Комплекс айнымалы функция

дӛңгелегін (2.6)

қатарының жинақталады, ал

осы дӛңгелектің сыртында –

жинақталмайды.

(2.6) дәрежелік қатардың жинақталу радиусы мына формула бойынша

анықталады:

R lim

cn

немесе

R

1

.

cn 1

n

lim n

cn

n

n

1 -мысал.

, z C

функционалдық қатарының жинақталу

(z i)

n

n 1

облысын табыңыздар.

Шешуі. Даламбер белгісін қолданып,

lim

(n 1)(z i)n

1

1

n(z i)n 1

z i

n

теңсіздігін деп жаза аламыз. Бұдан қатардың центрі i нүктесінде радиусы 1-ге

тең дӛңгелектің

сыртында

абсолют жинақталатындығы шығады.

z i

1

шеңберінде қатар жинақталмайды.

2-мысал.

(z 1)

n

1 z 1

(z 1)

2

...

n 0

n !

1!

2!

қатарының жинақталуын зерттеңіздер.

Шешуі. Қатардың жинақталу радиусы

R lim

Cn

lim(n 1)

C

n

n 1

n

тең болады.

Демек, берілген қатардың жинақталу дӛңгелегі центрі z =1 нүктесінде радиусы R тең дӛңгелек, яғни барлық z жазықтығы.

z

n

3-мысал.

қатарының жинақталу облысын табыңыздар.

n !

n 0

Шешуі.

Мұнда cn

1

, cn 1

1

,

n

1 !

n!

R lim

cn

lim

n 1 !

lim n 1 ,

c

n!

n

n 1

n

n

яғни R .

Демек,

берілген қатардың

жинақталу облысы барлық z жазықтығы

болады.

n

4-мысал.

z i

қатарының жинақталу облысын табыңыздар.

n 1 2

n

n 1

Шешуі.

11

Мұнда R lim

2n 1 n 2

. Берілген қатар

z i

2 облысында жинақталады.

n 1 2n

n

2.3. Тейлор қатары

Теорема.

z z0

R дӛңгелегінде кез келген f z аналитикалық функциясы

осы дӛңгелекте

f z сn z z0 n

(2.7)

n 0

бір ғана дәрежелік қатарына жіктеледі және оның коэффициенттері

cn

f n z

0

1

f

d

,

n 0,1,2,3,... ,

(2.8)

z0

n 1

n !

2 i lr

формуласымен анықталады, мұндағы lr – центрі z0

нүктесі болатын дӛңгелектің

ішінде жатқан кез келген шеңбер.

отырған дӛңгелектегі f z

(2.7) дәрежелік қатары

қарастырылып

функциясы үшін Тейлор қатары деп атайды.

Кейбір элементар функциялардың Маклорен қатарына жіктелуі келтірейік:

ez 1	z		z 2		z3	...	z n	... ,
1!		2!		3!			n !

sin z z

z3

z5

z 7

... ( 1)n 1

3! 5! 7 !

cos z 1

z 2

z 4

z 6

... ( 1)n

z 2n

2!

4!

6!

(2n) !

ln 1 z z

z 2

z 3

... ( 1)n 1

z n n

2!

3!

1

1 z z

2 z

3 ... ( 1)n z n ...,

1 z

				z			1
z 2n 1
	... ,			z
(2n 1) !
...,				z
...,				z			1
				z			1

1 z 1	z	1 z 2		1 2 z 3	...	1 ... n 1 z n ....,		z		1.
	1!	2!		3!		n !

2.4. Аналитикалық функцияның нӛлдері

Анықтама. D облысында голоморфты f z функцияның нөлі деп, f z0 0

теңдігі орындалатын осы облыстың кез келген z0 нүктесін айтады.

12

Біздің f z функциясының D	облысында	жататын		нӛлдері	жиыны
шектеулі және шектеусіз болуы мүмкін. Алайда			егер f z	нӛлге теңбе-тең
болмаса, D облысының ешқандай	нүктесі f z		функциясының		нӛлдер
жиынының шекті нүктесі бола алмайды. Демек,		f z функциясының нӛлдер

жиынының барлық шекті нүктелері D облысының шекарасында болуы керек. Осыдан, дербес жағдайда, f z функциясының кез келген нӛлінің аймағында центр ретінде жеткілікті кіші радиусы бар шеңберді, осы шеңбердің центрлерінен басқа шеңбер ішінде ешқандай нӛлдер болмайтындай сызуға болатыны келіп шығады.

