Загальна фізика / Практичні заняття / Методичні вказівки до практичних занять з фізики №2

Перевiримо розмiрнiсть отриманої величини у вiдповiдi, враховуючи, що магнiтна стала має розмiрнiсть Н/А2

		[BM1 ] =	"	Н		А	!# = [Н/(А м)] = [Тл].	(188)
				2
				А ·		м
		~
Знайдемо вектор BM2				B~ M2 = B~ 1′ + B~ 2′ ,
								(189)
де B~ M′	1 i B~ M′	2 – вектори магнiтної iндукцiї, якi iндукуються в точцi M2 вiд-

повiдно струмами I1 та I2, якi течуть по прямих паралельних нескiнченних провiдниках (рис. 9).

Модулi векторiв B~ M′	1	i B~ M′		2 , як i ранiше, визначаються за формулами
B′		=	µ0 µ I1		;	B′	=	µ0 µ I2	,	(190)
1			2π r3			2		2π r4

де r3 = M2A = 0, 05 м; r4 = M2B = 0, 12 м – вiдстанi вiдповiдно вiд провiдникiв зi струмами I1 та I2.

Оскiльки вектори B~ M′

1

, B~ M′

2

неколiнеарнi, (рис. 9) модуль вектора B~ M2

знайдемо, використавши теорему косинусiв

BM2 = q

(B1′ )2 + (B2′ )2 + 2 B1′

B2′

cos ϕ ,

(191)

де ϕ – кут мiж векторами B~ M′

1

i B~ M′

2 .

~

Отже, вектор BM2 дорiвнює

2 = v

B

M

I12

+

I22

+

2 I1 I2

cos ϕ .

(192)

2

u

r

2

r3 r4

u r

3

4

u

t

Знайдемо cos ϕ =

6

AM2B

в трикутнику AM2B, використавши теорему

косинусiв,

(AB)2 = r32 + r42 − 2 r3 r4 cos ϕ .

Звiдки

(193)

r32 + r42 − (AB)2

cos ϕ =

.

(194)

2 r3 r4

Знайдемо числове значення cos ϕ

cos ϕ =

52 + 122 − 102

=

23

= 0, 575.

(195)

2 · 5 ·

12

40

~

дорiвнює

Згiдно з формулою (154) числове значення модуля вектора BM2

4π · 10−7

v

BM2 =

202

+

302

+

2 · 20 · 30

0, 575 = 943, 4

10−7 [Тл] .

2

2

2π

u

0, 05

0, 12

0, 05

0, 12 ·

·

u

·

t

(196)

41

Вiдповiдь: BM1 = 2, 5 · 10−4 Тл ; BM2 = 943, 4 · 10−7 Тл.

Задача №14. Вздовж кiльця з мiдного провiдника з площиною перерiзу 1 мм2 йде струм величиною 10 А. В розрив кiльця включена рiзниця потенцiалiв 0,15 В. Знайти iндукцiю магнiтного поля в центрi кiльця.

I	=	10 А	I	=	10 А
S =		1 мм2	S =		10−6 м2
U	=	0,15 В	U	=	0,15 В
ρмдн	=	0, 17 · 10−7 Ом · м2	ρмдн	=	0, 17 · 10−7 Ом · м2
µ0	=	4 · 3, 14 · 10−7 Н/А	µ0	=	4 · 3, 14 · 10−7 Н/А
µ	=	1	µ	=	1
			B	=	?

~
З визначення модуль вектора B магнiтної iндукцiї в центрi кiльця радiусом
r, по якому тече струм I, дорiвнює
µ0		µ I
B =			.	(197)
	2 r

Згiдно з законом Ома для дiлянки кола, яка включає опiр R (в даному випадку R – опiр всього кiльця) i рiзницю потенцiалiв U , можна написати рiвняння

U = I R .

(198)

Опiр R мiдного провiдника пропорцiйний довжинi l провiдника i обернено пропорцiйний площi S поперечного зрiзу провiдника

	R = ρ	l	,	(199)
		S

де l – довжина провiдника, в даному випадку – це довжина кiльця радiусом r, яка дорiвнює

			l = 2π r .
Звiдки	2π r			I 2π r
R = ρ		,	U = I ρ		.
	S			S

З останньої формули знайдемо радiус r мiдного кiльця

	r =		U S		.
			I 2π ρ
Звiдки остаточно отримаємо, що
	µ µ I			µ µ π ρ I2
B =	0		=	0		.
	2 r				U S

(200)

(201)

(202)

(203)

42

= АН· м = Тл .

