8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля

Под оптимизацией инвестиционного портфеля будем понимать построение такого портфеля (т.е. нахождение долей ,, финансовых активов в портфеле), обеспечивающего либо максимальную ожидаемую доходность при условии, что риск (т.е. стандартное отклонение) не превосходит некоторой заданной величины, либо минимальный риск при условии, что ожидаемая доходность не меньше некоторой заданной величины, либо максимальный уровень полезности инвестора.

Математически задача максимизации ожидаемой доходности портфеля при ограничении на риск записывается следующим образом:

, (44)

, (45)

, (46)

(47)

В этой оптимизационной задаче в качестве переменных выступают доли ,, финансовых активов в портфеле. В качестве целевой функции выступает ожидаемая доходность портфеля, зависящая от долей,, (эта зависимость описывается формулой (19):). Левая часть ограничения (45) – это стандартное отклонение доходности портфеля, также зависящее от долей,, (эта зависимость описывается формулой (25):). Правая часть ограничения (45)– это заданный максимально допустимый уровень риска.

Геометрически решение задачи максимизации ожидаемой доходности (44)-(47) имеет вид:

Задача минимизации риска при ограничении на ожидаемую доходность имеет вид:

, (48)

, (49)

, (50)

(51)

Здесь – заданное минимально допустимое значение ожидаемой доходности.

Геометрически решение задачи минимизации риска (48)-(51) выглядит следующим образом.

Задача максимизации полезности инвестора имеет вид:

,

,

, .

Переменные в данной задаче – это доли ,.

Функция полезности может иметь, например, следующий вид:

,

где – положительная константа, описывающая несклонность инвестора к риску.

8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности

Под безрисковым активом для заданного временнóго периода в теории инвестиционного портфеля понимается финансовый актив, доходность которого в течение заданного периода времени известна абсолютно точно в начале этого периода. К безрисковым активам относятся облигации (финансовые инструменты с фиксированными платежами), для платежей которых кредитный риск пренебрежимо мал, и срок погашения которых совпадает с концом заданного временнóго периода.

Безрисковая доходность – это доходность безрискового актива (для заданного временнóго периода). Безрисковую доходность в финансовой литературе обычно обозначают через .

Поскольку безрисковая доходность (абсолютно точно) известна в начале периода, она детерминирована (т.е. не является случайной величиной). Отсюда, в частности, следует, что математическое ожидание безрисковой доходности совпадает с самой безрисковой доходностью (), стандартное отклонение безрисковой доходности равно нулю (), и ковариация безрисковой доходности с доходностью любого финансового актива (и инвестиционного портфеля) также равна нулю (). Эти свойства безрисковой доходности будут использоваться в дальнейшем.

Исследуем свойства комбинации безрискового актива с некоторым другим финансовым активом. (В качестве финансового актива может выступать портфель финансовых активов.) Обозначим безрисковый актив через , рассматриваемый (рисковый) актив через, а их комбинацию через.

Поскольку комбинация безрискового актива и финансового активапредставляет собой частный случай инвестиционного портфеля, все результаты и формулы, полученные выше для инвестиционного портфеля, имеют место и для этой комбинации. В частности, из формул (19) и (28) следует, что

, (52)

. (53)

Поскольку и, формула (53) сводится к следующему виду:

. (54)

Из (54) следует, что

. (55)

Поскольку ,

. (56)

Подставив (56) в (52), получим

. (57)

Подставив (55) в (57), будем иметь

. (58)

Заметим, что формула (58) – это уравнение прямой в координатной плоскости , проходящей через точкии.

Следовательно, множество инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и финансового активанаходится на прямой.

Обозначим через выражение. Тогда уравнение (58) прямойзапишется в виде:

. (59)

Из (59) следует, что – это тангенс угламежду прямойи осью абсцисс в координатной плоскости.

Прямая называется рыночной линией капитала (capital market line). (Отметим, что рыночная линия капитала зависит от актива .)

Определим, где именно на прямой лежит множество инвестиционных возможностей комбинаций безрискового активаи финансового актива.

Вначале рассмотрим случай, когда доли безрискового актива и финансового активанеотрицательны (т.е. случай, когда и безрисковый актив, и финансовый активпокупаются инвестором).

Из неотрицательности долей и, и из равенстваследует, что. Отсюда и из соотношения (54) вытекает, что. Следовательно, при неотрицательныхимножество инвестиционных возможностей комбинаций безрискового активаи финансового активапредставляет собой отрезок.

Рассмотрим случай, когда , т.е. когда безрисковый актив продается. Из соотношенийивытекает, что. (Это означает, что покупка активачастично финансируется за счет продажи безрискового актива.) Из соотношенийивытекает, что. Следовательно, примножество инвестиционных возможностей комбинаций безрискового активаи финансового активапредставляет собой луч, лежащий на прямой, выходящий из точкии направленный вправо вверх.

Объединив рассмотренные выше два случая, можно сделать вывод о том, что при имножество инвестиционных возможностей комбинаций безрискового активаи финансового активапредставляет собой луч, причем точки луча, лежащие левее точки, соответствуют случаю, а точки, лежащие правее точки, соответствуют случаю.

Множество инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и всевозможных портфелей финансовых активов – это множество всех лучей , гдепринадлежит множествуинвестиционных возможностей портфелей финансовых активов.

Очевидно, что множество инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и всевозможных портфелей финансовых активов представляет собой угол, заключенный между самым верхним и самым нижним лучами, выходящими из точки проходящими (касающимися) через множество.

Эффективная граница множества инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и портфелей финансовых активов – это самый верхний луч, выходящий из точки и проходящий через множество. (На рисунке это луч.)