Коваль ЕЛЕМЕНТИ МАТ. ПЕРЕТВОРЕНЬ

МІНЕСТЕРСТВО ОСВІТИ

ДОНБАСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

Кафедра вищої математики та економетрії Конспект лекцій по темі “Елементи матричних перетворень”

Склав доц. Коваль В.И. доц. Мосіяш Т.О.

Утверджена на засіданні кафедри протокол № Макіївка, 1999.

1. Означення матриці. Основні види матриць.

Розглянемо множину m n дійсних чисел, записанних у вигляді прямокутної таблиці з m рядків і n стовпців:

a	a	...	a
12	12		1n
a21	a22	...	a2n
A a	a	...	a		(1.1)
31	32	...	3n
... ...			...
am1	am2	...	amn

Означення 1.1.Матрицею називаеться таблиця упорядкованих чисел, яка складається з m рядків і n стовпців.

Позначаються матриці літерами A,B,C тощо.

Числа aij називаються її елементами. Індекси i та j елемента aij позначають

відповідно номер рядка та стовпця, на перетині яких міститься даний елемент. Наприклад, елемент a32 міститься в третьому рядку і другому стовпці.

Розглянемо матрицю

a11	a12	a13		(1.2)
A	a22	a23	,
a21

яка має два рядки (m=2) і три стовпці (n=3), тобто розміром 2 3. Загалом, якщо матриця m рядків має рядків і n стовпців, такої матриці дорівнює (m n)/

Означення 1.2. Якщо в матриці A кількість рядків m дорівнює кількості стовпців n (m=n), її називають квадратною порядку m (або n). Якщо m n, то матриця A є прямокутною розміром (m n).

Матриця A в (1.2) є прямокутною розміру 2 3. Розглянемо основні види матриць.

Означення 1.3. Матриця-стовпець є прямокутна матриця порядку m 1:

a1ja2 j A ... .

amj

Означення 1.4. Матриця-рядок є прямокутна матриця порядку 1 n:

A ai1 ai2

... ain .

Матриці (1.3) і (1.4) можна розглядати як вектори.

Означення 1.5. Матриця, усі елементи якої дорівнюють нулю, називаються нульовою:

	0		0	...	0
		0	0	...
A					0
		0	0	...	.
					0

0

0 ... 0

2

Розглянемо квадратну матрицю порядку n n.

	a		a	a	a
		11	12	13	1n
A	a21		a22	a23	a2n
						.
			an2	an3
	an1				ann

Елементи a11,a22 ...ann утворюють головну діагональ матриці A; елементи an1 an2 ,n-1...an1 -побічну діагональ матриці A.

Означення 1.6 Квадратна матриця, в якої всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною, тобто

a11		0	0		0
	0	a22	0		0
A 0		0	a23		0	.	(1.6)
					0
	0	0	0	ann
Скорочено: квадратна матриця A=(aij )			є діагональною, якщо aij				=0 для i j та

aij 0 для i=j.

Означення 1.7 Квадратна матриця En є одиничною n-го порядку, якщо всі

елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інше елементи-нулю, тобто

	1		0	0 ...	0
			1	0 ...	0
	0
A En		0	0	1 ...	0	.	(1.7)
					0
		0	0	0	1
Скорочено: квадратна матриця I=(aij ) є одиночною, якщо aij							=0 для i j та aij =1

для i=j.

Означення 1.8. Квадратна матриця A (aij ) є трикутною, якщо всі її елементи над головною діагоналлю (aij =0,коли i<j) або під цією діагоналлю

(aij =0, коли i>j) дорівнюють нулю:

a	0	0 ...	0
11	a22	0 ...	0
a21
A a31	a32	a33 ...	0	або
... ... .... ...
	an2	an3 ...
an1			ann

a		a	a		...	a
	11	12	13		...	1n
0		a22	a23			a2n
A	0	0	a		...	a
				33			3n
... ... ... ... ...
	0	0	0		...	ann

.