[Тл] = 44 · 10−6

Пiсля пiдстановки числових значень отримаємо

B = 4 · 3, 14 · 10−7 · 1 · 3, 14 · 0, 17 · 10−7 · 102 0, 15 · 10−6

	Перевiримо розмiрнiсть отриманої величини, враховуючи,
	вектора магнiтної iндукцiї дорiвнює [B] =				Н
					А · м
	[B] =	Н · Ом · м · А2	=	Н · Ом · м · А2
		А2 · В · м2		А2 · А · Ом · м2

Вiдповiдь: B = 44 · 10−6ι Тл.

[Тл] . (204)

що розмiрнiсть

(205)

Задача №15. Напруженiсть магнiтного поля H в центрi колового витка, радiус якого r = 10 см, дорiвнює H = 40 А/м. Визначити вiдстань на осi симетрiї витка вiд центра витка до точки, де напруженiсть магнiтного поля не перевищує значення H1 ≤ 15 А/м.

H	=	40 А/м		H	=		40 А/м
r	=	10 см		r	=		0,1 м
H1	≤	15 А/м	2	H1	≤		15 А/м	2
µ0	=	4 · 3, 14 · 10−7	Н/А	µ0	=	4 · 3, 14 · 10−7		Н/А
µ	=	1		µ	=	1
				r1	≤	? ~
Вiдомо, що модуль вектора магнiтної iндукцiї B в центрi колового витка
дорiвнює						µ0 µ I
				B =			.	(206)
						2 r

	Окiльки напруженiсть магнiтного поля H =			B		, напруженiсть магнiтного
				µ µ
	поля в центрi колового витка дорiвнює			0
	H =	I	.			(207)
		2 r

Звiдки можна знайти струм вздовж витка, який утворює, згiдно з умовою

задачi, напруженiсть H = 40	А/м в центрi колового витка
	I = 2 H r .	(208)
Тобто, струм, що тече вздовж витка, дорiвнює величинi
I =	2 · 40 · 0, 1 [м] = 8 [м] .	(209)

43

Вiдомо, що напруженiсть магнiтного поля H1 в точцi на осi симетрiї колового витка на вiдстанi r1 вiд площини кiльця дорiвнює

		I r2
H1 =			.	(210)
	r(2 (r2 + r12))3

Звiдки знайдемо, на якiй вiдстанi r1 вiд площини кiльця напруженiсть поля не буде перевищувати значення H1 ≤ 15 А/м

або

Звiдки

					4			r2
					√3			r2
						4
	r	+ r1	= v
					I2 r4
	2	2	u
					2
			3		4 H1
			u
			t

+ r12 3 H12 = I2 r4 ,

	3			3
+ r12 qH12 = √I2 r4 .
							2		4		1/3
				2			I r					2
				v
		r1		= u			4 H		2		−	r	.
				u					1
				u
				t

(211)

(212)

Пiсля пiдстановки числових значень, отримаємо

	v		82		0, 14			1/3			2
r1	= u		4	·	15	2			−	0, 1		[м]		0, 6 [м] .	(213)
	u
	u			·
	t

Отже, вiдстань вiд площини витка не повинна перевищувати значення 0, 6 м, щоб напруженiсть магнiтного поля не перевищувала значення 15 А/м. Перевiримо розмiрнiсть вiдповiдi

v

А2

·

м4

1/3

м

2

6

)

1/3

м

2

= м .

(214)

[r1] = u

2

= (м

u

(А/м)

−

r

−

u

u

t

Вiдповiдь: r1 ≤ 0, 6 м .

Задача №16. Вздовж провiдникової рамки, яка має форму рiвнобiчного п’ятикутника, тече струм I = 100 А. Довжина сторони п’ятикутника a = 10 см. Визначи-

~

ти iндукцiю B магнiтного поля в центрi п’ятикутника – в точцi, яка розташована на рiвних вiдстанях вiд всiх зарядiв, що розташованi у вершинах п’ятикутника.

