4. Координати вектора
Нехай (,,) деякий базис простору,– довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують єдині числа,,такі, що
=++.
Коефіцієнти ,,розкладу вектора за базисними векторами називаютьсякоординатами вектора в даному базисі. При цьому число називається першою координатою, число– другою, а число– третьою.
Якщо вектор в даному базисі має координати,,, то скорочено це записують так:(,,) або.
Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори ,,івід деякої точкиО простору (мал. 16): =,=,=,=.
Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих ,,, а діагоналлю є відрізокOA. Тоді =++, де=,= =,=.
Тому =;
> 0, якщоі< 0, якщо;
=;
> 0, якщоі< 0, якщо.
Аналогічно, =;
> 0, якщоі< 0,.
Отже, координата з точністю до знака дорівнює довжині відрізкавиміряному в одиницях довжини. Знак же координатизалежить від напрямку векторіві:> 0, якщоі< 0, якщо. Аналогічно зміст двох інших координаті.
Базисні вектори в самому базисі мають координати (1; 0; 0),(0; 1; 0),(0; 0; 1).
Аналогічно визначаються координати вектора в просторі . Базис цього підпростору складається з двох не колінеарних векторів. Нехай система векторів,є базисом підпростору. Тоді за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами для будь-якого вектораіз підпросторуіснують єдині числа,такі, що=+. Коефіцієнти,цього розкладу називаються координатами векторав базисі (,). Числоназивається першою координатою, а число– другою.
Аналогічним є і геометричний зміст координат вектора в підпросторі (мал. 17):
=+=+.
=,
> 0, якщоі< 0, якщо;
=;
> 0, якщоі< 0, якщо.
Базисні вектори мають координати: (1; 0),(0; 1). Координати вектора в даному базисі повністю задають вектор.
Розглянемо властивості координат векторів.
Теорема (2-га ознака рівності векторів): для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх відповідні координати.
Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома не компланарними векторами.
Теорема:справедливі такі твердження:
1) координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів;
2) координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат цих векторів;
3) координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат цього вектора на дане число.
Доведення: доведемо наприклад перше твердження. Нехай у деякому базисі (,,),(,,),(,,). Тоді за означенням координат вектора
=++,=++.
Отже, +=+++++= (+)+ (+)+ (+).
Звідси випливає, що координати вектора +відповідно дорівнюють+ +,+,+, що й треба було довести.
Аналогічно доводяться й інші властивості.
Теорема (2-га ознака колінеарності двох векторів): для того, щоб два вектори (,,),(,,) задані в деякому базисі (,,), були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.
Доведення:якщо=, то твердження очевидне. Припустимо, що.
1. Необхідність.Нехай||. Тоді існує таке число λ, що= λ, звідки випиває, що= λ,= λ,= λ;
= λ.
Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.
2. Достатність.Нехай= λ, тоді= λ,= λ,= λ. Помноживши ці рівності на вектори,,відповідно, дістанемо= λ,= λ,= λ. Додавши ці рівності дістанемо++= λ+ λ+ λабо++= λ(++), тобто= λ||. Теорему доведено.