Sopromat_spec_kurs_2003

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Кафедра “Теоретическая и прикладная механика” Секция «Сопротивление материалов»

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» Спецкурс

(для студентов специальности «Промышленное и гражданское строительство» всех форм обучения)

УТВЕРЖДЕНО:

на заседании кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Протокол № 95 от 6.06.03

Макеевка ДонГАСА 2003

2

УДК 539.3

Конспект лекций по курсу «Сопротивление материалов». Спецкурс. (для студентов специальности «Промышленное и гражданское строительство» всех форм обучения) / Составитель: Осыка В.И. –

Макеевка: ДонДАБА, 2003. – 34с.

Рассмотрены вопросы оценки прочности материала при объемном напряженном состоянии, а также расчета балок, лежащих на сплошном упругом основании. Изложена теория расчета тонкостенных стержней открытого профиля при стесненном кручении.

Составитель:	доц. Осыка В.И.
Рецензент:	доц. Демидов А.И.
Ответственный за выпуск	проф. Мущанов В.Ф.

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВСТУПЛЕНИЕ...................................................................................................................	4
РАЗДЕЛ 1. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ......................	5
1.1. Главные напряжения................................................................................................	5
1.2. Экстремальные касательные напряжения...........................................................	7

1.3. Деформации при объемно напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука7

1.4. Изменение объема материала при деформации....................................................	9
1.5. Гидростатическое сжатие элемента...................................................................	9
РАЗДЕЛ 2. БАЛКА НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ..........................	10
2.1. Общие понятия.......................................................................................................	10
2.2. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, лежащей на сплошном
упругом основании .........................................................................................................	10

2.3. Расчет бесконечно длинной балки, лежащей на сплошном упругом основании

при действии сосредоточенной силы Р.......................................................................

12

2.4. Расчет коротких балок, лежащих на упругом основании методом начальных

параметров.....................................................................................................................	14
РАЗДЕЛ 3. СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ..............................................................................................	18
3.1. Основные понятие..................................................................................................	18
3.2. Свободное кручение тонкостенного стержня....................................................	18
3.3. Стесненное кручение..............................................................................................	20
3.4. Секториальные характеристики поперечных сечений тонкостенных
профилей.........................................................................................................................	20

3.5. Зависимость между секториальными координатами при переносе нулевой

точки М0.........................................................................................................................

21

3.6. Зависимость между секториальными координатами при переносе полюса А

..........................................................................................................................................	21
3.7. Секториальные характеристики поперечных сечений......................................	22
3.8. Главные секториальные характеристики...........................................................	22
3.9. Алгоритм определения геометрических характеристик..................................	23
3.10. Пример определения геометрических характеристик тонкостенного
профиля...........................................................................................................................	24
3.11. Продольные деформации при стесненном кручении........................................	26
3.12. Секториальные нормальные напряжения.........................................................	27
3.13. Касательные напряжения при стесненном кручении......................................	29
3.14. Дифференциальное уравнение стесненного кручения.......................................	30
3.15. Общий случай действия сил на тонкостенный стержень.............................	32
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРИ....................................................	33

4

ВСТУПЛЕНИЕ

Конспект лекций по спецкурсу Сопротивления материалов для студентов специальности Промышленное и гражданское строительство включает в себя материалы в объеме 9 лекций, которые читаются в осеннем семестре на III курсе и включает в себя следующие разделы:

1.Объемное напряженное состояние.

2.Балки, лежащие на сплошном упругом основании.

3.Кручение тонкостенных стержней открытого профиля.

5

РАЗДЕЛ 1. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ

1.1. Главные напряжения

Рис. 1.1

Вслучае объемного напряженного состояния на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестностях некоторой точки будут действовать напряжения, показанные на рис. 1.1.

Всоответствии с ранее принятым

правилами знаков, нормальные и касательные напряжения, показанные на рисунке 1.2. положительные. Записав условия равновесия моментов всех сил относительно координатных осей x, y, z получим:

mx	0 yz	zy
my	0 xz	zx	(1.1)
mz	0 xy	yx

Уравнения (1.1) выражают закон парности касательных напряжений. На двух взаимно перпендикулярных площадках соответствующие касательные напряжения, нормальные к линии пересечения площадок равны по величине и направлены так, что поворачивают элемент в противоположные стороны.