Бұдан былай	берілген функция голоморфты	болатын	f z
( f z 0) функциясының	D облысында жататын барлық	нӛлдері жиынын

нүктелердің тізбегі ретінде қарастыруға болады, яғни барлық нӛлдерді натурал сандар кӛмегімен нӛмірлеуге болатынын оңай кӛруге болады.

Егер	D облысында голоморфты f z функциясы		осы облыстың			z0
нүктесінде нӛлге тең болса, оның		z0 нүктесінің кейбір аймағындағы жіктелуі
мына түрде болады:
	f z c1 z z0 c2 z z0 2 ...,		``(2.8)
ӛйткені с0 f z0 0 .
(2.8)	жіктелудің барлық сn	коэффициенті нӛлге	тең	бола	алмайды,
ӛйткені z0	нүктесінің кейбір аймағының барлық жерінде			нӛлге	тең	f z
функциясы бұл жағдайда жалғыздық теорема бойынша D облысында нӛлге
теңбе-тең болар еді. Олай болса, сn		коэффициенттерінің арасында нӛл еместері

де бар; осындай коэффициентердің ең кіші нӛмірін m, (m 1) арқылы белгілейік. Сонда мынаны аламыз:

	ñ1 ñ2		... ñm 1 0 ,
демек, (2.8) жіктелуі тӛмендегідей түрге келеді:
	f z cm z z0 m cm 1 z z0 m 1						... cn z z0 n ...,	(2.9)
мұндағы сm 0 .
Бұл	жағдайда	z0	нүктесін f z				функциясы үшін	m – ретті нӛл деп
атаймыз.	Егер m 1	болса, онда жай нӛл деп, ал m 1болғанда еселі нӛл деп
атайды.
2.5. Дәрежелік қатардың коэффициенттері үшін Коши теңсіздігі
Егер
	f (z) c	c z c		z 2 ... c	n	z n	...	(2.10)
	0	1	2

13

дәрежелік қатары z R дӛңгелегінде жинақты болса және ол дӛңгелекте модулі әр уақытта М-нен кем f z функциясын кескіндесе, онда тӛмендегі теңсіздік орын алады:

	c	n			M	n 0,1, 2,... .	(2.11)
					Rn

Егер дәрежелік қатардың коэффициенттері үшін (2.7) интегралдық формуланы пайдалансақ, онда (2.11) теңсіздік бірден алынады:

cn	1		f	d	n 0,1,2,3,... ,
	2 i n 1
		l
		r
мұндағы интегралдау қалауымызша алынған									r	r R шеңбері бойымен

жүргізіледі. cn -ны бағалап, мынаны табамыз:

cn

M

.

n

r

Соңғы теңсіздік

барлық r

r R

үшін орындалатындықтан, r -ды

R -ға

ұмтылдыра отырып, шекке ӛту арқылы, ең соңында мынаны табамыз:

cn

M

.

R n

Егер

барлық жазықтықта голоморфты

f z

Лиувилль

теоремасы.

функциясы модулі бойынша шектелген болса, онда ол функция теңбе-тең тұрақты болады.

Шынында, қарастырылып отырған жағдайда f (z) c0 c1 z c2 z 2 ... cn z n ...

жіктеуі жазықтықтың кез келген z нүктесінде орын алады. Кошидің (2.10) теңсіздігін пайдалана отырып, мынаны аламыз:

	cn			M	n 0,1, 2,... ,
				Rn

мұндағы М тұрақты сан, ал R -ды қалағанымызша үлкен деп есепиеуге болады.

Демек, егер n 1	болса, cn 0 болады, ал (2.9) салдарынан f (z) c0 болады.
1-мысал.	f z ez 1 z	функциясы үшін	z0 =0 нӛлінің ретін
анықтаңыздар.
Шешуі. f (z) функциясын		z -тің дәрежесі бойынша жіктейміз:
ez 1 z (1 z z 2 / 2! z3 / 3! ...) 1 z z 2 / 2! z3			/ 3! ...