Означення 1.9. Якщо в матриці A поміняємо місцями відповідно елементи рядків на елементи стовпців (або навпаки), дістанемо транспанованну матрицю (позначається A' або AT ):

3

a	a	...	a
12	12		1n
a21	a22	...	a2n
A, = AT a	a	...	a		(1.9)
31	32	...	3n
... ...			...
am1	am2	...	amn

Транспонуючи вектор-стовпець, дістанемо вектор-рядок, і навпаки, а саме:

	a1j
A	a2	j	A	'	a1j	a2 j ...		anj .
	...
	amj
і							a1j
A a1j						anj A'
			a2 j ...				a2 j .
							...
							amj

Означення 1.10. Матриця A називається симетричною, якщо

A A'

тобто матриця A дорівнює її транспонованій матриці A' .

Очевидно, що симетрична матриця має бути квадратною і аij = aji.

Приклад 1.1.

	1		2	3	4					1		2	3	4
		2	4	3							2	4	3
A					0	;	A	'						0	,
		3	3	5							3	3	5
					6									6
			0	6								0	6
	4				8					4				8

тобто A A' .

Неважко показати, що A' A AA' - симетричні матриці. Зауважимо, що справжується тотожність

(A' )' A

2. Елементарні дії над матрицями

Дві матриці A (aij ) та

B (bij )

одного й того самого порядку (m n)

вважається рівними, якщо всі вітповідні елементи цих матриць рівні між собою, тобто

A B aij bij (i =1,m; j 1,n).

Отже,матриці різних порядків завжди не рівні між собою.

Матриці можна додавати, віднімати, множити матрицю на число та матриці на матрицю.

Додавання і віднімання виконуються лише для матриць одного й того самого порядку. Якщо A = (aij) і B (bij ) мають порядок m n, то

4

						a		b	a		b
							11	11		12	12
						a21		b21	a22		b22
C		A		B		a	31	b	a	32	b
								31			32
								bm1	am2		bm2
						am1
Скороченно: C (cij						) (aij bij			).
очевидно, що					A B B A;(A B)'

a13	b13	a1n
a23	b23	a2n
a33	b33	a3n
am3	bm3	amn

A' B'; A (B A)

b1n

b2n

b3n . (110.)

bmn

B.

При додаванні матриць A, B, і C одного й того самого порядку справджується закон асоціативності:

(A B) C A (B C).

	Добутком скаляра на матрицю			A (aij ) порядку (m n) називається матриця,
	елементи якої дорівнюють aij , тобто
		a11		a12	a13
			a21	a22
	A					a23	( aij	).
				am2
		am1				amn

При множенні матриць А на скаляр виконуються такі закони:

а) A A

б)( A)' A'

в) (A B) A B

г)( )A A B

д)( )A ( A) ( A)

Дві матриці А і В можна помножити одна на одну, тобто визначити С=АВ, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Нехай маємо матрицю А порядку m k і матрицю В-k n. Добуток двох матриць С=АВ існує, бо матриця А має k стовпців, і стільки ж рядків має матриця В. Матриця-добуток С=АВ матиме порядок m n, тобто стільки рядків, скільки має перша матриця А, і стільки стовпців – скільки їх має матриця В. Цей висновок унаучнює рис. 3.1.

5

ПОРЯДОК ДОДУТКУ АВ РИС. 3.1

Правило множення двох матриць А на В: кожний елемент матриці сij є сумою добутків відповдних елементів і-го рядка матриці А на елементи j-го стовпця матриці В, тобто

n

cij ai1b1j ai2b2 j ainbnj aikbkj k 1

Приклад. Знайти добуток С=АВ, коли

a	a	a
A 11	12		13	-порядок 2 3
a21	a22	a23
b		b
	11	12
B b21		b22	-порядок 3 2
		b32
b31

Добуток цих двох матриць існує, оскільки кількість стовпців матриці А дорівнює трьом, стільки ж рядків має матриця В, тобто виконується умова множення двох матриць. Перемноживши ці матриці, дістанемо:

C	A B	a	11b11	a12b21	a31b31	a11b12	a12b22	a13b32
				a22b21	a23b31	a21b11	a22b22	a23b32	(1.11)
		a21b11

Порядок матриці С, яка є добутком А і В, дорівнює 2 2 При множенні матриць діють такі закони:

а) АВ ВА, тобто добуток матрицч не є комунативним.

