Higher_Mathematics_Part_2
.pdf13. ∫32 sin 6 x cos4 xdx .
Solution. Multiplying the integrand we get
32 sin 6 x cos4 x = 2(2 sin x cos x)4 sin 2 x = sin 4 2x(1− cos 2x) = = sin 4 2x − sin 4 2x cos 2x = 14 (1− cos 4x)2 − sin 4 2x cos 2x =
=14 (1− 2 cos 4x + cos2 4x) − sin 4 2x cos 2x =
=14 − 12 cos 4x + 18 (1+ cos 8x) − sin 4 2x cos 2x .
Then
∫32 sin 6 x cos4 xdx = |
1 |
|
∫ dx − |
|
1 |
∫ cos 4xdx + |
1 |
|
∫ dx + |
1 |
∫cos 8xdx − |
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4 |
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2 |
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8 |
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8 |
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|||||||||
|
− ∫sin 4 2x cos 2xdx = |
|
x |
− |
1 |
∫cos 4xd (4x) + |
x |
|
|
+ |
1 |
|
∫cos 8xd(8x) − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
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8 |
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8 |
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64 |
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||||||||||||||
− |
1 |
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∫sin 4 2xd(sin 2x) = |
|
3x |
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− |
1 |
sin 4x + |
|
1 |
sin 8x − |
|
1 |
sin 5 |
2x + C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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8 |
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8 |
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64 |
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10 |
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||||||||||||
14. ∫ |
dx |
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. |
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|||||||
(sin x + cos x) |
2 |
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Solution. Integrand |
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R(sin x, cos x) = |
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1 |
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|
is even for both cos x |
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(sin x + cos x)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
and sin x : |
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|||||
R(− sin x,− cos x) = |
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1 |
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= |
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1 |
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|
= R(sin x, cos x) . |
|||||||||||||||||||||||
(− sin x − cos x)2 |
|
|
|
(sin x + cos x)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Multiplying the integrand we get |
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||||||||||||||||||||||||
∫ |
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dx |
|
|
= ∫ |
|
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|
|
dx |
|
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|
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|
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|
|
= ∫ |
|
d(tg x + 1) |
|
= − |
|
1 |
|
+ C . |
|||||||||||||||||||||||
|
(sin x + cos x) |
2 |
|
|
(tg x + 1) |
2 |
|
cos |
2 |
x |
|
(tg x + 1) |
2 |
|
|
tg x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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15. ∫ |
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|
cos3 xdx |
. |
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|||||
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|
3 |
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|||||||
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|
(1− sin x) |
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Solution. Integrand |
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R(sin x, cos x) = |
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cos3 x |
|
is odd for cos x : |
|
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|
(1− sin x)3 |
|
|
|
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|
|
R(sin x,− cos x) = |
|
(− cos x)3 |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
cos3 x |
|
|
|
= −R(sin x, cos x) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1 |
− sin x)3 |
|
(1− sin x)3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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121 |
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|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Then
|
cos |
3 |
xdx |
|
|
|
sin x = t, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1+ t |
|
|
||||||||||||
∫ |
|
|
= |
cos xdx = dt, |
= ∫ |
1− t |
|
dt = |
|
∫ |
|
dt = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
(1− t) |
3 |
(1− t) |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
(1− sin x) |
|
|
cos2 x = 1− t 2 |
|
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|||||||||||||||||
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|
|
|||||||
|
= ∫ |
(t − 1) + |
2 |
dt = ∫ |
|
|
dt |
+ 2∫ |
|
dt |
|
= ln |
|
t − 1 |
|
− |
2 |
|
|
+ C = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
t − |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(t − 1) |
|
|
|
t − 1 |
(t − 1) |
|
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||||||||||||||
|
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|
sin x − 1 |
|
|
2 |
|
+ C. |
|
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|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
|
− |
|
|
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|||||||||||
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|
sin x − 1 |
|
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|||||||||||||
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16. ∫ tg3 x sec5 x dx.