Ӛйткені алынған жіктеудегі коэффициент c2 1/ 2 болады, яғни нӛлге тең емес,

ал c0 c1 0 . Олай болса, берілген функция үшін z0 =0 нүктесі	n 2 ретті нӛл
болатындығын кӛреміз.
2-мысал. f (z) (z 4 2z 1)2 (z 2 2z 2)

14

функциясының нӛлдерін және олардың ретін анықтаңыздар. Шешуі. f z функциясын кӛбейткіштерге жіктейміз :

	f z (z i)4 (z i)4 (z (1 i))(z (1 i))
Функцияның нӛлдерін табамыз:			z1 i , z2 i , 2 (z) 0 z3 1 i ,	z4 1 i .
Функцияның әрбір нӛлінің ретін анықтаймыз.
z1 i	нүктесі үшін
	f z (z i)4 (z) ,	(z) 0
	1		1
теңдігінен,	z1 i нүктесінің 4-ші ретті нӛл екендігін аламыз.
Осыған ұқсас z2 i нүктесі үшін
	f z (z i)4 2 (z) ,	2 (z) 0
теңдігінен,	бұл нүктенің 4-ші ретті нӛл екендігін аламыз.
	f z (z (1 i)) 3 (z) ,		3 (z) 0
теңдігінен,	z3 1 i нүктесінің жәй нӛл екендігі шығады. Осыған ұқсас
	f z (z (1 i)) 4 (z) ,		4 (z) 0
теңдігінен,	z4 1 i нүктесінің жай нӛл екендігі шығады.
Мұндағы

1 (z) (z i)4 (z 2 2z 2) ,

2 (z) (z i)4 (z 2 2z 2) ,

3 (z) (z (1 i))(z 4 2z 1) ,

4 (z) (z (1 i))(z 4 2z 1) .

IIтарауға арналған жаттығулар

Қатардың жинақтылығын зерттеңіздер.

№ 1.

а)

2n 5n

i

;

n

10

n

n 1

2 !

1

i

№ 2. а)

;

2

n

n!

3

n

n 1

n

n

№ 3. а)

tg

i

;

n 1

4n

n 1

1

( 1)n 1 2n 1

№ 4.

а)

i

;

n

2n 1

(2n 1)!6

n 1

2

ә)

ә)

ә)

ә)

			1
							.
		n z n
n 1
			1
					.
			1 z	n
n 1
			1
				.
	n		2
n 1			z
			1
						.
	z		n		2
n 1

Қатардың абсолют және шартты түрде жинақтылығын зерттеңіздер.

	i	n
№ 5. а)			;
n 1	n

ә) 3 i n . n 1 2

15

2 i n

№ 6. а) ;

n 1 3

cos in

ә) .

n 1 2n

Тӛмендегі кӛрсетілген қатардың жинақталу облысын табыңдар z C :

(z 1)n

n (z 3)2n

№ 7.

а)

;

ә) ( 1)

.

n

2

2

n

(2n 1)

3

n

n 1

n 1

nz

n

№ 8.

а)

( 1)n

;

ә) ( 1)n 1 nz n .

3n

2

n 1

n 1

IIIтарау. Лоран қатары. Қалындылар теориясы

3.1.Аналитикалық функцияны Лоран қатарына жіктеу

Теорема. r

z z0

R

0 r R сақинасында голоморфты болатын

f z

функциясы осы аймақта z z0 -дің дәрежесі бойынша қатарға жіктеледі:

f z

cn z z0 n ,

(3.1)

n

мұндағы

1

f

n 0, 1, 2,... ,

cn

d

(3.2)

2 i

z

0

n 1

L

ал L – берілген сақинаның ішінде жатқан центрі z0

нүктесіндегі кез келген

шеңбер.

f z функциясы үшін Лоран қатары деп

(3.1)

қатары берілген сақинадағы

аталады.

Алдыңғы пункттегі айтылғаннан, Лоранның (3.1) жинақтылық қатарының

нақты облысы ішінде f z функциясы				голоморфты болатын центрі z0
нүктесінде дӛңгелек сақина және		z z0		R мен		z z0		r шеңберлерінің

әрқайсысында кем дегенде бір-бәрден осы функцияның ерекше нүктесі бар

екендігі

шығады.

Дербес

жағдайда,

егер

f z

функциясының

z z0

R шеңберінің ішінде ерекше нүктесі болмаса, онда оның Лоран жіктелуі

Тейлор қатарына айналады.

f z функциясы үшін

z z0

z z0

n

f z cn

cn

n

n

c n

n

n 0

n 1

z z0

Лоран қатары екі бӛліктен тұрады. Лоран қатарының бірінші бӛлігі, яғни

f1 z cn z z0 n ,

n 0

16

z z0

R

қатары Лоран қатарының дұрыс бөлігі деп аталады; бұл қатар

шеңберінің ішінде

f1 z голоморфты

функциясына жинақталады.