44

I	=	100 А	I	=	100	А
a	=	10 см	a	=	0, 1	м
			B	=	?

Кожна сторона п’ятикутника, по якiй те-
~	~

че струм I = 100 А, iндукує магнiтне поле Bi. Вектори магнiтної iндукцiї Bi

в центрi п’ятикутника вiд кожного з однакових струмiв I, однаковi за модулем i спрямованi (згiдно з правилом правого гвинта) перпедикулярно до

~

площини п’ятикутника (рис. 10). Тому модуль вектора B згiдно з принципом

~

суперпозицiї полiв дорiвнює алгебраїчнiй сумi модулiв векторiв Bi

~

5

~

5

B =

X

Bi

B =

X

Bi.

(215)

i

−

1

i

−

1

~

тотожньо дорiвнюють один

Враховуючи те, що кожний з п’яти векторiв Bi

одному, останнiй вираз приймає вигляд

B = 5 B1.

(216)

~

Модуль вектора Bi визначається за формулою

B1 =

µ0 µ I

(cos α1

− cos α2),

(217)

4π r0

де вiдстань r0, кути α1 та α2 вiдображенi на рис. 10.

Враховуючи, що α2 = π − α1 (рис. 10), i те, що cos α2 = − cos α1, формулу

(162) можна представити у виглядi

µ0 µ I

5 µ0 µ I

B1 =

· cos α1

B =

· cos α1 .

(218)

2π r0

2π r0

2π

Знайдемо r0 та α1 з рiвнобiчного трикутника AOC: кут

6

AOC = ϕ =

=

5

72o, тому кут α1 =

2π − ϕ

= 54o. Найкоротша вiдстань вiд центра п’ятикутника

2

до його сторони дорiвнює (рис. 10)

a

r0 =

tg α1 .

(219)

2

Звiдки

5 π µ0 µ I

B =

cos 54o.

(220)

π a tg 54o

Пiдставивши числовi значення, отримаємо величину модуля вектора магнiт-

~
ної iндуцiї B в центрi п’ятикутного провiдника зi струмом (у вакуумi µ = 1)
B =	5 · 4 π · 10−7 · 1 · 100 · 0, 59					= 0, 85	·	10−3	[Тл] .	(221)
	π	·	0, 1	·	1, 38

45

Перевiримо розмiрнiсть отриманої величини

	H А		= "	H	# = [Тл].
	А2					(222)
[B] =	м			А м

Вiдповiдь: B = 0, 85 · 10−3 Тл .

Задача №17. Металевий стержень (провiдник) довжиною l =15 см розташований перпендикулярно до нескiнченно довгого прямого провiдника, по якому тече струм I = 2 А. Знайти силу, яка дiє на стержень, з боку магнiтного поля, яке утворюється провiдником, якщо по стержню тече струм I1 = 0, 5 А, вiдстань вiд нескiнченно довгого провiдника до найближчого кiнця стержня дорiвнює r = 5 см.

I	=	2 А	I	=	2 А
l	=	15 см	l	=	15 · 10−2 м
r	=	5 см	r	=	5 · 10−2 м
I1	=	0, 5 А	I1 =		0, 5 А
µ0	=	4 · 3, 14 · 10−7 Н/А2	µ0	=	12, 56 · 10−7 Н/А2
µ	=	1	µ	=	1
			F	=	?

За законом Бiо-Савара-Лапласа струм I, який тече вздовж нескiнченно довгого провiдника (рис. 11), утворює магнiтне поле. Причому напрям вектора магнiт-

~

ної iндукцiї B визначається за правилом правого гвинта i на довiльнiй вiдстанi вiд провiдника лежить в площинi, яка є перпендикулярною до напряму струму в провiднику.