Solution. Recall d(secx) = tgx secx dx and that tgx = sec2x − 1. Let t = secx and dt = secx tgx dx. Then ∫ tg3 x sec5 x dx =
∫ tg2 x sec4 x (tg x sec x)dx = ∫(sec2 x − 1)sec4 x (tg x sec x)dx =
= ∫ (t 2 − 1)t 4dt =∫ (t6 − t4 )dt = |
t7 |
− |
t5 |
+ C = sec7 x |
− sec5 x |
+ C . |
|
|
|||||
7 |
5 |
7 |
5 |
|
||
17. I = ∫ tg2 x sec4 xdx. |
|
|
|
|
|
Solution. Let us recall that dtgx = sec2x dx. So pair sec2x with dx to form
sec2x dx. This suggests the substitution |
|
t = tgx; dt = sec2x dx. Recall also that |
|||||||||||||||||||
sec2x = tg2x + 1. |
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|||
Then I = ∫ tg2 x sec2 x sec2 xdx = ∫t2 (t2 + 1)dt = |
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|||||||||||||||||
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|
|
= ∫(t4 + t2 )dt = |
t5 |
+ |
t3 |
|
+ C = |
|
tg5 x |
+ |
tg3 x |
+ C. |
|||||||
|
|
|
|
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|
5 |
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
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||||
18. ∫ |
|
|
dx |
|
. |
|
|
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sin |
3 |
|
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||
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x cos x |
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|||
Solution. Integrand R(sin x, cos x) = |
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1 |
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|
is even for both sin x |
||||||||||||||
|
sin 3 |
x cos x |
|||||||||||||||||||
and cos x : |
|
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||
R(− sin x,− cos x) = |
1 |
|
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|
|
= |
|
|
1 |
|
|
= R(sin x, cos x) . |
|||||||||
(− sin x)3 |
|
|
|
|
|
|
sin 3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(− cos x) |
|
x cos x |
|
Multiplying the integrand as function of tg x: ∫ R(tg x)d tg x . This time try
dt = |
dx |
and 1+ tg2 x = |
1 |
|
. Consequently, |
cos2 x |
cos2 |
|
|||
|
|
x |
|||
|
|
|
|
122 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
(1+ tg2 |
|
x)d tg x |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
3 |
x cos |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
tg |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
d tg |
x |
+ ∫ |
d tg x |
|
= − |
|
1 |
ctg2 x + ln |
|
tg x |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
19. I = ∫ |
|
|
sin 2xdx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
cos |
4 |
|
x |
+ sin |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t transform the integral to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Solution. The substitutions tg x |
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t = tg x;cos4 x = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
;sin4 |
|
x = |
|
|
|
|
|
t4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ t |
) |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ t |
|
) |
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
1+ t |
|
|
1 |
+ t |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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4 |
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2t |
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dt |
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1 |
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t |
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||||||||||||
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sin 2x = |
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;dx = |
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. |
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(1+ t2 )2 |
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+ (1+ t2 )2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1+ t2 |
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1+ t2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= ∫ |
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2tdt |
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= |
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u = t2 |
|
= ∫ |
|
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du |
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= arctg u + C = arctg(tg2 x) + C. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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|
du = 2tdt |
|
1+ u |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1+ t |
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20. ∫ |
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dx |
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. |
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5 − 3cos x |
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x |
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|||||||||||||||
Solution. The substitution |
tg |
|
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|
= t |
transforms the integral into |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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|||
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∫ |
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dx |
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|
= ∫ |
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2dt |
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= 2∫ |
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dt |
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|
= |
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|||||||||||||||||||||||
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|
5 − 3 cos x |
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|
2 |
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1 |
− t2 |
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(5 + 5t2 − 3 + 3t2 ) |
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(1+ t |
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) |
5 |
− 3 |
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2 |
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1+ t |
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|||||||||||||
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dt |
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x |
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|||||||||||||||
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|
= ∫ |
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|
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= |
1 |
arctg(2t) + C = |
|
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1 |
arctg(2 tg |
) + C . |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
+ 4t |
2 |
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|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 − sin x |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||
21. ∫ |
|
