Вимоги до оформлення контрольних робіт

1. Семестрові контрольні роботи виконуються чорними або синіми чорнилами чи кульковою ручкою в звичайному шкільному зошиті, на обкладинці якого наводяться відомості студента про себе. Умови задач у контрольній роботі переписуються повністю, без скорочень. Для зауважень та приміток викладача на сторінках зошита потрібно залишаюти поля.

2. У кінці контрольної роботи вказується, яким підручником чи посібником студент користувався при вивченні фізики та розв'язку задач. Це робиться для того, щоб викладач у випадку необхідності міг вказати, що потрібно студенту вивчити (з цих матеріалів) для закінчення контрольної роботи. У контрольній роботі студент повинен розв'язати задачі того варіанту, номер якого збігається із його шифром. Контрольна робота виконана не за своїм варіантом не перевіряється.

3. Якщо контрольна робота при рецензуванні не зарахована, то студент повинен подати її на повторну рецензію, у яку потрібно включити ті задачі, розв'язки яких були невірними. Повторна робота подається разом із незарахованою. Зарахована контрольна робота подається викладачу на іспит або залік. Студент повинен уміти давати пояснення по суті розв'язку задач, які входять у контрольну роботу.

ОСНОВИ ТЕОРІЇ З РОЗДІЛУ “ЕЛЕКТРОСТАТИКА”

Фізична величина, що характеризує здібність тіл або частинок до електромаг-нітних взаємодій, називається електричним зарядом.

Одиниця електричного заряду q – Кулон (Кл). Електричні заряди володіють наступними фундаментальними властивостями:

1. Заряди існують у двох видах: позитивних і негативних. Однойменні заряди відштовхуються, різнойменні – притягуються.

2. Електричний заряд інваріантний: його величина не залежить від системи від-ліку (тобто не залежить від того, рухається він чи знаходиться у спокої).

3. Електричний заряд дискретний: заряд будь-якого тілаqскладає ціле кратне віделементарногоелектричного заряду – якнайменшого заряду у природі, який дорів-нюєе=1,610^-19Кл. Носієм елементарногонегативного заряду єелектрон m_e= =9,1110^-31кг, а елементарногопозитивного заряду –протон m_р=1,6710^-27кг.

4. Електричний заряд аддитивний: заряд будь-якої системи тіл або частинок дорів-нює сумі зарядів тіл або частинок, що входять в неї.

5. Електричний заряд підкоряється закону збереження заряду: алгебраїчна сума електричних зарядів будь-якоїзамкнутоїсистеми залишається незмінною, які б процеси не відбувалися усередині даної системи.

Сила взаємодії між точковими зарядами визначається законом Кулона: два не-рухомі точкові заряди у вакуумі взаємодіють із силою, пропорційною додатку моду-лів цих зарядів і обернено пропорційною квадрату відстані між ними. У векторній формі закон Кулона має вигляд:

де r12 – радіус-вектор, що зєднує заряди між собою, r=r12, k= =1/40 – коефіцієнт пропорційності, рівний 910^9 м/Ф, а вели- чина 0=8,8510^-12 Ф/м називається електричною сталою і на-

лежить до числа фундаментальних фізичних констант. Сила F₁₂ (або F₂₁) спрямо-вана уздовж прямої, що зєднує взаємодіючі заряди (є центральною силою) і відпо-відає притяганню (F<0) у разі різнойменних зарядів і відштовхуванню (F>0) у разі однойменних зарядів. У скалярній формі закон Кулона має вигляд:

	Якщо ж ці точкові заряди розташувати на такій самій відстані r, але не у вакуумі, а у будь-якому діелектричному середовищі, то сила їх взаємодії зменшиться у -разів, де  - діелектрична про-
	никність середовища. Вираз для сили кулонівської взаємодії на-буде вигляду: Силова взаємодія між електричними зарядами здійснюється

за допомогою особливої форми матерії – електричного поля. Електричні поля створюються електричними зарядами і проявляють себе по силовій взаємодії між ними. Поля, створювані нерухомими зарядами, називаються електростатичними. Векторну фізичну величину D, визначувану:

яка характеризує інтенсивність електростатичного поля у межах пло-щини dS, називають вектором електричної індукції (електричного зміщення). Якщо є декілька електричних зарядів у просторі, то кож-

ний з них випромінює кількість фотонів, пропорційну величині відповідного заряду. Загальну кількість фотонів через довільну площину dS можна представити так:

Для вектора електричної індукції це співвідношення має вигляд: і має назву принципу суперпозиції (до-давання) полів і формулюється так: ре-

зультуюча електрична індукція, створювана у даній точці простору системою заря-дів, дорівнює геометричній сумі електричних індукцій, створюваних у цій точці ко-жним зарядом окремо. Цей принцип може бути використаний для розрахунку елек-тричних полів, створюваних будь-якою системою нерухомих зарядів.

