задачи / Документ Microsoft Word4

Симплекс-метод. Copyright © Semestr.RU Решим прямую задачу линейного программирования модифицированным симплексным методом. Определим минимальное значение целевой функции F(X) = - 2x₁ + 3x₂ - 3x₃ при следующих условиях-ограничений. x₁ + 3x₂ + x₃<=5 - 3x₁ + 3x₂ + x₃<=0 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). 1x₁ + 3x₂ + 1x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 5 -3x₁ + 3x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 0 Решение состоит из двух этапов. Первый этап - введение искусственного базиса (единичной матрицы) и поиск первого опорного плана (без учета целевой функции). Второй этап - поиск оптимального решения на основе целевой функции. Поскольку сразу имеем единичную матрицу, нет необходимости вводить дополнительный искусственный базис. Второй этап. Заменим вектор оценок С на целевую функцию. Имеем: Матрица коэффициентов A = a_ij

A =

1	3	1	1	0
-3	3	1	0	1

Матрица b.

b =

5 0

Итерация №1. Базисные переменные: = (4, 5)

B_4,5 =

1	0
0	1

Матрица c. c = (2, -3, 3, 0, 0) c_B(4,5) = (0, 0) c_N(1,2,3) = (2, -3, 3)

N_ =

1	3	1
-3	3	1

Вычисляем: Матрицу B^-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

B^-1 = 1/1

1	0
0	1

u = c_BB^-1 = (0, 0)

b^*_4,5 = B^-1 b =

5 0

Умножаем вектор u на матрицу N: uN = (0, 0, 0) c^* = c_N - uN = (2, -3, 3) Откуда номер направляющего столбца s = 3 (индекс максимального значения из положительных элементов).

(a_13 ... a_m3) =

1 1

a^* = B_-1 (a₁₃,...,a_m3)^T = (1, 0)^T min(5:1 = 5;0:1 = 0;) = 0 Откуда номер направляющей строки r = 2 (индекс минимального значения). Итерация №2. Базисные переменные: = (4, 3)

B_4,3 =

1	1
0	1

Матрица c. c = (2, -3, 3, 0, 0) min(5:4 = 1¹/₄;0:-3 = 0;) = 0 Итерация №3. Базисные переменные: = (4, 1)

B_4,1 =

1	1
0	-3

Матрица c. c = (11, -12, 0, 0, -3) min(5:1¹/₃ = 3³/₄;0:^-1/₃ = 0;) = 0 Итерация №4. Базисные переменные: = (4, 3)

B_4,3 =

1	1
0	1

Матрица c. c = (0, -1, 3²/₃, 0, ²/₃) min(5:4 = 1¹/₄;0:-3 = 0;) = 0 Итерация №5. Базисные переменные: = (4, 1)

B_4,1 =

1	1
0	-3

Матрица c. c = (11, -12, 0, 0, -3) min(5:1¹/₃ = 3³/₄;0:^-1/₃ = 0;) = 0 Итерация №6. Базисные переменные: = (4, 3)

B_4,3 =

1	1
0	1

Матрица c. c = (0, -1, 3²/₃, 0, ²/₃) min(5:4 = 1¹/₄;0:-3 = 0;) = 0 Итерация №7. Базисные переменные: = (4, 1)

B_4,1 =

1	1
0	-3

Матрица c. c = (11, -12, 0, 0, -3) min(5:1¹/₃ = 3³/₄;0:^-1/₃ = 0;) = 0 Итерация №8. Базисные переменные: = (4, 3)

B_4,3 =

1	1
0	1

Матрица c. c = (0, -1, 3²/₃, 0, ²/₃) min(5:4 = 1¹/₄;0:-3 = 0;) = 0 Итерация №9. Базисные переменные: = (4, 1)

B_4,1 =

1	1
0	-3

Матрица c. c = (11, -12, 0, 0, -3) min(5:1¹/₃ = 3³/₄;0:^-1/₃ = 0;) = 0 Итерация №10. Базисные переменные: = (4, 3)

B_4,3 =

1	1
0	1

Матрица c. c = (0, -1, 3²/₃, 0, ²/₃) min(5:4 = 1¹/₄;0:-3 = 0;) = 0 Итерация №11. Базисные переменные: = (4, 1)

B_4,1 =

1	1
0	-3

Матрица c. c = (11, -12, 0, 0, -3) min(5:1¹/₃ = 3³/₄;0:^-1/₃ = 0;) = 0 Итерация №12. Базисные переменные: = (4, 3)

B_4,3 =

1	1
0	1

Матрица c. c = (0, -1, 3²/₃, 0, ²/₃) min(5:4 = 1¹/₄;0:-3 = 0;) = 0 Итерация №13. Базисные переменные: = (4, 1)

B_4,1 =

1	1
0	-3

Матрица c. c = (11, -12, 0, 0, -3) min(5:1¹/₃ = 3³/₄;0:^-1/₃ = 0;) = 0 Итерация №14. Базисные переменные: = (4, 3)

B_4,3 =

1	1
0	1

Матрица c. c = (0, -1, 3²/₃, 0, ²/₃) min(5:4 = 1¹/₄;0:-3 = 0;) = 0 Итерация №15. Базисные переменные: = (4, 1)

B_4,1 =

1	1
0	-3

Матрица c. c = (11, -12, 0, 0, -3) min(5:1¹/₃ = 3³/₄;0:^-1/₃ = 0;) = 0 Итерация №16. Базисные переменные: = (4, 3)

B_4,3 =

1	1
0	1

Матрица c. c = (0, -1, 3²/₃, 0, ²/₃) min(5:4 = 1¹/₄;0:-3 = 0;) = 0 Итерация №17. Базисные переменные: = (4, 1)

B_4,1 =

1	1
0	-3

Матрица c. c = (11, -12, 0, 0, -3) min(5:1¹/₃ = 3³/₄;0:^-1/₃ = 0;) = 0 Итерация №18. Базисные переменные: = (4, 3)

B_4,3 =

1	1
0	1

Матрица c. c = (0, -1, 3²/₃, 0, ²/₃) min(5:4 = 1¹/₄;0:-3 = 0;) = 0 Итерация №19. Базисные переменные: = (4, 1)

B_4,1 =

1	1
0	-3

Матрица c. c = (11, -12, 0, 0, -3) min(5:1¹/₃ = 3³/₄;0:^-1/₃ = 0;) = 0