dx . |
|
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||||||||||||||||
2 + cos x |
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||||||||||||||||||
Solution. Let |
tg |
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x |
= t . |
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2 |
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Then |
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||||||
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x = 2 arctg t , dx = |
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2 |
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|
dt |
, sin x = |
|
|
2t |
|
|
|
; |
|
|
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cos x = |
1− t 2 |
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
+ t 2 |
|
|
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|
1+ t 2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Consequently, |
|
|
|
|
|
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1+ t 2 |
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1 |
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2t |
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|||||||||||||||||
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|
2 |
|
− |
|
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|
|
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|
t 2 − t + 1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 − sin x |
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2dt |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
dx |
|
= ∫ |
|
|
|
|
1+ t |
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|
|
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|
|
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|
= |
4∫ |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
dt = |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 + cos x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(t |
2 |
+ |
1)(t |
2 |
+ 3) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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2 + |
1− t |
|
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1+ t |
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1+ t 2 |
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||||||||||
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123 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
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|
= 4∫ |
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
dt − 2∫ |
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
4 |
|
|
arctg |
t |
|
|
− |
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|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
+ 3 |
|
(t |
2 |
+ 1)(t |
2 |
+ 3) |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
−∫ |
(t2 |
+ 3) − (t2 + 1) |
dt |
2 |
|
|
= |
|
|
4 |
arctg |
|
t |
|
− ∫ |
|
d(t 2 + 1) |
+ |
∫ |
|
d(t 2 + 3) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(t |
2 |
+ 1)(t |
2 |
+ 3) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
t |
2 |
+ 1 |
|
|
t |
2 |
+ 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
= |
|
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4 |
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|
arctg |
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t |
− ln(t 2 + 1) |
+ ln(t 2 + 3) + C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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3 |
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3 |
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||||||
Replacing t by |
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tg |
x |
. Thus |
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|||||||||||||||||||
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2 |
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∫ |
2 − sin x |
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4 |
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1 |
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x |
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dx = |
|
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|
arctg( |
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tg |
|
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) |
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+ ln(2 |
+ cos x) |
|
+ C . |
|
|
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|
|
|
|
2 + cos x |
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22. ∫ |
|
sin x |
|
|
dx . |
|
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||||||||||
1+ sin x |
|
|
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|
x |
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||||||||||||||||||
Solution. We can use the substitution tg |
|
= t , however there is another |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
way: by transforming the integrand into |
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2 |
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sin x |
= |
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sin x(1 |
− sin x) |
|
|
= |
|
sin x(1 |
− sin x) |
|
= |
|
sin x |
|
− |
sin 2 |
x |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ sin x |
(1 |
+ sin x)(1− sin x) |
|
|
|
1− sin 2 |
|
x |
|
|
|
|
cos2 x |
|
cos2 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
= |
sin x |
|
− |
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1 |
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|
+ 1. |
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||||||||||||||||
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|
cos2 |
x |
|
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||||||||||||||||||||||||||
Then |
|
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|
cos2 x |
|
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sin x |
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sin x |
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dx |
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||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
∫ |
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|
|
|
|
dx |
= ∫ |
|
|
dx − |
∫ |
|
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|
+ ∫ dx = |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1+ sin x |
|
cos |
2 |
|
|
|
cos |
2 |
|
x |
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|
x |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
= −∫ |
|
d cos x |
|
− tg x + x + C = |
|
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1 |
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− tg x + x + C . |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
cos |
2 |
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|
x |
|
cos x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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23. ∫ sin 3 xdx .
