z |
|
|
|
du |
|
+ |
|
∂z |
|
dv |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
∂u |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∂v |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Цю формулу називають формулою для обчислення повної похідної |
dz |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(на відміну від частинної похідної |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Якщо функція u(x1, x2 ,…, xm ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
задана неявно співвідношенням |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
F(x1 , x2 ,…, xm , u(x1 , x2 ,…, xm )) = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
причому |
∂F |
≠ 0 , тоді частинні похідні можна обчислити за формулами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
= − |
|
∂x1 |
|
, |
|
|
..., |
|
∂u |
= − |
|
∂xm |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xm |
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Наприклад, якщо F(x, y, z(x, y)) = 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
( ∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
∂x |
|
, |
|
|
|
|
= − |
|
∂y |
|
|
|
≠ 0). |
|
|
|
|
|
|
|
(1.3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
2.3. Повний диференціал функції кількох змінних та його застосування до наближених обчислень
Розглянемо повний приріст функції z = f (x, y) у точці M (x, y) :
z = f (x + x, y + y) − f (x, y) .
Функцію z = f (x, y) називають диференційовною у точці M (x, y) , якщо її повний приріст у цій точці можна подати у вигляді
|
|
|
z = A |
x + B |
|
y + ε1 ( |
x, |
y) |
x + ε 2 ( x, |
y) |
y , |
(1.4) |
||||||
де |
А і |
В — деякі незалежні від |
x та |
y числа, |
а |
ε1 ( x, |
y) → 0 , |
|||||||||||
ε 2 ( |
x, |
y) → 0 , якщо |
x → 0 , |
y → 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Диференціалом dz функції |
z = f (x, y) |
називають головну лінійну від- |
||||||||||||||||
носно |
x та y частину її приросту, тобто |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dz = A |
x + B |
y . |
|
|
|
|
|
|||||
Якщо функція z = f (x, y) |
диференційовна у точці M (x, y) , то |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
dz = |
∂f (x, y) |
x + |
∂f (x, y) |
y . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|||
У випадку, коли x, y – незалежні змінні, |
x = dx , y = dy , тоді |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dz = |
∂f |
dx + |
∂f |
dy. |
|
|
|
|
|
(1.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулу (1.4) тепер можна записати у вигляді |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
z = dz + ε1 x + ε 2 y , |
|
|
|
|
|||||||||
звідки випливає наближена рівність |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
або |
|
|
|
|
|
|
z ≈ dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x + x, y + y) ≈ f (x, y) + |
∂f (x, y) |
|
x + ∂f (x, y) y. |
|
(1.6) |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
||
Ця наближена рівність тим точніша, |
чим менші величини |
x та y. |
Формулу (1.6) застосовують до наближених обчислень значень функцій,
оскільки диференціал функції обчислити простіше, ніж її повний приріст.
Для функції u = f (x1, x2 , ..., xm ) повний диференціал обчислюють за формулою
22
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
|
|
|
du = |
∂u |
dx |
|
+ |
|
∂u |
dx |
+…+ |
∂u |
dx . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
m |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
∂xm |
|
||||||||
|
Диференціал складеної функції |
z = f (x, y) , де x = x(u, v) , |
y = y(u, v) , |
|||||||||||||||||||||
обчислюють за формулою |
|
|
∂f |
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= |
dx + |
dy , |
|
|
(1.7) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|||||
де |
dx = |
∂x |
du + |
dx |
dv , |
dy = |
∂y |
du |
+ |
dy |
dv . |
|
|
|
||||||||||
∂u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
∂v |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
Порівнявши формули (1.5) і (1.7), дійдемо висновку, що повний диференціал функції z = f (x, y) має властивість інваріантності (незмінності),
тобто його форма не змінюється незалежно від того, чи є x і y незалеж-
ними змінними, чи диференційовними функціями змінних u та v . Проте ці формули однакові лише за формою, а по суті — різні, бо у формулі (1.5)
dx |
і dy — диференціали незалежних змінних, а у формулі (1.7) dx і dy |
— |
|||||||||||||||||