Лоран

қатарының екінші бӛлігі, яғни

c n

f2 z

,

n

n 1

z z0

қатары Лоран қатарының бас бӛлігі деп аталады; бұл қатар

z z0

r шеңберінің

сыртында f2 z голоморфты функциясына жинақталады.

r

z z0

R

сақинасында

cn z z0

n қатары

f z f1 z f2 z

n

голоморфты функциясына жинақталады.

Дербес жағдайда, егер

f z

функциясының

z z0

R шеңберінің ішінде

ерекше нүктелері болмаса, онда оның Лоран қатарына жіктелуі

Тейлор

қатарына айналады.

f z e

1

1-мысал.

z0

0

нүктесінің

аймағында

z

функциясын

Лоран

қатарына жіктеңіздер.

Шешуі.

eu

1

u

u 2

...

u n

...,

1!

2!

n!

белгілі жіктеуін пайдаланамыз.

u

1

деп алайық,сонда

z

1

1

1

1

e z

1

...

...,

z 0 .

1!z

2!z 2

n!z n

2-мысал. z

0

нүктесінің аймағында f z

1

функциясын Лоран

0

z 2 z 6

қатарына жіктеңіздер.

Шешуі.

Функцияның

екі ерекше

нүктесі бар:

z1 2

және

z2

3. Ол а)

0

z

2 ; б)

2

z

3 ; в)

z

3 облыстарында аналитикалық функция .

z

функциясын

f z

1

1

1

түріне

f

3

z 2

5

z

келтіреміз .

а)

z

2 дӛңгелегінде :

1

1

1

1

z

z

2

z

1, яғни

(мұнда

3 ),

1

...

z

z 3

3

z

3

2

3

1

3 3

3

17

					1					1					1																	1																z										z 2																																						z
																																				1																													...												(мұнда																							1, яғни						z	2 ),
																																																												2
					z 2					2										z												2														2										2
													1																																																																																			2
																			2
Демек,
				f z					1																			1																		1								1 n																				1							z n										1							1					z	7			...
																																																																																																												,
																																																																									2n 1
							z 2 z 6																					5 n 0 3n 1																																																														6 36														27	82
f z функциясының Лоран қатары Тейлор қатарына айналады.
									б)						2									z			3 сақинасында:
																									1																			1															z											z				2																				3 ,
																																																	1																											...														z
																																																																									2
																								z 3																				3															3											3
																																																																																																						2 .
																									1													1											1													1														2						22																		z
																																																																			1																			...
																								z 2															z													2											z													z						z		2
																																												1
																																																						z
Демек,
							f z															1																									1																		z				n														1 n										2			n
																	2																																																		n 1																											n 1
																z					z 6																																									3																													z
																																															5 n 0																														n 0
в)		z		3 облысында:
							1								1							1																1														3								32																											3 ,
																																																																																					z
								z	3							z									3													z		1												z									z				2
																					1
																											z
							1										1								1																1																	2									2				2																							2 .
																																													1																																													z
																																																																							2
								z 2									z								2																	z																z											z
																						1
																													z
Демек,
																						1																						1																		3					n																				n						2			n
							f z																																																																			1																									.
																z		2			z 6																							5																	z				n 1																										z			n 1
																																																	n 0																												n 0
3.2. Бір мәнді функцияның ерекше нүктелерінің классификациясы
Анықтама. Егер																z0					нүктесінің аймағында																																																														f z							функциясы аналитикалық
функция, ал z0 нүктесінде																											f z функциясы аналитикалық емес функция болса,
онда z0		нүктесі						f z									функциясының																																																				оңашауланған																															ерекше					нүктесі деп
аталады.

Ерекше нүктелердің үш түрін анықтауға болады:

18

1.

Егер

z0

нүктесінде

f z

функциясының ақырлы шегі бар болса, онда бұл

нүкте

f z функциясының жөнделетін ерекше нүктесі деп аталады.

2.

Егер

lim f z болса,

онда

z0

нүктесі

f z

функциясының полюсы деп

z

z0

аталады.

Егер lim z z0 m f z c m

( c m 0 ,

c m ) болса, онда

z0 нүктесі f z

z

z0

функциясының m –ретті полюсы деп аталады. m 1 болғанда, z0

нүктесі жай

полюс болады.

3.