3 cos4 x
Solution. Write the integral in the form:
∫ |
sin2 |
x sin xdx |
= ∫ |
(1−cos2 x) sin xdx |
. |
|
3 cos4 x |
3 cos4 x |
|||||
|
|
|
Since sin xdx =−d(cos x) , we could have used the substitution cos x = t . Thus
|
sin3 xdx |
|
(1− t2 )dt |
|
t2 dt |
|
dt |
2 |
|
− |
4 |
|
||
∫ |
= −∫ |
=∫ |
− ∫ |
=∫ t |
3 |
dt − ∫ t |
3 |
dt = |
||||||
3 cos4 x |
3 t4 |
|
3 t4 |
|
||||||||||
|
|
|
3 t4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
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124 |
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|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
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5 |
1 |
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5 |
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1 |
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||||||||||||||
|
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3 |
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|
+ 3t− |
|
|
|
+ C = |
|
3 |
|
cos |
|
x + 3cos− |
|
x + C. |
|
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|||||||||||||||||||||||
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|
= |
|
t 3 |
3 |
3 |
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
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5 |
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||||||
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|
24. ∫ |
cos x − sin x |
dx . |
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||||||||||||||||||||||
|
sin x + cos x |
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Solution. Since cos x − sin x = (sin x + cos x)′ , namely |
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∫ |
cos x − sin x |
dx = ∫ |
|
d(sin x + cos x) |
= ln | sin x + cos x | +C . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
sin x + cos x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
sin x + cos x |
|
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||||||||||||||||||||||
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|
Exercises for class and homework |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
Т.4 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
Find the integrals of trigonometric functions. |
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|
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|
1. ∫sin 3 x sin 2xdx . |
|
|
2. ∫ cos4 xdx . |
|
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|
3. ∫sin 3 xdx . |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
4. ∫ tg4 xdx . |
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
5. ∫ ctg6 xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. ∫sin 3 x cos4 xdx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7. ∫sin 6x sin 4xdx . |
|
|
8. ∫cos 9x sin 5xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
9. ∫sin 6x cos2 xdx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
10. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. ∫ |
|
sin x + 2 cos 2x |
dx |
. |
|
|
|
12. ∫ |
|
|
sin x |
|
|
dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1− ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x − sin 2x |
|
|
|
|
sin x + cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
13. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
15. ∫ |
cos2 |
xdx |
. |
|
|
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|
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|||||||||||||||||
|
|
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|
|
4 + 3 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 − 4 sin x + 7 cos x |
|
|
sin |
6 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
16. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
17. ∫ ctg3 xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
4 |
x cos |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
19. ∫sin x sin 4x cos 7xdx . |
|
|
|
20. ∫ |
cos2 |
xdx |
. |
|
|
|
|
|
21. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
sin x + cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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22. ∫ |
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dx |
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. |
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23. ∫ |
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dx |
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. |
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24. ∫ |
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dx |
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. |
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1 |
+ sin |
2 |
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x |
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4 sin |
3 x cos5 x |
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4 |
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+ tg x + |
4 ctg x |
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2 |
sin5 x + C . |
2. |
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3 |
x + |
1 |
sin 2x + |
1 |
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sin 4x + C . 3. − cos x + |
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1 |
cos3 x + C . 4. |
− tg x + |
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5 |
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32 |
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3 |
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+ |
1 |
tg3 x + C . |
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5. − |
1 |
ctg5 x + |
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1 |
ctg3 x − ctg x − x + C . |
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6. − |
1 |
cos5 x + |
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1 |
cos7 x + C . |
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3 |
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3 |
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5 |
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125 |
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http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
7. |
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1 |
sin 2x − |
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1 |
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sin10x + C . |
8. |
1 |
cos 4x − |
1 |
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cos14x + C . |
9. − |
1 |
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cos 6x − |
1 |
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cos8x − |
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20 |
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8 |
28 |
12 |
32 |
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− |