повні диференціали функцій x = x(u, v) і y = y(u, v) . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2.4. Частинні похідні та диференціали вищих порядків |
|
||||||||||||||
|
|
Нехай функція z = f (x, y) |
задана в області D і має частинні похідні |
||||||||||||||||
|
∂z |
, |
∂z |
в усіх точках (x, y) D . Тоді ці похідні можна розглядати як нові |
|||||||||||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функції, задані в області D. |
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
||||||||
|
|
Якщо існує частинна похідна за |
x від функції |
|
, то її називають час- |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
x і |
||
тинною похідною другого порядку від функції z = f (x, y) за змінною |
|||||||||||||||||||
позначають одним із символів: |
∂ 2 z |
, z′′ , або |
|
∂ 2 f |
, f ′′ . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
xx |
|
∂x2 |
|
|
xx |
|
||
|
|
Отже, за означенням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∂2 z |
= |
∂ |
|
∂z |
|
|
, або z′′ |
= (z′ |
)′ . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
xx |
|
x |
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічно визначають похідну другого порядку від функції z = f (x, y) за змінною y :
23
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
∂ 2 z |
|
∂ |
|
∂z |
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
|
|
|
, або |
z′′ |
= (z′ |
)′ . |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
yy |
y |
y |
|
|
|
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
Якщо існує частинна похідна від функції ∂∂xz за змінною y , то цю по-
хідну називають мішаною частинною похідною другого порядку від функ-
ції z = f (x, y) і позначають |
∂ 2 z |
|
, z |
′′ . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
xy |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отже, за означенням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂ 2 z |
|
∂ |
∂z |
|
′′ |
′ ′ |
|||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, або |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∂x∂y |
|
|
|
zxy |
= (zx ) y . |
||||
|
|
|
∂y |
∂x |
|
|
|
Для функції двох змінних z = f (x, y) може існувати чотири похідні другого порядку, серед яких дві похідні мішані.
Теорема (про мішаніпохідні). Якщо в околі точки (x, y) функція z = f (x, y)
має неперервні частинні похідні |
|
∂ 2 z |
та |
|
∂ 2 z |
, то вони рівні між собою. |
||||||
|
∂x∂y |
|
∂y∂x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для функції u = f (x1 , x2 ,…, xm ) |
|
може існувати |
m2 частинних похід- |
|||||||||
|
∂ 2u |
|
∂ |
|
∂z |
|
|
|
|
|||
них другого порядку: |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
, i, k = 1, 2, |
…, m . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂xk ∂xi |
|
|
|
∂xk |
|
|||||||
|
|
∂xi |
|
|
|
|
Аналогічно вводяться поняття частинних похідних третього і вищих
порядків. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Другим диференціалом d 2 z функції |
z = f (x, y) у точці M (x, y) |
нази- |
||||||||
вають диференціал від першого диференціала dz , тобто |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 z = d (dz). |
|
|
|
|
|||
Якщо x , y — незалежні змінні, тоді |
|
|
|
|
|
|||||
d 2 z = |
∂ 2 f |
dx2 |
+ 2 |
∂ 2 f |
dxdy + |
∂ 2 f |
dy 2 . |
(1.8) |
||
|
∂x∂y |
|
||||||||
|
∂x2 |
|
|
|
∂y 2 |
|
||||
Диференціалом n-го порядку |
d n z |
функції z = f (x, y) у точці M (x, y) |
називають диференціал від диференціала (n – 1)-го порядку d n−1 z , тобто
d n z = d (d n−1z). |
(1.9) |
24
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
У випадку, коли x , y — незалежні змінні, формулу (1.9) можна записати так:
|
|
|
n |
|
|
|
∂n f |
|
|
|
|
|
|
|
|
d n z = ∑ Cnk |
|
|
|
|
dxk dyn−k |
, |
|||
|
|
|
∂kk ∂yn−k |
|||||||||
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
||||
де Cnk = |
n! |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k!(n − k)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Символічний запис цієї формули такий: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
d n z = |
∂ |
dx + |
∂ |
dy n |
f . |
|
|||
|
|
|
|
∂y |
|
|||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
Зауважимо, що для диференціалів другого і вищих порядків не виконується властивість інваріантності диференціала, тобто їхня форма змінюється залежно від того, є x і y незалежними змінними чи диференційовними
функціями змінних u та v .