1		3	3		4	9	7	11		25
Нехай А=	2		; В=	2		АВ==		; ВА=	4	.
		4			1	14	12			10

Отже, АВ ВА. б) (АВ)С=А(ВС); в) (А+В)С=АС+ВС; г) С(А+В)=СА+СВ;

д) (АВ)=( А)В=А( В);

е)АЕ=ЕА=А,де Е-одинична матриця того самого порядку, що й матриця А;

є) (АВ)=В'А';

6

ж) (АВС)'=С'В'А'.

Як окремий випадок добуток матриці розміру 1 p(вектор-рядок) на матрицю

порядку p 1 (вектор-стовпець) дає скаляр, а саме:
		b
			1
A a1 a2	... ap B	b2			,
		bp

c (a1b1 a2b2 apbp )

a1

a2

Якщо вектор А= ... ,

an

то

a1

n

A' A a1

an a2

a2

...

= ai2

a12

a

22 an2

...

i 1

an

a

a2

a

a

a

a

1

1

1

2

1

n

AA'

a2

a1

a2

...

an

=A

a2a1

a22

a2an .

...

ana2

an2

an

ana1

Означення 1.11. Два вектори А і В, для яких скалярний добуток дорівнює

нулю і A' A 0,	B'B 0,	називаютьсяортогональними, тобто			A'B 0або
B' A 0.	3			2
	Нехай А=		; В=	, тоді АB=3 2-1 6=0,
		1		6

B'A=2 3 6 1 0, отже, вектори А і В – взаємо ортогональні.

Означення 1.12. Квадратна матриця Ф, яка задовольняє умову A2 A(A2 A A), тобто квадратна матриця, яка при множенні сама на себе

не змінюється, називається ідемпотентною.

2		2			2		2 2			2		2		2
Нехай A	3	3	; A2		A A	3	3		3	3			3	3	,

тобто A2 A, матриця A є ідемпотентною.

1.3 Скалярні характеристики матриць.

Кожна матриця A має скалярну характеристику, яка називається рангом матриці A (rgA). Крім неї, квадратні матриці мають ще дві скалярні характеристики: слід матриці A(tr A) і її детермінант, або визначник, який

7

позначають (det A або A). Значення всіх трьох характеристик пов’язане з конкретною матрицею.

Розглянемо докладніше ці характеристики.

Для визначення рангу матриці введемо поняття лінійної комбінації векторів і їх лінійної залежності (незалежності). Для n векторів A1, A2 An лінійна комбінація векторів визначається як 1 A1 2 A2 n An , де 1, 2 n -дійсні числа.

ОЗНАЧЕННЯ 1.13. ЯКЩО ВЕКТОР A ПОДАЄТЬСЯ У ВИГЛЯДІ

A 1 A1 2 A2 n An ,

де A1, A2 An -вектори одного й того самого простору, то говорять що вектор А є лінійною комбінацією векторів A1, A2 An . Ччисла 1, 2 n називаються

коефіціентами лінійної комбінації.

Означення 1.14 Вектори A1, A2 An n-вимірого простору називаються

лінійно незалежними, якщо

1 A1 2 A2 n An 0 (нуль вектор),

коли

1 2 n 0,

тобто в разі лінійної незалежності векторів нульовий вектор 0(0,0,...,0)має вигляд тривіальної лінійної комбінації векторів A1, A2 , , An .

Означення 1.15. Вектори A1, A2 , , An лінійно залежні, якщо існує хоча б одне i 0 в лінійній комбінації (1.13) нульового вектора.

Іншими словами в разі лінійної залежності векторів нуль-вектор не можна подати у вигляді тривіальної лінлйної комбінації векторів A1, A2 , , An тобто

n

i Ai 0, i 1

коли i 0 хоча б для одного i.

Означення 1.16. Максимальна кількість лінійно незалежних векторівстовпців (рядків) матриці А називається рангом стовпців (рядків )цієї матриці.

Коли ранг стовпців збігається з рангом рядків матриці А, то можна говорити просто про ранг матриці А.

Зрозуміло, що

rg A min(m,n),

де m-кількість рядків матриці А; n-кількість її стовпців. Говорять, що матриця А має повний ранг, коли

rg A min(m,n),

Означення 1.17. Квадратна матриця повного (неповного) рангу називається відповідно невиродженою(виродженою) або регулярною (сингулярною) матрицею.