Іншою векторною характеристикою електричного поля служить його напру-женість, яка визначається силою, діючою на одиничний позитивний (пробний) за-ряд, приміщений у дану точку поля. Відношення сили до величини заряду, який вно-ситься, у будь-якій точці простору залишається сталим:

Це відношення може служити характеристикою електро-статичного поля, створеного точковим зарядом q в даній точці простору, воно позначається буквою Е і має назву

напруженості поля. У векторному вигляді напруженість поля точкового заряду ви-

	значається так: Таким чином, кожна точка електричного поля характеризується двома векторними величинами – D та E, які зв'язані між собою:
	Ці величини мають різні розмірності: [D]=[Кл/м^2], [E]=[Н/Кл]=

=[В/м]. Необхідність використання обох цих величин обумовлена тим, що вектор D описує електростатичні поля, створювані вільними зарядами. Це означає, що при роз- рахунку результуючого поля D підсумовуються електричні поля, створювані тільки зарядженими тілами, а поля, створювані зарядами атомів і молекул навколишнього середовища, в цих розрахунках не враховуються. А вектор напруженості Е враховує сумарне (результуюче) електричне поле всіх зарядів: і поле, створюване вільними зарядами заряджених тіл Е₀, і поле, створюване зарядами атомів або молекул навко-лишнього середовища Е.

Діелектриками називають речовини, які не проводять електричний струм. У ідеальному діелектрику вільних зарядів немає. Електрони атомів діелектрика дуже міцно зв'язані із ядрами, і потрібні потужні зовнішні дії, щоб зруйнувати ці зв'язки. При приміщенні діелектриків у зовнішнє електростатичне поле відбувається процес його поляризації. Електричною поляризацією називають особливий стан речовини, при якому під впливом зовнішнього електричного поля виникає відмінний від нуля електричний момент деякого об'єму цієї речовини. Ступінь поляризації діелектрика характеризується векторною величиною Р, названою поляризованістю, яка визнача-

	ється результуючим дипольним моментом одиниці об'єму діелектрика: де pi – дипольний момент окремої молекули, n – концентрація молекул у об'ємі V. Для ізотропного діелектрика при невеликих полях, поляри-
	зованість пропорційна напруженості поля усередині діелектрика: де  - діелектрична сприйнятливість діелектрика, залежна від його

будови і температури, величина безрозмірна. Одиниця поляризованості – Кулон на

квадратний метр (Кл/м²). Для вектора електричного зміщення D у ізотропному діе-

лектричному середовищі тепер можна записати співвідношення:

Графічно електричні поля зображають на малюнках за допомогою силових ліній – ліній, дотичні до яких у кожній точці простору співпадають з напрямком вектора напруженості поля Е. Силовим лініям приписується напрямок, співпадаючий з напрямком вектора напруженості – сили, діючої на позитивний заряд: вони починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних. Густина силових ліній відображає інтенсивність електричного поля. Лінії напруженості ніколи не перетинаються, оскільки в кожній точці простору вектор Е має лише один напрямок. У разі однорідного поля, у якого напруженість в кожній точці постійна за величиною і напрямком, силові лінії паралельні вектору напруженості.

Вектор Е, переходячи через межу діелектриків, зазнає стрибкоподібну зміну, що створює незручності при розрахунку результуючих електричних полів. Тому набагато зручніше користуватися вектором електричного зміщення D, який вільний від цього недоліку. Напрямок і густина ліній електричного зміщення визначаються так само, як для ліній вектора напруженості. Проте, лінії вектора Е можуть починатись і закінчуватись на будь-яких зарядах – як вільних, так і зв'язаних, оскільки вектор Е описує результуюче поле у діелектрику, залежне від властивостей діелектрика. А вектор електричного зміщення D характеризує електростатичне поле, створюване тільки вільними зарядами (тобто, у вакуумі), але при такому їх розподілі у просторі, який існує за наявності діелектрика (оскільки зв'язані заряди, що виникають у діелектрику, можуть викликати перерозподіл вільних зарядів, які створюють поле). Тому лінії вектора D можуть починатись і закінчуватись тільки на вільних зарядах, а через області простору, де знаходяться зв'язані заряди, силові лінії вектора електричного зміщення проходять не перериваючись.