В общем случае объемного напряженного состояния матрица напряжений имеет

вид:

	x	yx	zx
TH	xy	y	zy	(1.2)
	xz	yz	z

Эта матрица носит название тензора напряжений, а ее элементы компонентами тензора напряжений. Из его девяти компонентов в силу условия (1.1) различными могут быть только 6.

Ранее было показано, что любое плоское напряженное состояние путем поворота осей координат приводится к растяжению (сжатию) в двух взаимно перпендикулярных

направлениях, то есть к главным напряжениям - max		и min.	при	объемном
	Подобно	этому,
напряженном состоянии, меняя ориентацию осей
параллелепипеда, можно найти такое их
положение, когда на всех площадках
касательные напряжения будут равны нулю.
	Такие площадки называются главными, а
действующие на них напряжения – главными
напряжениями. Соответствующие им оси –
главные оси инерции (рис. 1.2).
через	Определим главные напряжения 1, 2				и 3,
	напряжения,		действующие		на
произвольных		площадках,	полагая,	что	нам

Рис. 1.2	известны величины нормальных и касательных

6

напряжений. Положим, что нам известно положение одной из главных площадок, которое определяется нормалью к этой площадке (рис. 1.3). Выделим из исходного

Рис. 1.3

параллелепипеда тетраэдр и запишем условие его равновесия.

Косинусы углов, образованных нормалью с осями x, y, z, обозначим соответственно l, m, n.

Обозначим площадь наклонной грани dF=1. Тогда площади других граней соответственно равны:

dFx l, dFy m, dFz n

x 0:		l xl yxm zxn 0
y 0:		m ym xyl zyn 0				(1.3)
z 0:		n zn xzl yzm 0
После преобразований:
x l yxm zxn
				0
xyl y		m zxn				(1.4)
				0
xzl yzm z n
				0
Получена система уравнений относительно неизвестных l, m, n.
Между направляющими косинусами нормали существует зависимость:
	l2	m2 n2	1			(1.5)
Следовательно, l, m, n не могут одновременно равны нулю.
Из высшей алгебры известно, что система уравнений (1.4) дает не нулевое
решение при условии, что определитель системы равен нулю.
	x	yx		zx
	yz	y		zy	0	(1.6)
	xz	yz	z

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение:

3 I1 2 I2 I3

0

(1.7)

Корни этого уравнения будут значениями трех главных напряжений 1, 2, 3. Учитывая симметрию определителя, все они будут действительными значениями.

Коэффициенты уравнения можно определить как:

7

I1 x y z
I2	x y y z z x			2	2	2		(1.8)
			xy		yz	zx
I3	2	y	2		2	2 xy yz
	x y z x yz		zx	z xy			zx

1, 2, 3, соответствующие данному напряженному состоянию, не зависят от выбора координатных осей x, y, z. Следовательно, корни уравнения, а значит и коэффициенты I1, I2, I3 не меняются при повороте осей координат.

Поэтому I1, I2, I3 называются первым, вторым и третьим интервалом напряженного состояния.

Положив z=0, придем к изученному ранее плоскому напряженному состоянию. Для нахождения li, mi, ni, соответствующих одному из трех главных напряжений

1, 2, 3, надо значение этого напряжения подставить в уравнение (1.4). Совместное решение уравнений (1.4) и (1.5) дает искомые величины li, mi, ni.

Полученные значения главных напряжений удовлетворяют неравенству:
1 2	3		(1.9)
Тензор напряжений в главных осях имеет вид:
1	0	0
TH 0	2	0	(1.10)

00 3

1.2.Экстремальные касательные напряжения

Переход материала в пластическое состояние при нагружении связан с действием максимальных касательных напряжений. Величина max является важной характеристикой напряженного состояния. Касательные напряжения при объемном напряженном состояния определяются как:

max		1 3	(1.11)
	2

В общем случае max действует на площадке, наклоненной под углом 450 к максимальному и минимальному нормальному напряжению.

1.3. Деформации при объемно напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука

Полученные ранее формулы напряжений и деформаций в точке не связаны с упругими свойствами тел. Следовательно, они применимы как при упругих, так и упругопластических деформациях.

Установим соотношения между напряжениями и деформациями с учетом упругих свойств изотропных тел. Будем полагать, что деформации малы и материал следует закону Гука. Для плоского элемента с размерами граней, равных единице, можно записать (рис. 1.4):

E , - продольная деформация

E

' - поперечная деформация

E

коэффициент Пуассона

8

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Для объемного напряженного состояния, когда по граням действуют x, y, z (рис. 1.5) с учетом принципа независимости действия сил, можно записать:

x

xx xy xz

(1.12)

xx деформация в направлении оси х от x

xy деформация в направлении оси х от y

xz деформация в направлении оси х от z

xx продольная деформация, xy , xz поперечная деформация.