Прикладом невиродженою матриці є одинична матриця En (n-го порядку), ранг якої дорівнює n, тобто

rg En n

8

для рангу виконуються такі співвідношення:

а) rg A rgA'; б) rg AA' rgA

в) rg AB min(rgA,rgB).

Означення 1.18 Слідом матриці А порядку n є сума елементів її головної діагоналі, тобто

n

trA aii .

i 1

Для сліду виконується такі співвідношення:

а) trA trA';

б) tr( A B) trA trB, де А і В-квадратни матриці одного й того самого порядку; і - дійсні чісла;

в) tr(АВ)=tr(ВА).

Якщо А- симетрична матриця, то г) tr(AA') tr(AA') tr(A2 );

д) trEn n.

Означення 1.19. Детермінантом (визначником) квадратної матриці А порядку n називається алгебраічна сума n членів, кожний з яких містить n співмножників, узятих по одному з кожного рядка (стовпця) матриці.

Позначається:

					a11	a12	a1n
det A або		A		=	a21	a22	a2n		(1.14)
					an1	an2		ann

Властивості визначків.

1. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється, тобто A = A' .

2.Якщо всі елементи рядка (стовпця) матриці дорівнюють нулю, то її визначник також дорівнює нулю.

3.При перестановці двох будь-яких стовпців (рядків) визначника його знак змінюється на протилежний, а абсолютна величина не змінюється .

4.Визначник з двома однаковими стовпцями (рядками) дорівнює нулю.

5.При множенні якого-небудь стовпця (рядка) на довільне число 0 значеня визначника множиться на те саме число.

6.Спільний множник всіх елементів стовпця (рядка) можна винести за знак визначника.

7.Якщо два стовпці (рядки) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

8.Визначник не зміниться, якщо до будь-якого стовпця (рядка) додати елементи другого стовпця (рядка), попередньо помноживши їх на відмінний від нуля множник.

Розглянемо визначник матриці n-го порядку

9

		a11	a12	a13	a1,j		a1n
		a21	a22	a23	a2 j		a2n
		a31	a32	a33	a3 j		a3n
A								(1.15)
		ai1	ai2	ai3		aij	ain

an1 an2 an3 ani ann

Викреслемо в ньому i-й рядок і j-й стовпець, на перетині яких міститься елемент aij . У результаті залишиться визначник матриці (n-1)-го порядку

					a11	a12	a13	a1,j 1	a1n
					a21	a22	a23	a2,j 1	a2n
					a31	a32	a33	a3,j 1	a3n
Mij det		A									(1.16)
					ai 11,	ai 1,2	ai 1,3	ai-1,j-1		ai 1n
					an1	an2	an3	ani 1	ann

Означення 1.20. Визначник матриці (n-1)-го порядку, в якій викреслені i-й рядок та j-й стовпець, називається мінором елемента aij і позначається Mij .

Мінор Mij , який береться зі знаком (-1)i+j (i-номер рядка; j-номер стовпця елемента aij ), є алгебраічним доповненям цього елемента, тобто

Aij = (-1)i+j Mij

Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого його стовпця (рядка) на відповідні їх алгебраїчні доповнення:

A a11 A11 a21 A21 a31 A31 an1 An1

a21 A21 a22 A22 a23 A23 a2n A2n

a1j A1j a2 j A2 j a3j A3j anj Anj

(1.17)

ai1 Ai1 ai2 Ai2 ai3 Ai3 ain Ain.

Ця властивість дає змогу розкласти визначки за елементами стовпця (рядка). Нехай потрібно знайти визначки A . Розкладемо його за елементами другого рядка:

			1	2	1		3		2	1			4		1	1			5		1	2
A
			3	0	2	3 ( 1)						0 ( 1)						2 ( 1)					24 20 4
			4	2	5				2	5					4	5					4	2

Зауважимо, що детермінант другого порядку обчислюють відніманням добутку елементів побічної від елементів головної діагоналі:

a	11	a12		a11	a12		a11a22	a21a22.
det		a22		a21	a
a21						22

10