Тобто, якщо струм I в провiднику тече вертикально до долу, то в усiх точках,

~

якi лежать на стержнi, вектор Bx направ-

лений перпендикулярно до нього i до нас. Рис. № 10:

~

Модуль вектора Bx в довiльнiй точцi x на стержнi згiдно з законом Бiо- Савара-Лапласа дорiвнює

	µ0 µ I
Bx =	2π x .	(223)

46

На нескiнченно малий вiдрiзок стержня dx, який знаходиться на деякiй довiльнiй вiдстанi x вiд нескiнченно прямого провiдника згiдно з законом

~

Ампера, дiє сила dFА, модуль якої пропорцiйний струму I1, що тече вздовж

~

стержня, i пропорцiйний модулю вектора магнiтної iндукцiї Bx в данiй точцi стерженя на вiдстанi x вiд нього i дорiвнює

	dFА = I1 Bx dx sin α ,			dFА =	µ0 µ I I1 dx	,	(224)
					2π x
	~	~					0
де α – кут мiж векторами Bx i dx, який за умовою даної задачi дорiвнює 90 ,
i тому sin α = 1.		~
	Всi нескiнченно малi сили dFА за правилом векторного добутку векторiв
~	~

Bx та dx (правилу лiвої руки) лежать в площинi рисунка i спрямованi верти-

кально до гори. Тому модуль сумарної сили FА дорiвнює сумi всiх нескiнченно

~

малих сил dFА, коли x пробiгає значення вiд r до r + l або

r+l	r+l µ µ I I1 dx			µ0 µ I I1	r+l
FА = Z	dFА = Z	0	=		Z
		2π x		2π
r	r				r

Пiсля iнтегрування маємо

dxx . (225)

µ0 µ I I1

ln x|rr+l =

µ0 µ I I1

r + l

FА =

ln

.

(226)

2π

2π

r

Пiсля пiдстановки числових значень отримаємо

F

А

=

4 · 3, 14 · 10−7 · 1 · 2 · 0, 5

ln

5 · 10−2 + 15 · 10−2

[Н] = 2, 8

·

10−7

[Н] .

2

·

3, 14

5

·

10

−

2

(227)

Перевiримо розмiрнiсть вiдповiдi

[FА] =

Н · А2

= Н .

(228)

А2

Вiдповiдь: FА = 2, 8 · 10−7 Н.

Задача №18. В однорiдному магнiтному полi, iндукцiя якого становить

~	0	з вертикал-
B = 2 Тл (вектор магнiтної iндукцiї B складає кут α = 30

лю), вертикально вгору починає рухатися прямий провiдник масою m = 2 кг, вздовж якого тече струм I = 4 А. Через t=3 с пiсля початку руху провiдник має швидкiсть v=10 м/с. Визначити довжину провiдника.

47

B	=	2 Тл
I	=	4 А
α	=	300
m =		2 кг
t	=	3 с

v= 10 м/с

l = ?

На провiдник, що рухається в магнiтному полi, дiють (рис.12) двi сили:
			~
сила тяжiння p~ = m ~g та сила Ампера FА, напрям якої визначається за пра-
		~	~
вилом векторного добутку векторiв l та B (за правилом лiвої руки). Причому,
~			~	~
напрям вектора FА	перпендикулярний до векторiв l та B (рис. 12), а модуль
~
сили FА дорiвнює
FА = I l B sin β = I l B ,		(229)
де l та β = 900 – вiдповiдно шукана дов-
жина провiдника, що рухається в магнiт-
	~		~
ному полi, та кут мiж векторами l та B.
~
Вектор FА можна розкласти на два
	~		та
компоненти: вздовж осi OX – FАx
~	~	дiє на
вздовж осi OZ – FАz . Вектор FАx
провiдник в напрямку, який є перпенди-
кулярним до вектора швидкостi провiд-

ника i при розглядi руху провiдника вздо-

~
вж вертикалi вгору складову силу FАx можно не враховувати. Складова сила
~	Рис. № 11:
FАz визначає рух провiдника вздовж осi OZ. Модуль цiєї сили дорiвнює
FАz = FА cos γ = FА sin α ,	(230)

де γ = 900 − α – кут мiж вiссю OZ та вектором FА.

Згiдно з другим законом Ньютона, прискорений рух провiдника вздовж

	~
осi OZ вiдбувається завдяки дiї рiвнодiючої сил ~p = m~g та FАz . Тобто
~	~	(231)
FАz − p~ = FАz − m~g = m~a .