Следовательно:

				x		y			z
	x
						E		E
			E

Аналогично, определяем деформации в направлении осей y, z:

x			1		x y z
			E
y			1		y z y	(1.13)
			E
z		1		z x y
			E

Уравнения 1.13 называются обобщенным законом Гука при объемном напряженном состоянии.

При этом касательными напряжениями пренебрегаем, так как они вызывают сдвиг прямоугольных элементов, не изменяя их длины.

Главные деформации запишутся как:

1

1 E 1 2 3

1

2 E 2 3 1 (1.14)

1

3 E 3 1 2

9

1.4. Изменение объема материала при деформации

Рис. 1.6

До приложения нагрузки элемент с размерами граней dx, dy, dz имел объем (рис. 1.6):

	V0 dxdydz		(1.15)
После	приложения		напряжений
x , y , z	размеры	граней	увечились
соответственно на величину dx,			dy, dxz .
Объем	материала	после	деформации
равен:
V1 dx dx dy dy dz dz			(1.16)
После	преобразований		величина

относительного изменения объема материала может быть найдена как:

				V	V1 V0	x	y z	(1.17)
				V	V0
Величина относительного изменения объема материала , записанная через
нормальные напряжения, имеет вид:
		1 2 x y z						(1.18)
			E
	1.5. Гидростатическое сжатие элемента
	В случае гидростатического сжатия по граням элемента
	действуют напряжения, показанные на рис. 1.7.
	x	y	z
	Уравнение (1.18) примет вид:
			31 2					(1.19)
			E	E	K
	K
Рис. 1.7		31 2 - модуль объемной деформации
	Из	формулы		1.19 следует,		что	<0,5, так как в
	противном		случае	объем	тела	при	сжатии	должен

увеличиваться, что противоречит законам физики. Следовательно, коэффициент Пуассона меняется в следующих пределах 0< 0,5.

10

РАЗДЕЛ 2. БАЛКА НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

2.1. Общие понятия

Фундаменты зданий и сооружений, как правило, устанавливаются на грунтах естественного сложения. В этом случае принято говорить, что фундамент рассчитывается как балка, лежащая на сплошном упругом основании. Кроме того, к такому типу конструкций относят железнодорожные шпалы, фундаменты плотин, а также рельс, у которого число опор велико, а расстояние между шпалами мало по сравнению с общей длиной рельса.

Упругим, называется такое основание, которое деформируется под действием веса балки и расположенной на ней нагрузки, оказывая при этом упругое противодействие прогибу.

Балки, лежащие на таком основании, называются балками на упругом основании

(рис. 2.1).

						Уравнение			статики		не
P					позволяют выполнить расчет
					такой		балки.			Записав
					уравнение проекций всех сил
	k				на ось у, можно найти только
					суммарную			реакцию			со
P					стороны основания на балку.
					Вопрос			распределения
		k			реакции		по	длине		балки
				R	остается открытым. Величина
					реакции			со		стороны
		R			основания зависит от прогиба
					rz	f1 vz , а прогиб, в свою
					очередь		зависит		от	реакции
					основания vz			fz rz .
Для расчета таких балок принимают гипотезы, связывающие реакцию со стороны
основания с его просадкой (с прогибом vz ).
Применительно	к	балкам	такая	гипотеза	был	предложена			профессором
Е. Винклером, которая полагает существование пропорциональной зависимости между
реакцией и просадкой основания.

2.2. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, лежащей на сплошном упругом основании

Балка постоянной жесткости EIx лежит на упругом основании и деформируется как показано на рисунке 2.1. Реакция со стороны основания согласно гипотезе Е Винклера, принимается пропорциональной прогибу.

r kvz	(2.1)
k k'b	(2.2)

здесь r – реакция основания, приходящаяся на единицу длины балки (Н/м); vz – просадка основания (м);

k' – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом податливости основания. Равен силе, действующей со стороны основания, приходящийся на 1м2 площади длины балки, при просадке равной единице и имеет размерность (Н/м3).

k – представляет отпор основания, приходящийся на единицу длины балки при просадке, равной единице и имеет размерность Н/м2;