Моделирование систем / Лекции / P-схемы
.docДИСКРЕТНО-СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ (P-СХЕМЫ)
Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе к формализации процесса функционирования исследуемой системы S. Поскольку сущность дискретизации времени при этом подходе остается аналогичной рассмотренной в конечных автоматах, то влияние фактора стохастичности проследим также на разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастических) автоматах.
Основные соотношения. В общем виде вероятностный автомат (англ. probabilistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.
Применение схем вероятностных автоматов (Р-схем) имеет важное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям.
Введем математическое понятие Р-автомата, используя понятия, введенные для F-автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары , где и - элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции и , что с их помощью осуществляются отображения и , то говорят, что определяет автомат детерминированного типа.
Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть F - множество всевозможных пар вида , где - элемент выходного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве F некоторый закон распределения следующего вида:
Элементы из F |
… |
||||
… |
При этом , где - вероятности перехода автомата в состояние и появления на выходе сигнала , если он был в состоянии и на его вход в этот момент времени поступил сигнал . Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов называется вероятностным автоматом (Р-автоматом).
Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z, что можно представить соответственно в виде:
Элементы из Y |
… |
||||
… |
|||||
Элементы из Z |
… |
||||
… |
При этом и , где и - вероятности перехода Р-автомата в состояние и появления выходного сигнала при условии, что Р-автомат находился в состоянии и на его вход поступил входной сигнал .
Если для всех k и j имеет место соотношение , то такой Р-автомат называется вероятностным автоматом Мили. Это требование означает выполнение условия независимости распределений для нового состояния Р-автомата и его выходного сигнала.
Пусть теперь определение выходного сигнала Р-автомата зависит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющее следующий вид:
Элементы из Y |
… |
||||
… |
Здесь , где - вероятность появления выходного сигнала при условии, что Р-автомат находился в состоянии .
Если для всех k и i имеет место соотношение , то такой Р-автомат называется вероятностным автоматом Мура.
Возможные приложения. Понятие Р-автоматов Мили и Мура введено по аналогии с детерминированным F-автоматом, задаваемым . Частным случаем Р-автомата, задаваемого как , являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано. Если выходной сигнал Р-автомата определяется детерминировано, то такой автомат называется Y-детерминированным вероятностным автоматом. Аналогично, Z-детерминированным вероятностным автоматом называется Р-автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.
Пример 1. Рассмотрим Y-детерминированный P-автомат, который задан таблицей переходов (табл. 6) и таблицей выходов:
… |
|||||
… |
Таблица 6
В этих таблицах - вероятности перехода Р-автомата из состояния в состояние . При этом, как и ранее, .
Таблицу 6 можно представить в виде квадратной матрицы размерности , которую будем называть матрицей переходных вероятностей или просто матрицей переходов Р-автомата. В общем случае такая матрица переходов имеет вид
.
Для описания Y-детерминированного Р-автомата необходимо задать начальное распределение вероятностей вида:
… |
|||||
… |
Здесь - вероятность того, что в начале работе Р-автомат находится в состоянии . При этом .
Будем считать, что до начала работы (до нулевого такта времени) Р-автомат всегда находится в состоянии и в нулевой такт времени меняет состояние в соответствии с распределением D. Дальнейшая смена состояний Р-автомата определяется матрицей переходов . Информацию о начальном состоянии Р-автомата удобно внести в матрицу , увеличив ее размерность до . При этом первая строка такой матрицы, сопоставляемая состоянию , будет иметь вид , а, первый столбец будет нулевым.
Описанный Y-детерминированный Р-автомат можно задать в виде ориентированного графа, вершины которого сопоставляются состояниям автомата, а дуги - возможным переходам из одного состояния в другое Дуги имеют веса, соответствующие вероятностям перехода , а около вершин графа пишутся значения выходных сигналов, индуцируемых этими состояниями.
Очевидно, что с точки зрения математического аппарата задание Y-детерминированного Р-автомата эквивалентно заданию некоторой дискретной марковской цепи с конечным множеством состояний. Поэтому аппарат марковских цепей является основным при использовании Р-схем для аналитических расчетов.
Пример 2. Пусть задан Y-детерминированный Р-автомат
Z |
|||||
Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
На рис. 7 показан граф переходов этого автомата. Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого Р-автомата в состояниях и .
Рис. 7. Граф вероятностного автомата
При использовании аналитического подхода можно записать известные соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнении для определения финальных вероятностей. При этом начальное состояние можно не учитывать, так как начальное распределение не оказывает влияния на значения финальных вероятностей. Тогда имеем
; ,
где - финальная вероятность пребывания Р-автомата в состоянии .
Получаем систему уравнений
Добавим к этим уравнениям условие нормировки . Тогда, решая систему уравнений, получим , , , . Таким образом, . Другими словами, при бесконечной работе заданного в этом примере Y-детерминированного Р-автомата на его выходе формируется двоичная последовательность с вероятностью появления единицы, равной .
Подобные Р-автоматы могут использоваться как генераторы марковских последовательностей, которые необходимы при построении и реализации процессов функционирования систем S или воздействий внешней среды Е.
Для оценки различных характеристик исследуемых систем, представляемых в виде Р-схем, кроме рассмотренного случая аналитических моделей можно применять и имитационные модели, реализуемые, например, методом статистического моделирования.