1 |
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cos 4x + C . |
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10. |
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x |
+ |
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1 |
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ln |
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cos x − sin x |
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+ C . |
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11. C − ln |
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cos x − sin 2x |
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. |
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16 |
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2 |
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2 |
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tg |
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x |
|
− 5 |
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||||||||||||||
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x |
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1 |
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4 |
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3 |
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12. |
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− |
ln |
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cos x + sin x |
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+ C . |
13. |
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x |
+ |
|
ln |
|
4cos x + 3sin x |
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+ C . |
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14. ln |
2 |
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+ C . |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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|
|
2 |
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25 |
|
25 |
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tg |
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|
x |
|
− 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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||||||||||
15. |
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− |
1 |
ctg3 x − |
1 |
|
ctg5 x + C . 16. |
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sin x |
|
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− |
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2 |
|
− |
1 |
+ |
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5 |
ln |
|
tg( |
π |
+ |
x |
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|
) |
+ C . |
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2cos2 x |
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sin x |
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2 |
|
|
2 |
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3 |
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5 |
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3sin3 x |
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4 |
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17. − |
|
1 |
|
ctg2 x − ln |
|
sin x |
|
+ C . |
|
|
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|
|
18. − |
|
|
1 |
ctg4 x − ctg2 x − ln |
|
ctg x |
|
+ C . |
|
|
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19. |
1 |
|
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sin10x + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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4 |
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40 |
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|
|||||||||
|
|
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|
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||||||||||||
+ |
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1 |
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sin10x + |
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1 |
sin 4x − |
1 |
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sin12x − |
1 |
sin 2x + C . |
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20. − |
cos x |
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− |
1 |
ln |
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tg |
x |
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+ C . |
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40 |
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16 |
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48 |
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8 |
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|
2sin2 x |
2 |
|
|
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|
2 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
x |
+ |
π |
) |
|
+ C . |
|
22. |
|
|
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1 |
|
|
|
acrtg( |
2 tg x) + C . |
|
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|
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23. 4 4 tg x + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ln |
|
tg( |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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8 |
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|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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2 |
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||||||||||||
24. |
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4 |
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x − |
3 |
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ln |
|
tg x + 2 |
|
|
+ |
|
|
2 |
|
|
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|
− |
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3 |
ln |
|
cos x |
|
+ C . |
|
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25 |
25 |
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5(tg x + 2) |
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25 |
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Individual test problems |
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Т.4 |
|
|
|
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|
|
|
||||||
4.1. Find the integrals of trigonometric functions. |
|
||||||||
4.1.1. а) ∫cos4 3x sin 2 3xdx ; б) ∫ |
|
|
tg xdx |
|
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в) ∫cos 3x cos xdx . |
|||
1 |
+ 4 tg |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
4.1.2. а) ∫cos3 x5 sin 4 xdx ;
4.1.3. а) ∫cos3 x sin8 xdx ;
4.1.4. а) ∫ cos3 xdx ;
3 sin 4 x
4.1.5. а) ∫ sin3 xdx ;
3 cos4 x
б) ∫ |
|
tg 2xdx |
; |
||
4 |
+ tg |
2 |
2x |
||
|
|
|
dx
б) ∫ sin3 x cos7 x
dx
б) ∫ 1+16 sin2 x ;
б) ∫ cos2 xdx ; sin8 x
в) ∫sin x cos 4xdx .
; в) ∫cos 7x cos 5xdx .
в) ∫sin 5x cos 3xdx .
в) ∫sin 3x sin 2xdx .
