a

3.2. ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ

Література: [1, розділ 6, п. 6.8]; [2, розділ 5, п. 5.4]; [3, розділ 3, п. 3.4.4]; [4, розділ 3, глава 8, п. 8.1, 8.2]; [8, розділ 2, п. 2.13]; [11, розділ 2, п. 2.13]; [13, розділ 6, § 19]; [15, розділ 3, § 6, 7]; [16, розділ 6, п. 6.5].

Індивідуальне завдання 3.2

У задачах 1-3 [16] знайти границі, використовуючи правило Лопіталя.

Задача 1

1.

lim

ln(

x + 5)

.

2.

lim

aln x - x

.

x®¥

4 x + 3

x®1 x -1

3.

lim

lg x - x

.

4.

lim

1 - 4sin 2

(px / 6)

.

1 - x2

x®0 x - sin x

x ® 1

5.

lim (a1/ x -1)x.

6.

lim (p - 2arctgx) ln x.

x®¥

x ® ¥

7.lim arcsin x - a × ctg(x - a).

x ® a

9.

lim

1 - cos x2

.

2 - sin x2

x®0 x

1 / x

2

-1

11.

lim

e

.

-p

x ® ¥ 2arctg x2

13.

lim

x cos x - sin x

.

x®0

x3

15.

lim

1

- x

.

x ®1 1 - sin(px / 2)

17.

lim

sin x

.

- cos x

x ® 0 1

19.

lim

(1/ cos2 x) - 2tgx

.

1 + cos 4x

x ®p / 4

21.

lim

tgx

.

x® p / 2 tg5x

23.lim (1 - x)tg(px / 2).

x® 1

3		1		+ 2x		+ 1	.
25. lim
x®-1			2 + x + x

	æ			1			x		ö
8.	limç					-			÷.
	x®1è ln x						ln x ø
10.	lim			tgx - x				.
	x ® 0 2sin x + x
12.	lim	x3 - 2x2 - x + 2								.
				x3		- 7x + 6
	x®1

14. lim ex .

x®¥ x5

16.lim ln x .

x® ¥ 3 x

18.	lim	p / x		.
	x ®0 ctg(px / 2)

20.lim ln(sin mx) .

x® 0 ln(sin x)

22. lim (1 - cos x)×ctgx.

x ®¥

24.lim x sin(3/ x).

x® ¥

26. lim x cos x - sin x .

x®0 x3

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

49

27.

lim

1 - x

.

- sin(px / 2)

x ®1 1

29.

lim

tg3x

.

x ® p / 2 tg5x

Задача 2

1. lim

1 - cos8x

.

x®0

tg2 2x

3.

lim ln x × ln( x -1).

x®1

5.

æ

1

1

ö

limç

-

÷.

x®1èç 2(1 - x )

3(1 - 3

x )ø÷

7.

æ

x

p

ö

lim

ç

-

÷.

ç

÷

x ® p / 2è ctgx

2cos x ø

9.

lim

x - arctgx

.

x®0

x3

11.

lim

1 - 2sin x

.

x ® p / 6

cos3x

13.

lim

a x -1

.

-1

x®0 c x

15.

lim

ln x

.

x®1 ctgx

17.

lim

x - a

.

x®a xn - an

19.

æ

1

-

5

ö

lim

ç

÷.

x ®3è x - 3 x2 - x - 6 ø

21.

lim(1 - e2 x )× ctgx.

x®0

23.

lim

e x

-1 - x3

.

x ®0

sin 2 2x

2 )

25.

lim

ln(1 + x

.

x ®0 cos3x - e- x

27.

lim

ln(x + 7

)

.

x®+¥

7 x - 3

29.

lim(1 - cos 2x)× ctg4x.

x®0

28.lim tgx - sin x .

x® 0 4x - sin x

	30. lim	sec2 x - 2tgx	.
		1 + cos 4x
	x ® p / 4

		æ a ö
2.	lim x4 sinç			÷.
	x®¥	è x ø
4.	lim (x ln x).
	x®0

6.lim eax - ebx .

		x ®0			sin x
	8.	lim(p - x)					æ x			ö
							× tgç			÷.
									2
		x®p					è			ø
	10.	lim				1- sin ax					.
		x ® p /(2a )				(2ax -p )2
	12.	lim			e2x -1				.
		x®0 ln(1 + 2x)
	14.	lim			ln x		.
		x®11 - x3
	16.	lim	1 - cos ax					.
		x ®0 1 - cosbx

18.lim e x -1.

x®0 sin 2x

20.	æ		1			-		1	ö
	lim ç								÷.
								x2
	x ®0è x sin x								ø
22.	lim		a x		- b x		.
	x®0 x 1 - x2

24.lim ea x -1.

x®0 sin bx

26.	lim			ex	.
	x®¥ x5
28.	lim			p / x					.
					(5x / 2)
	x ® 0 ctg
		æ				b ö
30.	lim	ç x2 sin					÷.
	x ®¥è					x ø

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

50

Задача 3

1. lim arcsin 4x .

x®0 5 - 5e-3x

3.	lim		e x 2 -	1	.
	x®0 cos x -1
5.	lim	etgx -1		.
	x®0 tgx - x

7.	lim	cos x × ln(x - a)				.
	x®a		ln(ex - ea )
9.	lim		cos(ex2 -1)		.
			cos x -1
	x ® 0
11.	lim		xm - am	.
	x®a xn - an

13.lim 3tg4x -12tgx . x®0 3sin 4x -12sin x

15.	lim		x(ex +1) -			2(ex -1)	.
				x3
	x ® 0
			a x - asin x
17.	lim				.
			x3
	x®0

19.lim ln(cos ax). x®0 ln(cos bx)

æ 1

1

ö

21.

lim ç

-

÷.

x®0è x

e x -1ø

23.

lim

ln(1 + xex )

.

x ® 0 ln( x +

1 + x2 )

25.

lim

e4 / x2

-1

.

- p

x®¥ 2arctgx2

æ

x

1

ö

27.

lim

ç

-

÷.

x ®1/ 2è

3x -1 ln 3x ø

29.

lim x

3e-x .

x®¥

2. lim ln cos x .

x®0 x

4.lim ex - x -1 - (x2 / 2) .

x® 0 cos x -1 - (x2 / 2)

6.

lim

ln(1 - x)+ tg(px / 2)

.

x ® 1

ctgpx

8.

lim

1

.

× ln 1(- x)

x ®1 cos(px / 2)

10.

lim

eax

- cos ax

.

- cosbx

x®0 ebx

12.

lim x × sin

a

.

x®¥

6x

-1

.

14.

lim

tgx

x®p / 4 2sin 2 x -1

16.

lim

arcsin 2x - 2arcsin x

.

x®0

x3

18.

lim (tgx)tg2 x .

x®p / 4

-1

20.

lim

3

tgx

.

x®p / 4 2sin 2 x -1

22.

lim x2 × e-0,01x .

x®¥

24.

lim (1 - x)log 2 x .

x®1

26. lim ln 2x × ln(2x -1).

x®1/ 2

28.lim arcsin x × tgx.

x®0

30. lim(x -1)x-1.

x®1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

51