2.5. Формула Тейлора для функції двох змінних
Нехай функція z = f (x, y) має в деякому околі точки M 0 (x0 , y0 ) непе-
рервні частинні похідні до (n + 1)-го порядку включно. Тоді для довільної точки M (x, y) із цього околу справжується формула Тейлора
|
|
|
1 |
|
|
∂f (x , y ) |
|
∂f (x , y ) |
|
|
||
f (x, y) − |
f (x0 |
, y0 ) = |
|
|
|
|
0 0 |
(x − x0 ) + |
0 0 |
( y − y0 ) |
+ |
|
1! |
∂x |
∂y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 ∂2 f (x |
|
, y |
) |
(x − x0 ) |
2 |
|
+ 2 |
∂2 f (x |
, y |
) |
(x − x0 )( y − y0 ) + |
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|||||||||||||||||
2! |
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 f (x , y ) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
( y − y0 ) |
+ …+ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
(x |
− x0 ) |
|
|
+ ( y |
− y0 ) |
|
|
|
|
f (x, y) + Rn+1 (x, y) , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де залишковий член Rn+1 (x, y) |
у формі Лагранжа має вигляд |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
∂ |
n+1 |
|
|
|
Rn+1 |
(x, y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
− x0 ) |
|
|
|
+ ( y − y0 ) |
|
|
f (x0 + |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
+θ(x − x0 ), y0 + θ( y − y0 )) , 0 < θ < 1 .
25
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
При x0 = y0 = 0 формулу Тейлора називають формулою Маклорена. Через диференціали формулу Тейлора записують так:
|
|
|
f (x0 + x, y0 + y) − f (x0 , y0 ) = |
|
|
|
|
||||
= |
|
1 |
df (x , y ) + |
1 |
d 2 f (x , y ) + … + |
1 |
d n f (x |
, y |
) + R |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1! |
0 0 |
2! |
0 0 |
n! |
0 |
0 |
n+1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Формулу Тейлора використовують у наближених обчисленнях. Абсолютну похибку цих наближень оцінюють через залишковий член Rn+1 .
|
|
|
|
|
|
Т.2 |
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ |
|||||||
1. Знайдіть повний і частинний прирости функції |
z = x 2 + xy − 2 y у то- |
|||||||||||||
чці M (0;1) при x = 2 , |
y = −1 . |
|
|
|||||||||||
Розв’язання. Обчислимо значення z(0;1) : |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z(0;1) = 02 + 0 1 − 2 1 = −2 , |
|
|||||
нові значення змінних будуть такі: |
|
|
||||||||||||
|
x + |
|
x = 0 + 2 = 2 , y + |
y = 1 − 1 = 0 ; z(x + |
x, y + |
y) = z(2; 0) = 4 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
z(x + x, y) = z(2;1) = 4 , z(x, y + |
y) = z(0; 0) = 0 . |
|||||||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
z(0; 1) = 4 − (−2) = 6 , |
x z = 4 − (−2) = 6 , y z = 0 − (−2) = 2 . |
||||||||
2. Знайдіть частинні похідні функцій: |
|
|
||||||||||||
а) |
|
z = x5 y 2 + 2 y3 − x − 4 ; б) |
u = x sin( yz) + (x + y 2 + z3 )5 ; |
|||||||||||
в) z = xln y ; г) u = x tg |
y |
+ z 3 |
2 x− z . |
|
|
|||||||||
x |
|
|
||||||||||||
Розв’язання. Маємо: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
|
∂z |
|
= 5x4 y 2 − 1 , |
∂z |
|
= 2 yx5 + 6 y 2 ; |
|
|
|||||
|
∂x |
∂y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
|
∂u |
|
= sin( yz) + 5(x + y 2 + z3 )4 , |
|
|
||||||||
|
∂x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂u |
= x cos( yz) z + 10 y(x + y 2 + z3 )4 , |
|
|
|||||||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
в)
г)
∂u
∂z ∂z
∂x ∂u ∂x ∂u ∂y
= x cos( yz) y + 15z 2 (x + y 2 + z3 )4 ;
= (ln y) xln y−1 , |
|
∂z |
= xln y ln x |
1 |
|
= xln y |
|
ln x |
; |
||||||||||||||||
|
∂y |
y |
|
y |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
3 |
|
|
x− z |
|
|
|
|
||
= |
tg |
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ z |
|
2 |
|
ln 2 |
, |
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
cos 2 ( y / x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= x |
|
|
1 |
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
cos2 ( y / x) x |
|
cos2 ( y / x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u = 3z2 2x− z − z3 2x− z ln 2 = 2x− z (3z2 − z3 ) ln 2 .