126
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
4.1.6. а) ∫ cos3 xdx ;
3 sin 2 x
4.1.7. а) ∫ sin 3 xdx ;
3 cos4 x
4.1.8. а) ∫ 3sin 3 xdx ; cos4 x
4.1.9. а) ∫ sin 3 xdx ;
5 cos2 x
4.1.10. а) ∫cos4 x sin 3 xdx ;
4.1.11. а) ∫8 cos5 x sin3 xdx ;
4.1.12. а) ∫cos4 x sin 2 xdx ;
4.1.13. а) ∫3 cos2 x sin 3 xdx
4.1.14. а) ∫3 sin 2 x cos3 xdx ;
4.1.15. а) ∫cos4 x sin 5 xdx ;
4.1.16. а) ∫cos4 x sin 6 xdx ;
4.1.17. а) ∫cos2 2x sin 4 2xdx ;
4.1.18. а) ∫cos3 x sin3 xdx ;
4.1.19. а) ∫ cos3 xdx ;
5 sin3 x
4.1.20. а) ∫ sin3 xdx ;
3 cos2 x
б) |
∫ |
|
|
|
|
|
sin 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
в) ∫sin 3x cos xdx . |
||||||||||||
sin |
4 |
x + cos |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
в) ∫sin 9x cos xdx . |
||||
7 + 8sin x + 6 cos x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) ∫ |
|
|
|
tg xdx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫cos 2x cos 3xdx . |
|||||||||||
|
9 |
− |
4 tg |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
б) ∫ |
(3 − sin x)dx |
; |
|
|
|
в) ∫sin 5x sin 7xdx . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫sin 4x cos 2xdx . |
||||||
|
|
9 |
+ cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
в) ∫sin x cos 9xdx . |
|||||||||
|
|
2 |
+ 5 cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
б) ∫ |
cos2 xdx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫sin 3x cos 2xdx . |
|||||||||||||||
|
|
|
sin |
5 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
; |
б) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫cos 5x cos xdx . |
|||||||
1+ 4 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ cos 4x cos 3xdx . |
||||||
|
|
5 + 4 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
б) ∫ sin−5 x cos−5 xdx ; |
в) ∫ sin 3x sin 8xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
б) ∫ |
(2 − 3sin x)dx |
; |
|
|
в) ∫ sin 6x sin 5xdx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 2 cos x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
в) ∫ cos 3x cos 7xdx . |
|||||||
|
|
sin |
3 |
x cos |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ cos 4x cos 9xdx . |
|||||||
|
|
4 |
− sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) ∫ sin 7x cos 2xdx . |
||||||
4 |
|
+ 4 sin x + 3cos x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
в) ∫ sin 4x sin12xdx . |
|||||||||
|
sin |
2 |
x cos |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
127
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
4.1.21. а) ∫ cos3 2xdx ;
3 sin 2 2x
4.1.22. а) ∫ sin 3 2xdx ;
3 cos2 2x
4.1.23. а) ∫ sin 3 xdx ;
3 cos4 x
4.1.24. а) ∫ 3cos3 xdx ; sin 4 x
4.1.25.а) ∫cos2 x sin 4 xdx ;
4.1.26.а) ∫5 cos3 x sin5 xdx ;
4.1.27.а) ∫cos5 x sin 4 xdx ;
4.1.28.а) ∫cos2 3x sin 4 3xdx ;
б) ∫ |
|
(3 + sin x)dx |
|
; в) ∫ sin 8x cos 2xdx . |
||||||||||||
|
4 + 3cos x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; в) ∫ sin x sin11xdx . |
||
6 |
|
+ 8sin x + 5 cos x |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
б) ∫ |
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
в) ∫ sin12x cos 6xdx . |
||||||
16 + tg x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
; в) ∫ cos11x cos 2xdx . |
||||
sin |
2 |
x cos |
6 |
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
; в) ∫ sin 8x sin 3xdx . |
||||
sin |
3 |
x cos |
2 |
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
в) ∫ cos 5x cos 8xdx . |
|||
|
25 − cos |
2 |
|
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; в) ∫ sin 6x cos 4xdx . |
|||||
sin |
7 |
x cos |
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
б) ∫ |
(2 + sin x)dx |
; |
|
в) ∫ cos 4x cos13xdx . |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 + cos x |
|
|
|
|
|
4.1.29. а) ∫cos3 x sin 4 xdx ; б) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; в) ∫ sin13x cos 3xdx . |
|
2 + 4 sin x + cos x |
||||||||
4.1.30. а) ∫sin3 x cos8 xdx ; |
б) ∫ |
|
dx |
|
|
; |
в) ∫ sin16x sin 2xdx . |
|
sin |
9 |
5 |
x |
|||||
|
|
|
x cos |
|
|
|
||
Topic 5. Integration of irrational functions |
||||||||
A rational function of x and |
a − x2 , a + x2 |
, |
x2 − a , n ax + b and so |
on can be integrated by using the algebraic and trigonometric substitutions. Integration of binomial differentials. Euler substitutions. Method by Ostrogradskiy.