Для того, щоб силові лінії характеризували не тільки напрямок, але і значення напруженості електростатичного поля, їх проводять із певною густиною: кількість ліній напруженості, що пронизують одиничну площину, перпендикулярну лініям напруженості, мусить дорівнювати модулю вектора Е. Інтенсивність електричного поля характеризують фізичною величиною, названою потоком вектора напруженості через елементарну площину dS, яка визначається співвідношенням:

де - вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрямок вектора співпадає із напрямком нормалі n до площини (вибір

напрямку n (а отже і dS) умовний. Потік вектора напруженості через замкнуту пове-

рхню S визначається інтегруванням: Потік вектора Е - скалярна величина, залежна від конфігура- ції поля і від вибору напряму нормалі. Для замкнутих повер-

хонь за позитивний напрямок уважають зовнішню нор-маль, спрямовану назовні області, охопленій цією поверхнею. Розмірністю потоку вектора напруженості служить 1 Вольт-метр – потік напруженості через поверхню площею 1 м², перпендикулярну силовим лініям поля напруженістю 1 В/м: [_Е]=[1 В/м1 м²]=[1 Вм]. Потік вектора Е крізь сферичну поверхню радіусу r, що охоплює точковий заряд q:

Цей результат справедливий і для замкнутої поверх- ні будь-якої форми, оскільки якщо оточити сферу r довільною замкнутою поверхнею, то кожна лінія на-

пруженості, що пронизала сферу, пройде і через цю поверхню. Потік вектора Е крізь

довільну замкнуту поверхню, яка охоплює n-за-рядів із застосуванням принципа суперпозиції по- лів, кожний із інтегралів, що стоять під знаком су

ми, дорівнює q_i/₀, тому:

Тут Еі – напруженість поля, створювана зарядом qi. Цей вираз і є теоремою Гауса для випадку дискретного роз-поділу зарядів, яка формулюється так: потік вектора на-

пруженості електростатичного поля у вакуумі крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі охоплених цією поверхнею зарядів, поділеній на ₀.

Для випадку безперервного розподілу зарядів, вводиться поняття об'ємної гус-тини заряду – фізичної величини, рівної заряду, який припадає на одиницю об'єму: =dq/dV. Електричний заряд, що міститься у даному об'ємі, визначається інтегру-ванням: . У цьому випадку теорема Гауса формулюється так: потік векто-

ра напруженості електростатичного поля у вакуумі через довільну замкнуту поверхню дорівнює заряду,

що міститься у об'ємі, охопленому цією поверхнею, поділеному на електричну сталу ₀. Використання цієї теореми при відповідному підборі форми замкнутої поверхні, яка охоплює заряди, дозволяє розраховувати напруженості електричних полів, створюваних зарядженими тілами правильної геометричної форми. Напруженість поля рівномірно зарядженої нескінченної площини:

де	- поверхнева густина заряду – фізична величина, визначу- вана зарядом, який припадає на одиницю площини повер-хні. Напруженість поля двох нескінченних паралельних різ-

нойменно заряджених площин: у області між площинами:

	а праворуч та ліворуч від площин Е=0. Напруженість поля рівно-мірно зарядженої сферичної поверхні радіусу R:
	- для значень rR, та E=0 для значень r<R. Напруженість поля рівномірно зарядженої нескінченної нитки:
,	де =dq/dl [Кл/м] - лінійна густина заряду – фізична величина, визначувана зарядом, який припадає на одиницю довжини нитки.

Теорема Гауса справедлива не тільки у вакуумі, але і для електростатичних полів як у однорідних та ізотропних, так і у неоднорідних та анізотропних діелектричних середовищах. У разі дискретного розподілу зарядів, теорема формулюється

так: потік вектора зміщення електростатичного поля у діелектрику через довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебра-їчній сумі вільних електричних зарядів, які містяться усере-

дині цієї поверхні.

Фізичну величину, визначувану потенціальною енергією одиничного позитив-

ного заряду, приміщеного у дану точку електричного поля, назива-ють електричним потенціалом поля. Потенціал – енергетична ска-лярна характеристика. Одиниця потенціалу – Вольт [1 B] – потенці-

ал такої точки поля, у якій заряд у 1 Кл має потенціальну енергію у 1 Дж. Підста-вивши значення потенціальної енергії заряду у електричному полі через значення потенціалу поля, роботу сил поля можна записати так:

Величину (1-2) називають різницею по-тенціалів (напругою U) електричного по-

ля і застосовують лише до двох точок поля. Потенціал поля, створюваного точковим

зарядом Q: де r – відстань від заряду Q до даної точки простору.

Графічно електричне поле можна зображати не тільки за допомогою силових ліній, але і за допомогою еквіпотенциальних поверхонь – сукупності точок просто-ру, які мають однаковий потенціал. Вектор напруженості електростатичного поля завжди перпендикулярний еквіпотенциальній поверхні у будь-якій точці простору. Наприклад, для точкового заряду лінії напруженості – радіальні прямі, а еквіпотен-циальні поверхні – концентричні сфери.

