1. Чисельний алгоритм детерміністичного моделювання (формули Ейлера).

При детерміністичному моделюванні рух кожної частинки системи описується диференціальними рівняннями

, .

Нагадаємо, що метод молекулярної динаміки полягає в генерації траєкторії у фазовому просторі, тобто обчисленні значень ,кожної частинки системи (сукупність цих значень дає точку у фазовому просторі) в момент часу

.

Типовий метод чисельного розв’язування диференціальних рівнянь включає в себе перетворення диференціального рівняння в кінцево-різничне.

Замінимо по означенню похідну у виразі відношенням нескінченного малого приросту функції до приросту аргументу (переміщенняза час). Тобто для даної частинки в кожен момент часушвидкістьвизначається як:

.

З останньої формули можна зробити висновок, що кожне наступне положення частинки визначається через попереднє

.

Застосувавши подібні міркування до диференціального рівняння , маємоформули Ейлера для знаходження швидкості та координати як розв’язків диференціальних рівнянь

,

.

Неважко помітити, що формули Ейлера описують рівняння дотичної в точці з кутовим коефіцієнтомдля дотичної, що проходить через точку(рис). Отже, припускається, що на відрізкушвидкість зміни функціїпостійна.

2. Недоліки кінцево-різницевих формул Ейлера та можливі шляхи вирішення.

Метод Ейлера є асиметричним, оскільки він просуває розв’язок на один крок по часу , а використовує при цьому інформацію про похідну тільки в початковій точці інтервалу.

Метод Ейлера дає найпростіші і досить грубі формули розв’язку диференціального рівняння. Існують більш точні методи, для яких ми наведемо лише формули, а геометричну інтерпретацію пропонуємо розглянути самостійно.

Метод Ейлера-Кромера, або метод наближення по останній точці:

,

.

Метод середньої точки використовує для нового значення координати середню на відрізку швидкість:

,

.

Метод напівкроку використовує припущення, що швидкість на відрізку дорівнює значенню швидкості в середині відрізка:

,

.

Метод не є самостартуючим, оскільки дані формули не дозволяють обчислити . Можна покласти

.

Метод Верле більш точний:

.

Недоліком цього методу є необхідність використання іншого методу для отримання декількох перших точок фазового простору і обчислення швидкості через віднімання близьких по величині значень, що може призвести до втрати значущих цифр і значного росту похибки.

Ці недоліки усуваються в швидкісній формі алгоритму Верле:

,

.

Метод Бімана і Шофілда:

,

не є самостартуючим, але краще, ніж алгоритм Верле, оскільки краще зберігає енергію.

Метод предиктор-коректора полягає в передбаченні нового значення координати

предиктор ,

що дозволяє визначити прискорення , використовуючи яке знаходимо скореговані значення

коректор ,

.

Скореговане значення використовується для обчислення передбачуваного значення, а отже, нових передбачень значеньі. Ця процедура повторюється до тих пір, поки передбачуване і скореговане значення не будуть відрізнятися на величину менше заданої.

Метод Рунге-Кутта дає можливість підвищити точність методу Ейлера внаслідок екстраполяції в серединній точці відрізка, а потім використовувати центральну похідну на всьому відрізку (див. курс чисельних методів).

Не слід віддавати перевагу якомусь одному методу. Бажано експериментувати з різними алгоритмами для різних динамічних систем.