∂z
3. Знайдіть частинні похідні функції z(x, y) , заданої неявно рівнянням x2 + y 2 z 2 + xyz = 0 .
Розв’язання. За формулами (1.3) дістаємо
|
F ≡ x2 + y2 z2 + xyz , |
∂F |
= 2x + yz , |
|
|||||||
|
∂F |
|
|
|
∂F |
∂x |
|
|
|
||
|
= |
2 yz 2 + xz , |
= 2zy 2 + xy . |
|
|||||||
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= |
− |
2x + yz |
, |
∂z |
|
= − |
2 yz 2 |
+ xz |
. |
|
∂x |
2zy 2 + xy |
∂y |
2zy 2 |
+ xy |
||||||
|
|
|
|
|
|
4. Знайдіть частинні похідні функції
z = f (x + 2 y, x2 y) .
Розв’язання. Маємо складену функцію z = f (u, v) , де u = x + 2 y , v = x 2 y .
За формулами (1.2) знаходимо: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂z |
= |
∂f |
+ |
∂f |
2xy , |
∂z |
= 2 |
∂f |
+ |
∂f |
x2 . |
|
∂x |
|
∂u |
∂v |
|
∂y |
|
∂u |
∂v |
|
5. Знайдіть частинні похідні функції
x
z = (2x + y) y .
Розв’язання. Застосуємо логарифмічне диференціювання. Маємо ln z = xy ln(2x + y) ; (ln z)′x = ( xy ln(2x + y))′x ;
27
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
1 ∂z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
= |
|
ln(2x + y) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
= |
z |
|
|
ln(2x + y) + |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
z ∂x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2x |
|
+ y |
|
|
|
|
∂x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2x + y |
||||||||||||||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= (2x + y) |
|
1 |
|
|
|
ln(2x + y) + |
|
2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Частинну похідну |
∂z |
|
знаходимо так само: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(ln z)′ |
= ( |
x |
ln(2x |
+ y))′ |
; |
1 |
|
|
∂z |
= − |
x |
ln(2x + y) + |
x |
|
|
|
1 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
y 2x + y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(2x + y) |
|
− ln(2x + y) + |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
y 2 |
|
2x + y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. Знайдіть повний диференціал функцій: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) z = e x y3 ; б) |
u = x arcsin y + z4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) dz = (e x y3 )′ |
dx + (e x y3 )′ |
|
dy |
= ex y3dx + 3e x y 2 dy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) ∂u = arcsin y , |
|
∂u |
= |
|
|
|
x |
|
, |
|
|
|
∂u = |
4z3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
1 − y |
2 |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
du = arcsin ydx + |
|
|
|
x |
|
dy + 4z3dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Обчисліть наближено (0, 92)3 (1, 04)2 .
Розв’язання. Застосуємо формулу (1.6) для функції f (x, y) = x3 y2 . Покла-
демо x + |
x = 0,92, |
y + y = 1,04, |
x = 1 , |
y = 1 . Тоді |
f (1;1) = 1, x = 0,92 −1 = |
|||
= −0,08, |
y = 1,04 −1 = 0,04. Знайдемо частинні похідні функції f (x, y) у |
|||||||
точці (1;1) : |
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂f |
= |
3x2 y 2 , ∂f (1,1) |
= 3 ; |
∂f |
= 2x3 y , |
∂f (1, 1) = 2 . |
|
|
∂x |
∂x |
|
∂y |
∂y |
Отже,
(0,92)3 (1,04)2 ≈ 1 + 3(−0,08) + 2 0,04 = 0,84 .