Literature: [1, section 6, ch. 6.6], [2, section 2, ch. 2.1], [3, гл. 7, § 1], [4, section 7, § 22], [6, section 8], [7, section 10, §§10—11], [9, 1 part, § 33].
128
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
Main concepts |
Т.5 |
|
|
|
5.1. Integration of the quadratic irrationality
Consider the integrals
∫ |
dx |
, ∫ |
Ax + B |
dx , ( a ≠ 0 , D ≠ 0 ). |
|
ax 2 + bx + c |
ax 2 + bx |
||||
|
|
+ c |
These integrals can be found by the method illustrated in Examples 5, 6, 8 and 9 (see topic 3). First complete the square of the denominator and use the
substitution |
x + |
b |
= t |
. The first integral in this case transforms to the form: |
||||||
2a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∫ |
dz |
|
|
= ln z + z 2 ± m2 + C , if a > 0 , |
||||
|
|
z 2 ± m2 |
|
|
|
|||||
or |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∫ |
|
dz |
|
|
z |
||
|
|
|
m |
2 |
− z |
2 |
= arcsin m + C , if a < 0 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
and the second integral is expressed as the sum of simpler integrals.
5.2. Integration of
|
m |
|
r |
|
R x, x n |
,..., x s ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
r |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
ax + b n |
ax + b s |
|||||||||
R x,(ax + b)n |
,...,(ax |
+ b)s |
; R x, |
|
|
,..., |
|
|
|
. |
|||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cx + d |
cx + d |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Any rational function of x and |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
can be transformed into rational |
||||||||||||||
|
x n ,..., x s |
||||||||||||||||||||||||
function of t by the substitution |
|
x = tk , dx = ktt−1dt. |
Here |
k is the smallest |
|||||||||||||||||||||
multiple of the fractional denominators |
m |
,..., |
r |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||
A rational function of x and (ax + b) |
|
,...,(ax + b) |
|
|
can be transformed into |
||||||||||||||||||||
n |
s |
||||||||||||||||||||||||
rational function of t by the substitution ax + b = t k, dx = |
k |
t k – 1dt. Here k is |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
r |
|
a |
||
the smallest multiple of the fractional denominators |
|
,..., |
. |
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
+b |
n |
|
ax +b |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
,..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
can be transformed into rational |
||||||||||
The function R x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cx |
+d |
|
|
cx +d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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129 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
function of t by the substitution |
|
ax + b |
= tλ |
. Here k is the smallest multiple of |
|
cx + d |
|||||
|
|
|
|
the fractional denominators mn ,..., rs .
5.3. Integration of binomial differentials xm(a + bxn)pdx
Here m, n and p are rational numbers.
Case 1: p is an integer number. Let x = tk. Here k is a less general denominator of fractional powers m and n.
Case 2: |
m +1 |
is an integer number, let a + bxn = tk. Here k is a denominator |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
of fraction p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Case 3: |
|
m +1 |
+ p |
is an |
integer number. Let |
a + bxn |
|
= tk . Here k is a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
||||
denominator of fraction p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.4. Integration of |
R(x, |
ax2 +bx +c ) |
|
|
|
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|
||||||||||||||||
We shall consider three methods: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
The first Euler substitution |
|
|
ax2 + bx + c = t ± x a, (a > 0). |
|||||||||||||||||||||
The second Euler substitution |
ax2 + bx + c = tx ± |
c, (c > 0). |
||||||||||||||||||||||
The third Euler substitution |
ax2 + bx + c = t x − x |
|
(if x1 is the root of |
|||||||||||||||||||||
equation). |
|
|
|
|
|
|
|
|
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1 |
|
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|
||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.5. Integrals in the form ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(x + m) |
ax |
2 |
+ bx + c |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
The substitution |
x + m = |
1 |
|
turns this integral into the easy integral. |
||||||||||||||||||||
t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.6. Integrals in the form ∫ |
|
f (x)dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
F(x) ax |
2 |
+ bx + c |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Here |
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f (x) |
is a rational function of a single variable. This integral can be |
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F(x) |
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computed by partial fractions of |
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f (x) |
. |
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F(x) |
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