Егер

f z

функциясының

z0 нүктесінде ақырлыда, ақырсыз да шегі жоқ

болса, онда

z0 нүктесі f z

функциясының

елеулі (маңызды)

нүктесі

деп

аталады.

z0

нүктесі

f z

функциясының

полюсы

болуы үшін бұл

нүкте

f z

функциясының

1

функциясының нӛлі болуы қажетті әрі жеткілікті.

f z

Теорема

(нӛл мен полюс арасындағы байланыс туралы). Егер z0

нүктесі

f z функциясы үшін m –ретті нӛлі (немесе m –ретті полюсы) болса, онда бұл

нүкте

1

функциясы үшін m –ретті полюсы (немесе m –ретті нӛлі) болады.

f z

Дәлелдеу.

Айталық,

f z

функциясының z0

нүктесінде m –ретті

нӛлі

болсын. Осындай z0

нүктесінің кейбір аймағында f

z функциясы

f z c

m

(z z

0

)m c

m 1

(z z

0

)m 1 ...

(3.3)

дәрежелік қатармен берілетіні белгілі, мұндағы

cm 0 немесе

f z (z z0 )m (z) , бұл жағдайда z функциясы

z0 нүктесінде голоморфты және нӛлге тең емес.

(3.3) салдарынан

1

кері

f z

шама былай беріледі:

1

1

1

(z)

,

(3.4)

f z

z z0 m

(z)

z z0 m

әрі

(z)

1

функциясы

z0

нүктесінде

голоморфты және нӛлден

ерекше.

(z)

Сонда

(z) (z0 ) (z0 )(z z0 ) ...

ескеріп, (3.4) теңдігінен z0

(z z0 ) нүктесінің аймағында мынаны аламыз:

1

(z

)

)

(z

...

0

0

f z

z z0 m

z z0

m 1

осыдан

1

функциясы үшін z0

нүктесі m –ретті полюс болатындығы шығады.

f z

Керісінше, z0

нүктесі

f z функциясының m –ретті полюсы деп жорып,

осы нүктенің аймағында (z z0 ) мынадай болатынын табамыз:

19

f z	(z)			,	(3.5)
	(z z	0	)m

мұндағы z нүктесі z0 нүктесіне ұмтылғанда z функциясы нӛлден басқа шекке

ұмтылады. Демек, оны z0 нүктесінде голоморфты және нӛлге тең емес функция ретінде қарастыруға болады. (3.5) теңдіктің кӛмегімен

	1		z z0 m	1	z z0 m (z)	(3.6)
	f z			(z)

ӛрнегін құрып және жоғарыдағы есептеуді қолдана отырып, мынаны табамыз:

1

m

m 1

(z0 ) z z0

(z

0 ) z z0

... ,

f z

мұндағы

(z0 ) 0 , ал бұдан,

егер

1

0 деп

ұйғарсақ,

z0 нүктесі

1

f z0

f

z

функциясының m –ретті нӛлі болатындығы шығады.■

Егер f z функциясын

f z

g z

түріне

келтіруге

болса, онда

z0

z z

0

m

нүктесі

f z

функциясының

m –ретті

полюсы болады, мұндағы g z –

функциясы z

0

нүктесі аналитикалық функция, ал g z

0

c

m

0 .

Функцияның ерекше нүктелерінің түрлерін табу үшін мына тӛмендегі

қорытынды бойынша іздеу керек:

1. z0

нүктесі f z

функциясының жӛнделетін ерекше нүктесі болуы үшін

f z функциясының z0

нүктесінің аймағында Лоран қатарының негізгі бӛлігі жоқ

болуы қажет.

2. z0

нүктесі f z

функциясының полюсы болуы үшін

f z функциясының

z0 нүктесінің аймағында Лоран қатарының негізгі бӛлігі ақырлы мүшеден тұруы қажет:

n

c 1

c 2

c m

f z cn z z0

, мұндағы c m 0 .

z z

2

z

z0

m

n 0

0

z z0

негізгі бӛліктегі z z0 -дің ең үлкен дәрежесі полюстің ретін кӛрсетеді.

3.

z0

нүктесі f z

функциясының елеулі (маңызды) ерекше нүктесі болуы

үшін

f z

функциясының

z0

нүктесінің аймағында Лоран қатарының негізгі

бӛлігі ақырсыз кӛп мүшеден тұруы қажет.

1-мысал.

f z

sin z

функциясының ерекше нүктелерін табыңыздар.

z 4

Шешуі.

z 0 нүктесі берілген функцияның ереше нүктесі болады.

z 0

болғанда берілген функцияның шегін табамыз:

lim

sin z

lim

sin z

1

.

z 0

z4

z

0

z z3

20