28
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
8. Обчисліть наближено sin 2 51° cos 5° . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Розв’язання. Розглянемо допоміжну функцію |
z = sin2 x cos y . Необхід- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
но обчислити z |
17 |
|
π; |
|
|
|
π |
|
. Покладемо x + |
|
|
|
|
x = |
17π |
, |
|
y + |
|
y = |
π |
, |
x = |
π |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||||
y = 0 , тоді |
|
x = |
|
|
|
|
π |
|
, |
|
|
y = |
|
|
|
π |
|
. Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
30 |
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∂z(π / 4,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
; 0 |
= sin |
|
|
|
|
|
|
cos 0 = |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
= sin 2x cos y |
|
x |
=π / 4, |
= 1; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z(π / 4,0) = − sin 2 |
x sin y |
|
x=π / 4, = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
π; |
|
|
≈ |
|
+ 1 |
|
|
|
+ |
|
0 |
|
|
= |
+ |
|
|
≈ 0,6 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
30 |
|
|
36 |
|
2 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Знайдіть частинні похідні другого порядку функцій: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
z = 2x4 y3 +sin 2 y − |
x2 |
; |
|
|
б) |
|
z = |
|
|
x2 − y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розв’язання. Послідовно знаходимо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
∂z |
= 8x3 y3 −2 |
x |
|
, |
∂z |
= 6x4 y2 + 2 cos 2 y + |
x2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂2 z |
= |
|
∂ |
|
|
8x3 y3 |
− 2 |
|
x |
|
= 24x2 y3 |
− |
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x2 |
|
|
∂x |
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∂2 z |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
6x |
|
|
|
y |
|
|
+ 2 cos 2 y + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
12x |
|
|
|
y − 4 sin 2 y − 2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∂2 z |
|
|
∂ ∂z |
|
|
|
|
|
∂ |
8x |
3 |
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= 24x |
3 |
y |
2 |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x∂y |
∂y |
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
∂z |
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∂x |
|
2 |
|
|
x |
2 |
|
− y |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∂z |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−2 y) = |
−y |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
− y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − y2 |
|
− x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∂ |
2 |
z = |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− y |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 − y2 )3 / 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
∂x x2 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
x |
2 |
− y |
2 |
|
|
|
|
|
(x |
2 |
|
− y |
2 |
) |
3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∂ |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
(x2 |
− y2 )−1/ 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x∂y |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
−3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= x |
|
− |
|
|
|
(x |
|
|
− y |
|
) |
|
|
|
|
|
(−2 y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 − y2 ) |
3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10. Покажіть, що функція z = x2 ln y |
|
задовольняє рівняння |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 z |
|
|
= |
|
|
∂2 z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
∂y∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Розв’язання. Маємо |
|
|
∂z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x ln y , |
|
|
= x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
z |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
z |
|
|
|
∂ |
|
|
2 |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(2x ln y) = |
, |
|
|
|
|
= |
|
x |
|
|
|
= |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
∂y∂x ∂x |
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
що і потрібно було довести. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Знайдіть частинні похідні |
|
∂ 3u |
, |
|
|
|
∂ 3u |
|
|
і |
|
|
|
∂ 3u |
|
|
функції |
u = x |
4 |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x3 |
|
|
∂x∂y 2 |
|
|
∂x∂y∂z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
+ xy3 + x cos y sin z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Розв’язання. Маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∂u = 4x3 + y3 + cos y sin z , |
|
∂ 2u |
|
|
= 12x |
2 , |
|
∂ 3u = 24x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∂ 2u |
|
= |
|
|
∂ |
|
|
(4x |
3 |
|
+ y |
3 |
|
+ cos y sin z) = |
3y |
2 |
− sin y sin z ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x∂y |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂ 3u |
|
|
|
|
= |
|
|
∂ |
|
(3y 2 − sin y sin z) = 6 y − cos y sin z ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x∂y 2 |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/