Співвідношення, що зв'язує обидві характеристики електричного поля – напру-

або	женість і потенціал: де i,j,k – одиничні вектори координатних осей x,у,z. Отже, вектор напруженості Е

чисельно дорівнює градієнту потенціалу і спрямований у бік спадання потенціалу (градієнт скалярної величини – це вектор, що характеризує бистроту зміни даної величини у просторі). Це співвідношення дозволяє за відомою напруженістю поля знайти різницю потенціалів між двома довільними точками цього поля. Наприклад, різниця потенціалів поля, створюваного рівномірно зарядженою нескінченною пло-

	щиною, між точками, які лежать на відстанях r1 та r2 від неї:
	- між точками, які лежать на відстанях r1 і r2 від рівномірно зарядженої нескінченної нитки:
	- між точками, які лежать на відстанях r1 і r2 від рівномірно зарядженої сфери радіусу R для всіх точок r2>r1>R:

Для точок усередині сфери Е=0, тому потенціал сфери =Q/4₀R=const.

При внесенні незарядженого провідника у електричне поле, його вільні носії заряду приходять до руху: позитивні – у напрямку поля, негативні – у протилежний бік. В результаті, на кінцях провідника виникають заряди протилежного знаку, на-звані індукованими. Поле цих зарядів спрямоване протилежно зовнішньому полю. Перерозподіл індукованих зарядів по зовнішній поверхні провідника відбувається доти, поки сумарна напруженість Е поля усередині провідника не стане рівною ну-лю, а лінії напруженості поза ним не стануть перпендикулярними його поверхні. Ін-дуковані заряди зникають при видаленні провідника із електричного поля. Оскільки наданий провіднику заряд Q розподілиться по його поверхні, то потенціал провідни-ка буде пропорційним величині цього заряду, тобто Q=C. Коефіцієнт пропорцій-ності між ними С називається електроємністю:

Електроємність провідника (або системи провідників) – фізична величи-на, що характеризує здатність провідника накопичувати електричні заря-ди і визначається зарядом, надання якого провіднику змінює його потен-

ціал на одиницю. Одиниця електроємності – Фарад – ємність такого провідника, потенціал якого збільшується на 1 Вольт при наданні йому заряду 1 Кулон (1 Ф=1 Кл/В). Використовуючи вираз для потенціалу зарядженої сфери, легко одержати фо-

рмулу для електричної ємності сфери:Очевидно, що електроємність залежить як від геометричних розмірів

провідника, так і від діелектричної проникності навколишнього його середовища.

Практичний інтерес має конденсатор – система двох провідників (обкладок) із однаковими за модулем, але протилежними за знаком зарядами, форма і розташу-вання яких такі, що поле зосереджене у вузькому зазорі між обкладками. Електроєм-ність визначається геометрією конденсатора і діелектричними властивостями сере-довища, яке заповнює простір між обкладками. За формою розрізняють плоскі, ци-

ліндричні, сферичні і шаруваті конденсатори. Електроємність плоско-го конденсатора: де S – площа обкладки, d – відстань між обкладками,  - діелектрична

проникність середовища між обкладками (при наявності діелектрика між його плас-тинами). Електроємність шаруватого конденсатора, тобто який має шаруватий діе-

лектрик: де d1,…dn – товщина кожного шару діелектрика, 1,…n – відповідні діелектричні проникності.

Для отримання необхідної електроємності, конденсатори зєднують у батареї. Розрізняють два види з'єднання: паралельне і послідовне. При паралельному з'єднан-

	ні конденсаторів результуюча електроємність батареї дорівнює сумі електроємностей конденсаторів, які включені у неї:
	При послідовному з'єднанні конденсаторів електроємність батареї визначається так:

При перенесенні заряду dq на провідник, його потенціальна енергія збільшить-

	ся на dWпот=dq=Сd. Проінтегрувати цей вираз, знахо-димо потенціальну енергію електростатичного поля заряд-женого провідника при збільшенні його потенціалу від 0 до
	: Застосувавши співвідношення =q/C, одержуємо вирази для потенціальної енергії відокремленого зарядженого про-відника:

Якщо є система двох заряджених провідників (конденсатор), то потенціальна енергія цієї системи складається із суми власних потенціальних енергій провідників

та енергії їх взаємодії: де U – напруга між обкладками. Підставивши у це спів- відношення вираз для електроємності плоского конден-

сатора і зв'язок між напругою та напруженістю однорідного електричного поля U= =Ed, для потенціальної енергії електричного поля у конденсаторі одержимо форму-

лу: де Sd=V – об'єм конденсатора, у якому зосереджене електричне поле. Фізична величина, яка чисельно до-

рівнює потенціальній енергії поля, що міститься у одиниці об'єму простору, назива-ється об'ємною густиною енергії: =W_пот/V. Для плоского конденсатора вираз для об'ємної густини енергії однорідного електростатичного поля набуває вигляду:

де D=0E – вектор електричного зміщення поля. Ця фор мула справедлива тільки для ізотропного діелектрика, для якого виконується співвідношення Р=0Е.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З РОЗДІЛУ “ЕЛЕКТРОСТАТИКА”