Враховуючи, що FАz = I l B sin α, перепишемо рiвняння Ньютона в скалярному виглядi (проекцiя на вiсь OZ)

I l B sin α − m g = m a .			(232)
Звiдки
l =	m(a + g)	.	(233)
	I B sin α

48

49

Прискорення руху провiдника a знайдемо з рiвняння a = v/t. Тодi остаточно довжина провiдника дорiвнює

		l =	m(v/t + g)				.		(234)
			I B sin α
	Пiсля пiдстановки числових величин отримаємо
	l =	2(10/3 + 9, 8)			[м] = 6, 55 [м] .				(235)
		4 · 2 · 0, 5
	Перевiримо розмiрнiсть вiдповiдi
	[l] =	кг · м/с2			=	Н · А · м		= м .	(236)
		А · Н/(А · м)				А · Н

Вiдповiдь: l = 6, 55 м .

Задача №19. В однорiдному магнiтному полi, iндукцiя якого дорiвнює B = 0, 6 Тл, рiвномiрно перемiщується провiдник довжиною l = 20 см, розташований перпендикулярно до силових лiнiй магнiтного поля (β = 900). По провiднику тече струм I = 4 А. Знайти швидкiсть, з якою необхiдно перемiщувати провiдник, яка складає кут 300 до лiнiй магнiтного поля, щоб потужнiсть p, з якою буде перемiщено провiдник, не перевищувала б величину 1 Вт.

B	= 0, 6 Тл		B	= 0, 6 Тл
l	=	20 см	l	=	0, 2 м
β	=	900	β	=	900
α	=	300	α	=	300
p ≤ 0, 1 Вт			p ≤ 0, 1 Вт
			v	=	?

Вiдомо, що сила, з якою магнiтне поле дiє на провiдник зi струмом, це

~

сила Ампера FА, яка дорiвнює

~	~ ~	FА = l B sin β = I B ,	(237)
FА == I	l, B

де β = 900 (sin β = 1) – кут мiж напрямом провiдника та вектором магнiтної

~
iндукцiї B.
	~
Вiдомо, що потужнiсть p, яку необхiдно розвинути проти сили Ампера FА
для рiвномiрного перемiщення провiдника в магнiтному полi, дорiвнює
p = ~v F~ = − ~v F~А = −FА v cos γ,	(238)

		~
де γ – кут мiж векторами швидкостi та сили F . Знак ”−” свiдчить про те,
~	~	~	~
що зовнiшня сила F	спрямована проти сили FА. Тобто F = −FА.

Виходячи з визначення сили Ампера як векторного добутку, можна ствер-

~		~	~
джувати, що FА є перпендикулярним до векторiв B та l, кут γ дорiвнює
γ = 900 − α		cos γ = sin α = sin 300 = 0, 5.		(239)

Тому потужнiсть, яку необхiдно розвинути для перемiщення провiдника в напрямку проти сили Ампера, дорiвнює

p = −FА v cos γ = −0.5 I l B v.

(240)

Знак ”-” свiдчить про те, що роботу по перемiщенню провiдника у магнiтному

~

полi виконує зовнiшня сила F (тобто виконуємо ми), яка спрямовона проти

~ ~

сили Ампера F = −FА.

Звiдки швидкiсть, з якою перемiщується провiдник, щоб потужнiсть не

перевищувала значення 0,1 Вт, не повинна перевищувати значення
0, 1 ≥ −0.5 I l B v		−v ≤	0.1	.	(241)
			0.5 I l B

Знак ”– ” перед швидкiстю говорить про те, що вона спрямована у протилежний бiк порiвняно з напрямом сили Ампера.

Пiсля пiдстановки числових значень, отримаємо, що модуль швидкостi не бiльше, нiж

0.1

v ≤ 0.5 · 4 · 0, 2 · 0, 6 0, 42 [м/с].. (242) Перевiримо розмiрнiсть отриманого значення

[v] =	Дж/с		=	Н м/с	= м/с.	(243)
	A · м · Н/А м			A · м · Н/(А м)
Вiдповiдь: v ≤ 0, 42	м/с.

Задача №20. Провiдний квадратний контур зi стороною a = 10 см, по якому тече струм I = 100 А, вiльно установився в однорiдному магнiтному полi B = 1 Тл. Визначити роботу A, яку виконують зовнiшнi сили, для повороту провiдного контуру вiдносно осi, яка проходить крiзь його середину i середини його протилежних сторiн на кути: 1) ϕ1 = 90o i 2) ϕ2 = 3o. При обертаннi контуру струм в ньому залишається незмiнним.

50